Stetigkeit von exp < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 09.03.2006 | | Autor: | AriR |
Hey Leute, habe gerade nochmal ein wenig durch den Forster geschaut, und dabei einen Beweis zur Stetigkeit der exp-funktion gefunden. Nachvollziehen kann ich das ganze wohl, weiß nur nicht, warum dsa dann gerade so bewiesen ist.
Beweis: Zu zeigen: [mm] \limes_{x\rightarrow a}exp(x)=exp(a)
[/mm]
Sei [mm] x_n [/mm] eine beliebige Folge mit lim [mm] x_n=a. [/mm] Dann gilt [mm] lim(x_n-a)=0, [/mm] also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}exp(x_n-a)=1
[/mm]
Daraus folgt mithilfe der Funktionalgleichung
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}exp(x_n)= \limes_{n\rightarrow\infty}(exp(a)exp(x_n-a))=exp(a) \limes_{n\rightarrow\infty}(exp(x_n-a)=exp(a), [/mm] qed
die frage ist jetzt warum man an der stelle: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(exp(x_n-a)
[/mm]
für das [mm] x_n [/mm] einfach das a einsetzen darf? könnte man dann das dann nicht auch direkt so machen:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}exp(x)=exp(a) [/mm] qed ??
Danke für jede Hilfe..
Gruß Ari =)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Ari,
vielleicht habe ich gerade einen Aussetzer, aber etwas gefällt mir hier nicht:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(x_n-a)=0 \Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}\exp{(x_n-a)}=1$ [/mm] gilt doch nur, wenn man schon voraussetzt, dass [mm] $\exp$ [/mm] stetig ist?! Es ist zwar richtig, aber das kann man doch nicht kommentarlos so hinschreiben - steht das wirklich so im Forster? (Ich hab' meinen gerade nicht zur Hand!)
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 Do 09.03.2006 | | Autor: | AriR |
ja ich hab das genau so übernommen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 09.03.2006 | | Autor: | AriR |
da steht aber schon gegen durch ein Bsp vorher:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}exp(x)=1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hi Ari,
ok, dann ist das klar... aber damit ist deine Frage eigentlich auch beantwortet, oder nicht?
Du fragst dich doch, warum [mm] $\exp{(a)}\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}(\exp{(x_n-a)}=\exp{(a)}$ [/mm] gilt...
Hier wird nicht einfach [mm] $x_n$ [/mm] durch $a$ ersetzt, sondern es wird benutzt, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\exp{(x_n-a)}=1$.
[/mm]
Und wie du sagtest wurde diese Formel ja bereits in einem vorherigen Beispiel hergeleitet!
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Do 09.03.2006 | | Autor: | AriR |
aso danke das habe ich dann doch soweit verstanden. eine kleinigkeit bleibt da noch und zwar
lim [mm] x_n=a [/mm] gegeben.
ist dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}exp(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow a}exp(x)
[/mm]
??
wenn ja, ist dies allgemein so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 09.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Ari,
> lim [mm]x_n=a[/mm] gegeben.
> ist dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}exp(x_n)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow a}exp(x)[/mm]
Ja, das ist allgemein so (also nicht nur für [mm] $\exp$, [/mm] sondern für jede beliebige Funktion $f$, genau dann wenn das für jede Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=a$ [/mm] gilt (und der Grenzwert auf der linken Seite überhaupt existiert  ).
In manchen Büchern wird das das Übertragungsprinzip genannt (ich weiß aber nicht, ob der Herr Forster das auch so nennt!).
MFG,
Yuma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 Fr 10.03.2006 | | Autor: | AriR |
aso.. das habe ich gar nicht gewusst.
demnach würde doch auch gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch1n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch1{2n}
[/mm]
oder?
falls ja könnte man dies doch in manchen zusammenhängen gar nicht verwenden, da die eine folge schneller gegen 0 geht als die andere oder?
danke schonmal im voraus wieder für deine hilfe :) Gruß Ari
|
|
|
| |
|
Hallo,
du musst aufpassen wo gegen der Limes "läuft". Da steht: [mm]\lim_{x_{n}\rightarrow x}x_{n}=x[/mm] und dann gibt es die Regel, dass wenn du beliebige Folgen finden kannst, die gegen den gesuchten Grenzwert konvergieren, dies der Grenzwert der Funktion ist.
Bei deinem Beispiel mit der e-Funktion hast du beliebige Folgen [mm]x_{n}[/mm] gefunden die gegen [mm]a[/mm]. Das nützt dir für dein zweites Beispiel aber nicht viel, weil du ja zeigen willst, dass [mm]\frac{1}{n}\rightarrow 0[/mm], das heißt du müsstest für n eine folge finden die gegen unendlich läuft, das tut n aber schon von selbst! Dein Beispiel beweist du am besten mit dem Satz: wenn der kehrwert der gesuchten Folge gegen Unendlich strebt, dann strebt die Folge gegen 0!
Genau das ist ja der Fall.
ich hoffe ich könnte dir helfen...
Lieben Gruß
heyminchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Fr 10.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Jasmin,
sorry, hab' eben Blödsinn geschrieben und editiert - löschen geht ja leider nicht...
MFG,
Yuma
|
|
|
|
