Stetigkeit und Differentiale < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 18.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Es sei f : [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x; y) = [mm] \bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2} [/mm] für (x;y) [mm] \not= [/mm] (0; 0) und durch f(0; 0) = 0.
Zeige:
a) f ist stetig.
b) [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] existieren und sind stetig in [mm] \IR^2
[/mm]
c) [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y} [/mm] und [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x} [/mm] existieren und sind in (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) stetig.
d) Es ist [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) \not= \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)
[/mm]
(Dies ist ein Beispiel, in dem die Vertauschungsregel nicht gilt.)
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Hallo alle zusammen,
erstmal Entschuldigung, ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Frage in das richtige Thema eingeordnet habe und wusste nich ob es nun richtig ist die teilfragen zusammen zu stellen oder nicht.
Hier mal meine Anfangsfragen geordnet nach a-d.
a) Wenn ich mich richtig erinnere(und nachgelesen habe) muss ich hier zeigen, dass das supremum der Abbildung kleiner unendlich ist. Dies haben wir bisher allerdings nur über die Formel:
sup [mm] \bruch{\parallel A*x \parallel}{\parallel x \parallel} [/mm] < [mm] \infty [/mm] gezeigt.
Wobei man ja wohl bei lin. Abb immer ne Abbildungsmatrix finden kann. Ist mein f eine lin. Abb? Und wenn ja habe ich keine Ahnung wie die Abbildungsmatrix aussehen muss...
b) [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{-y^5 +yx^4 + 4y^3x^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{x^5 + 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}. [/mm] Die Stetigkeit müsste ja dann ähnlich wie bei a gehen, oder?
c) Meine Rechnung ergibt:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\bruch{x^6 + 9x^4y^2 - 9x^2y^4 - y^6}{(x^2 + y^2)^2}
[/mm]
Stetigkeit dann wieder wie bei a,b?
d) An dieser Stelle habe ich so einige Probleme, ich habe ja bei c ausgerechnet, dass die Ableitungen gleich sind, wenn ich sie also an der gleichen stelle betrachte müssten sie ja eig. auch gleich sein?
(Großes Fragezeichen übem Kopf hab)
==> Jeder Hinweis wie das mit der Stetigkeit, oder das bei "d" gehen soll wäre großartig.
Mit freundlichebn Grüßen, die Maxi
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> Es sei f : [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x; y) =
> [mm]\bruch{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}[/mm] für (x;y) [mm]\not=[/mm] (0; 0) und
> durch f(0; 0) = 0.
>
> Zeige:
> a) f ist stetig.
>
> b) [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
> existieren und sind stetig in [mm]\IR^2[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}[/mm] existieren und
> sind in (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) stetig.
>
> d) Es ist [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) \not= \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)[/mm]
>
> (Dies ist ein Beispiel, in dem die Vertauschungsregel nicht
> gilt.)
>
> Hallo alle zusammen,
>
> Hier mal meine Anfangsfragen geordnet nach a-d.
>
> a) Wenn ich mich richtig erinnere(und nachgelesen habe)
> muss ich hier zeigen, dass das supremum der Abbildung
> kleiner unendlich ist. Dies haben wir bisher allerdings nur
> über die Formel:
> sup [mm]\bruch{\parallel A*x \parallel}{\parallel x \parallel}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm] gezeigt.
In welchem Kontext steht dieses Kriterium? Doch nicht etwa Stetigkeit.
Allgemein empfehle ich dir, das mit Folgenstetigkeit zu zeigen, d.h. wähle die eine Folge [mm] (x_n,y_n)\underset{n\rightarrow \infty} [/mm] (x,y) und zeige:
[mm] \underset{n\rightarrow \infty}{lim} f(x_n,y_n)=f(x,y).
[/mm]
Denk auch mal über folgenden Satz nach: Die Komposition stetiger Funktionen ist wiederum stetig.
> Wobei man ja wohl bei lin. Abb immer ne Abbildungsmatrix
> finden kann. Ist mein f eine lin. Abb? Und wenn ja habe ich
> keine Ahnung wie die Abbildungsmatrix aussehen muss...
Mit Matrizen kommst du bei der Stetigkeit nicht weit.
> b) [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{-y^5 +yx^4 + 4y^3x^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=\bruch{x^5 + 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}.[/mm]
Also ich habe deine partiellen Ableitungen jetzt nicht überprüft. Vllt. mag das noch jemand anderes machen.
Aber allgemein: Auch hier gilt, die Kombination diffbarer Funktionen ist diffbar. Also ist es richtig, dass die Partiellen Ableitungen für [mm] (x,y)\neq [/mm] (0,0) existieren, die Stelle (x,y)=(0,0) musst du aber noch genauer überprüfen. Zeige dazu, dass der entsprechende Limes existiert.
> Die Stetigkeit müsste ja dann ähnlich wie bei a gehen,
> oder?
Ja.
>
> c) Meine Rechnung ergibt:
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\bruch{x^6 + 9x^4y^2 - 9x^2y^4 - y^6}{(x^2 + y^2)^2}[/mm]
>
> Stetigkeit dann wieder wie bei a,b?
Also auch hier habe ich mir deine Ergebnisse nur kurz angeguckt. Ich glaube aber, dass deine Potenz im Nenner falsch ist. Normalerweise müssste sie höher sein.
>
> d) An dieser Stelle habe ich so einige Probleme, ich habe
> ja bei c ausgerechnet, dass die Ableitungen gleich sind,
> wenn ich sie also an der gleichen stelle betrachte müssten
> sie ja eig. auch gleich sein?
>
> (Großes Fragezeichen übem Kopf hab)
Du hast deine partiellen Ableitungen für [mm] (x,y)\neq [/mm] (0,0) hier berechnet.
Du musst auch hier nochmal den entsprechenden Limes an der Stelle (x,y)=(0,0) bilden und vermutlich kommt bei dem einen dann etwas im Bereich von 1 und beim anderen 0 raus.
>
>
> ==> Jeder Hinweis wie das mit der Stetigkeit, oder das bei
> "d" gehen soll wäre großartig.
>
> Mit freundlichebn Grüßen, die Maxi
Gruß Sleeper
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Sa 20.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
zu d:
du hast natürlich recht, die potenz im nenner muss 3 sein, also:
$ [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\bruch{x^6 + 9x^4y^2 - 9x^2y^4 - y^6}{(x^2 + y^2)^3} [/mm] $
Aber da ja nun beide trotzdem komplett gleich sind (habs nochmals nachgerechnet) kann da doch egal was ich mache kein unterschiedlicher limes für (x,y) gegen (0,0) rauskommen, oder?
zu stetigkeit: ich hab immer so meine probleme das mit den folgen zu zeigen, aber icfh werds erstmal ne rnude probieren und mich dann evt. nochmal melden
mfg die Maxi
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> zu d:
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> du hast natürlich recht, die potenz im nenner muss 3 sein,
> also:
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\bruch{x^6 + 9x^4y^2 - 9x^2y^4 - y^6}{(x^2 + y^2)^3}[/mm]
>
> Aber da ja nun beide trotzdem komplett gleich sind (habs
> nochmals nachgerechnet) kann da doch egal was ich mache
> kein unterschiedlicher limes für (x,y) gegen (0,0)
> rauskommen, oder?
Die Ableitungen für [mm] x,y\neq [/mm] 0 sind gleich. Du hast aber eigtl. noch garnicht gezeigt, dass diese partiellen Ableitungen in (0,0) überhaupt existieren, sondern nur für [mm] (x,y)\neq [/mm] (0,0).
Was du also machst ist folgendes:
[mm] \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)&=&\underset{h\rightarrow0}{\mbox{lim}}\frac{1}{h}\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0+h)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\right)
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)&=&\underset{h\rightarrow0}{\mbox{lim}}\frac{1}{h}\cdot\left(\frac{\partial f}{\partial y}(0+h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\right).
[/mm]
Da sollte dann etwas voneinander verschiedenes rauskommen.
Gruß Sleeper
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> zu stetigkeit: ich hab immer so meine probleme das mit den
> folgen zu zeigen, aber icfh werds erstmal ne rnude
> probieren und mich dann evt. nochmal melden
>
> mfg die Maxi
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