Stetigkeit/rational/irrational < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei $f(x) [mm] =\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1-x, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \IQ \end{cases}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass $f$ nur an $x = 1/2$ stetig ist. |
f(1/2) = x
Warum sollte die funktion nur an x=1/2 stteig sein?
Ich weiß auch nicht recht, mit welcher Methode der Stetigkeitsüberprüfung ich hier rangehen sollte. Insgesamt bin ich etwas überfordert mit der aufgabe, da beliebig nahe an jeder rationale zahl eine irrationale zahl ist.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
stetigkeit bei 0.5 sollte dir leicht fallen mit [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta.
[/mm]
Unstetigkeit sonst mit Folgen von rationalen [mm] x_n [/mm] die gegen nicht rat. konv und umgekehrt. oder auch mit [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta, [/mm] genau mit deinem Argument.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:02 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
f nur an [mm] x_0 [/mm] = 1/2 stetig ist
f ist stetig an [mm] x_0 [/mm] wenn
[mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D : [mm] |x-x_0 [/mm] | < [mm] \delta [/mm] => |f(x) - [mm] f(x_0 [/mm] ) < [mm] \epsilon
[/mm]
wenn x [mm] \in \IQ
[/mm]
|x-1/2 | < [mm] \delta
[/mm]
|f(x) - f(1/2)| = |x - x| =0 < [mm] \epsilon
[/mm]
wenn x [mm] \in \IR [/mm] ohne [mm] \IQ
[/mm]
|x-1/2 | = | [mm] \frac{2x-1}{2}| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
|f(x) - f(1/2)| = |1-x- x| =|1-2x|
WIe kann ich nun zeigen, dass der term < [mm] \epsilon [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> f nur an [mm]x_0[/mm] = 1/2 stetig ist
>
> f ist stetig an [mm]x_0[/mm] wenn
> [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta[/mm] > 0: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D :
> [mm]|x-x_0[/mm] | < [mm]\delta[/mm] => |f(x) - [mm]f(x_0[/mm] ) < [mm]\epsilon[/mm]
>
> wenn x [mm]\in \IQ[/mm]
> |x-1/2 | < [mm]\delta[/mm]
> |f(x) - f(1/2)| = |x - x| =0 < [mm]\epsilon[/mm]
Das stimmt doch nicht.
Es ist |f(x) - f(1/2)| = |x - 1/2| für x rational.
>
> wenn x [mm]\in \IR[/mm] ohne [mm]\IQ[/mm]
> |x-1/2 | = | [mm]\frac{2x-1}{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
> |f(x) - f(1/2)| = |1-x- x| =|1-2x|
Auch das ist falsch.
|f(x) - f(1/2)| = |1-x- 1/2|=|x-1/2| für x irrational
FRED
> WIe kann ich nun zeigen, dass der term < [mm]\epsilon[/mm] ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Achso, jetzt sehe ich meinen Fehler.
Danke!
Jetzt fehlt noch die Unstetigkeit an den restlichen Stellen der Funktion.
Es sei [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergente Folge
Diese kann man in eine rationale und eine irrationale Teilfolge aufspalten.
Es seien [mm] (x_n__r)_r [/mm] und [mm] (x_n__i)_i [/mm] Teilfolgen, wobei die mit [mm] n_r [/mm] die rationalen und die mit [mm] n_i [/mm] als Index die irrationalen Glieder sind.
Angenommen die Funktion ist überall stetig
[mm] x_n__r [/mm] -> x => [mm] f(x_n__r [/mm] ) -> x
[mm] x_n__i [/mm] -> x => [mm] f(x_n__i) [/mm] -> 1- x
==> x = 1-x
Ich weiß nicht ob das schon reicht für die Unstetigkeit..?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Du schreibst:
> Eine solche Folge gibt es, da $ [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] $ dicht in $ [mm] \IR [/mm] $ liegt.
WIe soll ich dann die stetigkeit überprüfen, wenn es solch eine Folge gar nicht gibt?
Und warum muss $ [mm] x_n\in\IR\setminus\IQ [/mm] $
Könnte [mm] x_n [/mm] nicht auch eine Folge von rationalen zahlen sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Hallo,
> Du schreibst:
> > Eine solche Folge gibt es, da [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR[/mm]
> liegt.
> WIe soll ich dann die stetigkeit überprüfen, wenn es
> solch eine Folge gar nicht gibt?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Wie hast du das aus dem herausgelesen, was ich geschrieben habe? Hast du evtl. "dicht" als "nicht" gelesen (obwohl mein Satz dann auch keinen Sinn mehr machen würde).
> Und warum muss [mm]x_n\in\IR\setminus\IQ[/mm]
> Könnte [mm]x_n[/mm] nicht auch eine Folge von rationalen zahlen
> sein?
Klar könnte man auch eine Folge nehmen, die nur aus rationalen Zahlen besteht, für sie würde allerdings doch gelten [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(x_0)$ [/mm] (ersetze darin mal die Details!) und wäre damit für unseren Widerspruchsbeweis ungeeignet.
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
AH okay , ich hatte da ein Problem mit dem Verständnis und was falsch gelesen.
[mm] lim_{n->\infty} f(x_n) [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} [/mm] 1-x = 1-x
[mm] \not= f(x_0) [/mm] = x
da wir 1/2 ausgeschlossen haben.
Fall 2: $ [mm] x_0\in\IR\setminus\IQ [/mm] $
Betrachte eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] \lim_{n\to\infty} x_n=x_0 [/mm] und [mm] x_n\in\IQ [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} f(x_n) [/mm] = x
[mm] \not= f(x_0) [/mm] = 1- x
da wir 1/2 ausgeschlossen haben.
und habe ich mich geirrt? Bei fall 2 bin ich mir nicht sicher ob so eine folge existiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> AH okay , ich hatte da ein Problem mit dem Verständnis und
> was falsch gelesen.
>
> [mm]lim_{n->\infty} f(x_n)[/mm] = [mm]lim_{n->\infty}[/mm] 1-x = 1-x
> [mm]\not= f(x_0)[/mm] = x
> da wir 1/2 ausgeschlossen haben.
Naja, ich finde, wenn man schon bei einem Beweis unsicher ist, sollte man wenigstens den Anspruch haben, alles exakt aufzuschreiben, und nicht einfach etwas, was man nur verstehen kann, wenn man die Aufgabe selbst gelöst hat oder die exakte Lösung kennt. Ich mache das mal vor, und kennzeichne rot, was nicht exakt bei dir war:
[mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)$
[/mm]
[mm] $=\lim_{n\to\infty} (1-x_{\red{n}})$
[/mm]
$= [mm] 1-x_{\red{0}}$, [/mm] da [mm] $\lim x_n=x_0$
[/mm]
[mm] $\not= f(x_0) [/mm] = [mm] x_{\red{0}}$, [/mm] da [mm] $x_0\not=\frac12$
[/mm]
Die roten Stellen scheinen vielleicht kleinlich, aber sie hätten mein Verständniszeit für das, was du aufgeschrieben hast, deutlich reduziert.
> Fall 2: [mm]x_0\in\IR\setminus\IQ[/mm]
> Betrachte eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit [mm]\lim_{n\to\infty} x_n=x_0[/mm]
> und [mm]x_n\in\IQ[/mm]
> [mm]lim_{n->\infty} f(x_n)[/mm] = x
> [mm]\not= f(x_0)[/mm] = 1- x
> da wir 1/2 ausgeschlossen haben.
>
> und habe ich mich geirrt?
Nein, es gilt allerdings dieselbe Kritik wie oben.
> Bei fall 2 bin ich mir nicht
> sicher ob so eine folge existiert.
Im Fall 1 hatte ich das doch begründet damit, dass [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] läge. Liegt denn [mm] $\IQ$ [/mm] etwa auch dicht in [mm] $\IR$?
[/mm]
Viele Grüße
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo ich danke dir ;)
Habe nun alles verstanden,
LG
|
|
|
|
Ich mache es mal vor:
