Stetigkeit überprüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Untersuche auf Stetigkeit:
[mm] f(x)=\begin{cases} cos (\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo Zusammen,
zur Zeit habe ich ein paar Probleme bei folgender Aufgabe. Diese Funktion soll auf Stetigkeit überprüft werden. Mein Ansatz hierbei ist der, die Stetigkeit am Punkt 0 zu überprüfen. Aus der Vorlesung weiß ich, dass 1/x Stetig in allen Punkten außer 0 ist, und cos x ebenfalls stetig ist. Verkettungen von stetigen Funktionen sind ebenfalls stetig -> demnach müsste ich hier nur noch die Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 betrachten:
z.Z.:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} f(x_0+h) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} f(x_0-h)
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0} f(x_0+h) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0}cos(\bruch{1}{0+h})=\limes_{h\rightarrow0}cos(\bruch{1}{h})=cos (\infty)
[/mm]
Okay, hier liegt genau mein Problem, ich hatte eigentlich erhofft da kommt der Kosinus von 0 raus, also 1. Aber jetzt habe ich für die "linke Seite" den Kosinus von [mm] -\infty [/mm] und für die "rechte Seite" den Kosinus von [mm] \infty. [/mm] das sind allerdings nicht wirklich konkrete Werte.
Oder ist es hier schon möglich zu sagen [mm] cos(\infty)\not=cos(-\infty) [/mm] - also ist diese angegebene Funktio nicht stetig?
Vielen Dank,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 15.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Kalka,
das Stetigkeitskriterium, das Du hier anwendest, verlangt, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind. Da stecken 3 Bedingungen drin, nämlich unter anderem die Existenz der beiden Grenzwerte!
Hast Du Dir schon mal irgendwo einen Plot der Funktion angesehen (siehe Anlage) oder besser noch klargemacht, wie die Funktion in der Nähe von x=0 aussieht?
Gruß
Uli
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 15.11.2009 | | Autor: | Kalka |
Okay, cos (1/x) bedeutet ja, dass sich die Frequenz hier in Abhängigkeit von x ändert. Und zwar wird diese größer, je näher x an den Ursprung gelangt.
Dadurch kann die Funktion gar nicht den Punkt x=0 erreichen, sondern sie Springt vielmehr immer weiter auf und ab, während sie sich 0 nähert. Aber ist das eine vernünftige Begründung dafür, dass die Funktion nicht stetig ist?
Grüße,
Kalka
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Hallo,
umgangssprachlich hast du recht. Um das zu Beweisen konstruiere dir eine Nullfolge [mm] x_n, [/mm] sodass [mm] f(x_n)\not=0. [/mm] Z.B. könnten die Bildwerte immer oben die Bergspitzen entlanghüpfen.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Kalka |
Hey,
okay vielen Dank, ich denke ich weiß jetzt wie es funktioniert. Meine Folge lautet jetzt
[mm] x_{n}=\frac{1}{(2n-1)\pi}
[/mm]
[mm] x_n [/mm] ist jetzt eine Nullfolge und in f(x) eingesetzt ist [mm] f(x_{n})=-1. [/mm] Da Jedoch f(0)=1 ist, ist die Funktion in der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] nicht stetig.
Grüße,
Kalka
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