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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe | | Auf einem Kreis werden 3 (4; 5; 6; n) verschiedene Punkte markiert und miteinander verbunden [ich hoffe ihr könnt euch das vorstellen]. Wie viele Kreissehnen sind so entstanden? Wie viele Dreiecke, deren Ecken auf dem Kreis liegen, ergeben sich? |
Hallo!
Also den Anfang mit den Kreissehnen kann ich garnicht berechnen, da ich hier nichteinmal einen Ansatz finden kann =(
Und zu den Dreiecken...
Nun...mit 3 Punkten kann 1 Freieck entstehen, bei 4P 4, bei 5P 10 und bei 6P sind 19 Dreiecke möglich, nur wieviel sind bei n möglich??
Und...gibt es eine generelle Formel, um das zu berechnen, denn ich habe es aufgemalt =(
HILFE!!!
Eure Amy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Auf einem Kreis werden 3 (4; 5; 6; n) verschiedene Punkte
> markiert und miteinander verbunden [ich hoffe ihr könnt
> euch das vorstellen]. Wie viele Kreissehnen sind so
> entstanden? Wie viele Dreiecke, deren Ecken auf dem Kreis
> liegen, ergeben sich?
Hallo Amy,
jede Kreissehne verbindet 2 Punkte. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 3 (4,5,6,n) Punkten 2 auszuwählen (ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge) ??
Dreiecke ergeben sich durch beliebige Auswahl von 3 Punkten.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 3 (4,5,6,n) Punkten 3 auszuwählen (ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge) ??
> Hallo!
>
> Also den Anfang mit den Kreissehnen kann ich garnicht
> berechnen, da ich hier nichteinmal einen Ansatz finden kann
> =(
>
> Und zu den Dreiecken...
> Nun...mit 3 Punkten kann 1 Freieck entstehen, bei 4P 4,
> bei 5P 10 und bei 6P sind 19 Dreiecke möglich, nur wieviel
> sind bei n möglich??
> Und...gibt es eine generelle Formel, um das zu berechnen,
> denn ich habe es aufgemalt =(
die gibt es, und ich denke (hoffe) du kennst sie auch: n über k.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Achsooo.
Stimmt, da hast du Recht!
Demnach hätte ich die allgemeine Formel für Sehnen [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] und für Dreiecke [mm] \vektor{n \\ 3}, [/mm] wobei n jeweils die Anzahl der Punkte ist!
Perfekt - vielen Dank für die Hilfe...
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Hallo Will,
für die Sehnen ist deine Formel richtig. "Zu Fuß" bin ich da auf $S = [mm] 0,5*(P^{2}-P)$ [/mm] gekommen.
Dann hab ich mir mal n-Ecke bis n=8 aufgemalt und ausgezählt. Da stimmt deine Formel "n über 3" nur bis zum Fünfeck.
Punkte: 3 4 5 6 7 8
Dreiecke: 1 4 10 18 28 40
Für die Anzahle der Dreiecke im n-Eck bekomme ich ab dem 4-Eck eine Summenformel
[mm] $\Delta_{(P=3)} [/mm] = 1$
[mm] $\Delta_{(P>3)} [/mm] = [mm] P^{2} [/mm] - 3P$
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
ich habe mir das zwar nicht aufgemalt, kann mir aber gut vorstellen, wie unübersichtlich das wird, wenn man alle 20 Dreiecke in ein 6-Eck einzeichnet.
Da kann es leicht passieren, daß man 2 übersieht. Logisch ist die Sache aber klar: Jede Auswahl von 3 Punkten liefert ein Dreieck, und eine solche Auswahl kann man auf 6 über 3 = 20 verschiedene Weisen treffen.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Kann ich dann also davon ausgehen, dass meine Formeln stimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Amy,
diese Frage weckt etwas den Verdacht, daß du die Formeln nur glaubst, aber sie nicht wirklich verstanden hast.
Überlege also erst selbst. Überzeuge dich ggf. durch Beispiele
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Ich war mir eigentlich schon recht sicher, denn um eine Sehne zu erzeugen brauche ich ja 2 Punkte, also nehme ich mir 2 aus einer Anzahl von n Punkten [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] also.
Und das selbe, nur dass man jetzt 3 Punkte braucht, gilt ja für das Dreieck.
So bin ich auf diese Formel gekommen...daher denke ich auch, dass sie stimmt - ich kenne jedenfalls keien andere, die ich auf die Aufgabe anwenden kann, um sie logisch erklären zu können...=)
LG, Amy
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Hallo Will,
ich bin's noch mal. Ich hab' mir jetzt zwei große Zeichnungen gemacht, mit Zirkel und Geodreieck, von einem regelmäßigen 6-Eck, 7-Eck und einem regelmäßigen 8-Eck.
Das Ergebnis ist folgendes: Die Summe aller Dreiecke im n-Eck von n= 3 bis n=8 ist tatsächlich, wie von Dir angegeben:
[mm] \vektor{P \\ 3} [/mm]
- mit der Ausnahme des 6-Ecks. Da gibt's in summa nur 18 Dreiecke.
Gefragt war in der Aufgabe aber nach der Summe aller Dreiecke, welche den Kreisrand berühren. Und da hatte ich schon richtig gezählt. Ab P = 4 kann man da eine Summenformel angeben:
[mm] $\Delta [/mm] (P=3) = 1$
[mm] $\Delta [/mm] (P>3) = [mm] P^{2}-3P$
[/mm]
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Sa 20.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
> - mit der Ausnahme des 6-Ecks. Da gibt's in summa nur 18
> Dreiecke.
Nenne die 6 Eckpunkte doch einfach mal A,B,C,D,E,F.
Jedes 3-Eck entspricht einer Auswahl von 3 Buchstaben von diesen.
Wähle den ersten (6 Möglichkeiten), dann den 2. (5 Mögl.) dann den 3. (4 Mögl.)
Also gibt es insgesamt 120 Möglichkeiten.
Von diesen sind aber je 6 gleichbedeutend, weil es auf die Reihenfolge nicht ankommt.
Denn es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten 3 Buchstaben anzuordnen.
Also müssen wir die 120 Möglichkeiten durch 6 dividieren. Das sind 20.
überzeugt?
> Gefragt war in der Aufgabe aber nach der Summe aller
> Dreiecke, welche den Kreisrand berühren.
Das verstehe ich leider nicht:
Welche Dreiecke könnte es denn geben, die den Kreisrand nicht berühren, wenn alle Eckpunkte auf dem Kreis liegen?
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Will,
ich kann deiner Argumentation folgen, im Rahmen meiner beschränkten Möglichkeiten als Nichtmathematiker. Aber meine Zeichnungen sprechen einfach gegen diese Formel.
Wenn Du dir vielleicht einfach mal ein 6-Eck malen könntest, groß genug, mit allen Sehnen darin, und dann die Dreiecke auszählen könntest ... ?
> Das verstehe ich leider nicht:
> Welche Dreiecke könnte es denn geben, die den Kreisrand
> nicht berühren, wenn alle Eckpunkte auf dem Kreis liegen?
Ab dem regelmäßigen 7-Eck entstehen, wenn man die Sehnen einzeichnet, noch Dreiecke um den Mittelpunkt herum.
Beim 7-Eck liegen 28 Dreiecke mit mindestens einer Ecke auf dem Kreis, 7 kleinere liegen um den Mittelpunkt herum. (Zusammen 35)
Beim 8-Eck liegen 40 Dreiecke mit mindestens einer Ecke auf dem Kreis, 16 liegen um den Mittelpunkt herum - ohne den Umkreis zu berühren. (Zusammen 56)
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 So 21.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
> Hallo Will,
>
> ich kann deiner Argumentation folgen, im Rahmen meiner
> beschränkten Möglichkeiten als Nichtmathematiker. Aber
> meine Zeichnungen sprechen einfach gegen diese Formel.
wie schon gesagt:
In einer Zeichnung kann es leicht passieren, daß man Dreiecke übersieht.
> Wenn Du dir vielleicht einfach mal ein 6-Eck malen
> könntest, groß genug, mit allen Sehnen darin, und dann die
> Dreiecke auszählen könntest ... ?
Äähmm... sei mir bitte nicht bös, aber ich vertraue voll auf die Logik 
> > Das verstehe ich leider nicht:
> > Welche Dreiecke könnte es denn geben, die den Kreisrand
> > nicht berühren, wenn alle Eckpunkte auf dem Kreis liegen?
>
> Ab dem regelmäßigen 7-Eck entstehen, wenn man die Sehnen
> einzeichnet, noch Dreiecke um den Mittelpunkt herum.
>
> Beim 7-Eck liegen 28 Dreiecke mit mindestens einer Ecke auf
> dem Kreis, 7 kleinere liegen um den Mittelpunkt herum.
> (Zusammen 35)
>
> Beim 8-Eck liegen 40 Dreiecke mit mindestens einer Ecke auf
> dem Kreis, 16 liegen um den Mittelpunkt herum - ohne den
> Umkreis zu berühren. (Zusammen 56)
OK, ich sehe, was du meinst.
Aber eine mathematische Formel für wirklich alle so entstehenden Dreiecke aufzustellen, scheint mir jetzt auf den ersten Blick doch erheblich komplizierter zu sein. Das war in der Aufgabenstellung, so wie ich sie verstanden habe, auch nicht gemeint. Gesucht waren dort meiner Ansicht nach nur diejenigen Dreiecke, die ALLE Eckpunkte auf dem Kreis haben.
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 So 21.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Will,
wie wäre es mit folgender Betrachtung:
ein Eckpunkt eines 6-Ecks hat 5 Verbindungslinien zu den anderen Punkten. Dazwischen liegen also 4 Dreiecke. Bei den beiden jeweils übernächsten Punkten des 6-Ecks ist es genauso. Macht schon mal 3 * 4 = 12 Dreiecke.
Zwischen den Verbindungslinien der restlichen 3 Punkte liegen jeweils 2 noch nicht gezählte Dreiecke, da an diesen Punkten auf jeder Seite ein Dreieck liegt, das vom Nachbarpunkt aus bereits gezählt wurde. Macht 3 * 2 = 6 Dreiecke.
Zusammen also 12 + 6 = 18 Dreiecke im 6-Eck.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 So 21.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Martinius,
seien A,B,C,D,E, F die 6 Eckpunkte des 6-Ecks:
Dies sind die 20 Dreiecke:
ABC, ABD, ABE, ABF
ACD, ACE, ACF
ADE, ADF
AEF
BCD, BCE, BCF
BDE, BDF
BEF
CDE, CDF
CEF
DEF
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 So 21.10.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Will,
Du hast recht.
Ich hatte die Aufgabe falsch verstanden: ich hatte gemeint, dass es ausreicht, wenn nur eine oder zwei Ecken des Dreiecks auf dem Kreis liegen. Daurch habe ich z.B. zwischen den Punkten A und B 3 kleine Dreiecke gezählt, die durch Schitte der Sehnen entstanden sind.
Wenn aber alle 3 Punkte aller Dreiecke auf dem Kreis liegen sollen, sieht es ganz anders aus!
Sorry für die Mühe.
LG, Martinius
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