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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Di 13.09.2005 | | Autor: | nonne |
Hi. Würd gern mal wissen ob meine Rechnung stimmt.
Die Aufgabe lautet:
Zwischen dem Produzenten von elektronischen Bauteilen und einem Kunden soll ein Prüfplan für Lieferungen abgesprochen werden:
1) Aus der Lieferung werden zufällig 10 Bauteile entnommen und kontrolliert. Wenn alle Bauteile in Ordnung sind, wird die Lieferung angenommen; sind 2 oder mehr Teile defekt, geht die gesamte Lieferung zurück. Wenn 1 Teil defekt ist, werden weitere 10 Bauteile überprüft; falls unter diesen mindestens 1 defektes Teil entdeckt wird, weist der Kunde die Lieferung zurück.
Angenommen, 10% [1/6] der Bauteile einer Lieferung sind defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Lieferung angenommen?
Sooo da hab ich erstmal ne Frage: und zwar sind ja 10% und 1/6 angegeben, aber das müssen dann doch 2 unterschiedliche Aufgaben(teile) sein oder? Weil 10% sind ja nicht = 1/6 sondern 1/10?!
naja hab es auf jeden fall mal für 1/6 berechnet:
X=Anzahl der kaputten Teile
hab dann zunächst ein baumdiagramm gemalt mit a) angenommen (P(X)=0) b) unentschieden (P(X)=1) und dann danach nochmal 1 Stufe zusätzlich mit angenommen (P(X<gleich1) und nicht angenommen (P(X>gleich1) und c) nicht angenommen P(X>gleich2).
und damit die lieferung angenommen wird muss ja folgendes addiert werden:
P(X=0) + [P(X=1)*P(X<gleich1)].... oder??
und dann hab ich erstmal
P(X=0) berechnet => (5/6)^10 = 16,15%
P(X=1) = 10* [mm] [1/6*(5/6)^9] [/mm] = 32,3%
P(X<gleich1)=> P(X=0)+P(X=1) = 48,45%
und dann den Pfad multipliziert: P(X=1)*P(X<gleich1)= 15,64%
und bin dann auf das ergebnis
P(Lieferung wird angenommen) = P(X=0) + [P(X=1)*P(X<gleich1)] = 31,79%
gekommen!
Stimmt das alles so??
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:25 Di 13.09.2005 | | Autor: | mirco2 |
Hi nonne,
prinzipiell bin ich einverstanden mit deiner Argumentation bis auf einen kleinen Schönheitsfehler . Die dritte Wahrscheinlichkeit muss meiner Meinung nach P(X<1) anstatt P(X<gleich 1) lauten, denn hier geht es ja nur um die Anzahl der Fehler bei der zweiten 10er Stichprobe. Vielleicht wäre es besser hier eine zweite Variable einzuführen z.B. Y also P(Y<1)/P(Y=0).
Eine Anmerkung noch: Eigentlich handelt es sich hier ja um ein sogenanntes Urnenmodell und zwar um eines ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge . Dass heißt es werden k (hier 10) "Kugeln"(hier Bauteile) aus einer Gesamtheit von n Kugeln (hier alle Bauteile zusammen) gezogen, keines wird doppelt gezogen (hier geprüft), die Reihenfolge in der hier gezogen wird ist irrelevant, es kommt nur darauf an wieviele der 10 Bauteile defekt sind.
Fage: werden die Bauteile vielleicht zurückgelegt, bevor das nächst ausgewählt wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Di 13.09.2005 | | Autor: | mirco2 |
Also,
gesucht:
P1:=P(Lieferung wird angenommen)
nonne schreibt: P1=P(X=0) + P(X=1)*P(X<=1)
Clokwork schreibt P1=P(0 Teile)+P(1Teil) Also im Prinzip: P(X=0) +P(X=1)
mein Vorschlag: P1=P(X=0) +P(X=1)*P(Y=0)
X:=Anzahl der defekten Bauteile bei 1. Kontrolle
Y:=Anzahl der defekten Bauteile bei 2. Kontrolle (die natürlich nur durchgeführt wird, wenn X=1)
- hoffentlich gebrauche ich hier die Zufallsvariablennotation einigermaßen angemessen?!
natürlich ist P(X=0)=P(Y=0)
und deshalb hat nonne schon recht bis auf das < anstatt das <=
denn:
" Wenn 1 Teil defekt ist, werden weitere 10 Bauteile überprüft; falls unter diesen mindestens 1 defektes Teil entdeckt wird, weist der Kunde die Lieferung zurück."
d.h. X=1 und Y>=1 [mm] \Rightarrow [/mm] Lieferung wird abgelehnt
X=1 und Y<1/Y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Lieferung wird angenommen
ansonsten bin ich der Meinung, nonne, dass du die Wahrscheinlichkeiten auch richtig ausgerechnet hast, und auch die Idee stimmt (mit Baumdiagramm und Pfadmultiplikation), wobei dein Baumdiagramm nicht wiedergibt 1. Bauteil, 2. Bauteil ... (defekt oder nicht defekt), sondern X=...,Y=... kann man so machen (nochmal: X ist im allgemeinen nicht gleich Y aber z.B. P(X=0)=P(Y=0))
Die Pfadmultiplikation ist auch angemessen da X und Y unabhängig sind (zumindest wenn man das Binominalmodell zugrunde legt- siehe Ergänzung 2)
Das + in deiner Gleichung ist auch richtig, da es sich um 2 disjunkte Wahrscheinlichkeiten handelt (X kann nicht gleichzeitig 0 und 1 sein)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Di 13.09.2005 | | Autor: | mirco2 |
Also,
Wenn man hier das Binominalmodell zugrundelegt (ohne Beachtung der Reihenfolge, mit Wiederholung) kommt man zu den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten
P(X=0)= (10 über 0) mal [mm] p^0 [/mm] mal q^10
P(X=1)= (10 über 1) mal [mm] p^1 [/mm] mal [mm] q^9
[/mm]
P(X=2)= (10 über 2) mal [mm] p^2 [/mm] mal [mm] q^8
[/mm]
(10 über 0)=1
(10 über 1)=10 ...
p=Wahrscheinlichkeit wenn man ein Bauteil auswählt , dass dieses defekt ist
q=1-p
Bei einem Binominalmodell bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit ( in unserem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil defekt ist) für jedes Bauteil gleich, ist ja auch klar, da hier die Bauteile zurückgelegt werden, die Anzahl aller Bauteile spielt für die Wahrscheinlichkeitsermittlung
(P(X=0),...) keine Rolle, es kommt nur auf die Erfolgswahrscheinlichkeit an.
Wenn wir einmal 10 Proben nehmen, danach nochmal 10 sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten identisch, was ja auch klar ist, denn wir legen ja zurück, oder anders ausgedrücktdie erfolgswahrscheinlichkeit bleibt immer die gleiche. auch sind die entsprechenden Anzahlen der Erfolge X und Y unabhängig
Anders wenn wir ein Urnenmodell ohne Zurücklegen (und ohne Beachtung der Reihenfolge) haben. Jede Kugel die ich ziehe verändert die Erfolgswahrscheinlichkeit für die nächste Kugel. Somit sind X und Y nicht mehr unabhängig. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Aufgabe müssten anders aussehen und man müsste die gesamte Anzahl von Bauteilen kennen. Aber eigentlich, wie ich diese Aufgabe verstehe gehört sie in diese Kategorie.
Allerdings:
Wenn wir ein sehr große Anzahl von Kugeln (hier Bauteieln) vorliegen haben müssten die Wahrscheinlichkeiten für ein Urnenmodell ohne Zurücklegen annährend durch ein Urnenmodell mit Zurücklegen beschrieben werden können: Wenn ich eine Kugel von ganz vielen ziehe, ändert sich dadurch die ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit für die nächste Kugel kaum.
Naja, das alles nur am Rande - wen es interessiert. stimmt das alles so weit?
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Moin,
a) ja es sind 2 Aufgaben.
b) wir suchen die Wahrscheinlichkeit, das < 2 Teile defekt sind. Somit suchen wir P(0 Teile defekt) und P(genau 1 Teil defekt). Da die beiden Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, suchen wir P(0 Teile)+P(1 Teil).
Diese Wahrscheinlichkeiten hast du schon ausgerechnet
Somit P(Lieferung wird angenommen)=16,15%+32,3%
Das Baumdiagram ist etwas schwieriger...
Wenn "linker Ast" gleich "heile" bedeutet, hast du 11 Wege zu beschreiten.
1) immer links (== Defekte)
2-11) immer links bis auf einmal (beim ersten, zweiten, dritten, ... oder zehten Teil), dort gehst du rechts (=kaputt) so kommt die Zahl 10 * [mm] (5/6^9 [/mm] *1/6) zustande
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