Stochastische unabhängige ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Do 02.09.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Moin Leutz,
bei folgender Aufgabe brauch ich hilfe:
Sei p [mm] \in [/mm] [0,(2/3)] und seien [mm] X_i [/mm] für i=1,2,..., n >=3 stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in {-1,0,1}. Es gelte [mm] P(X_i=-1)=1/3 [/mm] und [mm] P(X_i=1)= [/mm] p für alle i=1,2,..,n.
(a) Bestimmen Sie [mm] P(X_1 \not= [/mm] -1) für beliebeiges p.
(b) Bestimmen Sie [mm] P(X_1 \not= X_2) [/mm] für p=1/3.
(c) Bestimmen Sie [mm] P(X_1 \not= X_2, X_2=X_3) [/mm] für p=1/3.
(d) Sind die Ereignisse [mm] {X_1\not=X_2} [/mm] und [mm] {X_2=X_3} [/mm] für p=1/3 |
Lösungsidee:
(a):
[mm] P(X_1 \not= [/mm] -1) [mm] =1-P(X_1 [/mm] =1) = 1-1/3 =2/3
(b):
hier hörts dann auf:
[mm] P(X_1 \not= -X_2) =1-P((X_1 =X_2)) [/mm]
ich komm nicht auf die wahrscheinlichkeit : [mm] P(X_1 =X_2) [/mm]
hier hängt es bei mir.
(c) denke ich mal, ist ähnlich wie bei (b)
da ich bei b hänge kann ich hier nicht weiter machen
(d)
[mm] {X_1\not=X_2} [/mm] und [mm] {X_2=X_3} [/mm] sind genau dann stochastisch unabhängig wenn gilt:
[mm] p({X_1\not=X_2} \cap {X_2=X_3})=p({X_1\not=X_2})*p( {X_2=X_3})
[/mm]
dazu müsste ich die wahrscheinlichkeiten kennen. von (b) bzw. (c)
ich hoffe ihr könnt mir helfen
LG
medi
|
|
| |
|
Hallo
> Moin Leutz,
>
> bei folgender Aufgabe brauch ich hilfe:
>
> Sei p [mm]\in[/mm] [0,(2/3)] und seien [mm]X_i[/mm] für i=1,2,..., n >=3
> stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf einem
> Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in {-1,0,1}. Es gelte
> [mm]P(X_i=-1)=1/3[/mm] und [mm]P(X_i=1)=[/mm] p für alle i=1,2,..,n.
>
> (a) Bestimmen Sie [mm]P(X_1 \not=[/mm] -1) für beliebeiges p.
> (b) Bestimmen Sie [mm]P(X_1 \not= X_2)[/mm] für p=1/3.
> (c) Bestimmen Sie [mm]P(X_1 \not= X_2, X_2=X_3)[/mm] für p=1/3.
> (d) Sind die Ereignisse [mm]{X_1\not=X_2}[/mm] und [mm]{X_2=X_3}[/mm] für
> p=1/3
>
> (b):
> hier hörts dann auf:
> [mm]P(X_1 \not= -X_2) =1-P((X_1 =X_2))[/mm]
>
> ich komm nicht auf die wahrscheinlichkeit : [mm]P(X_1 =X_2)[/mm]
> hier hängt es bei mir.
Na, du hast ja alles gegeben. Du musst die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass [mm]X_{1} = X_{2} = \lbrace -1,0,1 \rbrace[/mm].
Du hast also 3 Fälle, die hier auftreten können.
Dadurch, dass die Zufallsvariabeln unabhängig sind, kannst du [mm]P(X_{1} = X_{2} = i) = P(X_{1}=i)P(X_{2}=i)[/mm] ansetzen.
Danach über die Gegenwahrscheinlichkeit, wie du schon angedeutet hast.
>
> LG
> medi
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 02.09.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke für Hilfe,
ich weiß, dass ich im prinzip alles habe.
Mein Hauptproblem ist, dass ich die Aufgabe nicht richtig lösen, weil ich die Aufgabe nicht richtig entziffern kann. |
Ich kann [mm] {X_1\not=X_2} [/mm] und [mm] {X_2=X_3} [/mm] nicht bestimmen,
weil mir darunter nichts vorstellen kann.
wie würdet ihr die b) lösen
ich kann ja dann probieren den rest selber zu machen
danke für hilfe
matheja
|
|
|
| |
|
Hallo
Du hast:
[mm]P(X_{1} \neq X_{2}) = 1-P(X_{1}=X_{2}) = 1-(P(X_{1}=X_{2}=-1)+P(X_{1}=X_{2}=0)+P(X_{1}=X_{2}=1)) = 1-(P(X_{1}=-1)P(X_{2}=-1)+P(X_{1}=0)P(X_{2}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=1)) = \cdots [/mm]
Jetzt kannste sicher weiter machen
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 02.09.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke.
Aber zwei fragen habe ich noch.
|
> Hallo
>
> Du hast:
> [mm]P(X_{1} \neq X_{2}) = 1-P(X_{1}=X_{2}) = 1-(P(X_{1}=X_{2}=-1)+P(X_{1}=X_{2}=0)+P(X_{1}=X_{2}=1)) = 1-(P(X_{1}=-1)P(X_{2}=-1)+P(X_{1}=0)P(X_{2}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=1)) = \cdots[/mm]
>
> Jetzt kannste sicher weiter machen
>
> Grüsse, Amaro
1) Wieso ist : [mm] (P(X_{1}=X_{2}=-1)= P(X_{1}*P(X_{2}=-1)
[/mm]
2) Ist [mm] P(X_{i}=0 [/mm] = [mm] P(X_{i}=-1) [/mm] + [mm] P(X_{i}=+1)= [/mm] p+ 1/3
Ich würde dann auf:
[mm] 1-((1/3)^2+p^2+(1/3+p)^2))
[/mm]
Kann das sein?
LG
matheja
|
|
|
| |
|
Hiho,
>
> 1) Wieso ist : [mm](P(X_{1}=X_{2}=-1)= P(X_{1}*P(X_{2}=-1)[/mm]
Hier hast du falsch abgeschrieben.
Es gilt:
[mm] $\IP(X_{1}=X_{2}=-1) [/mm] = [mm] \IP(X_1 [/mm] = -1 [mm] \cap X_2 [/mm] = -1) = [mm] \IP(X_1=-1)*\IP(X_2=-1)$ [/mm] da die [mm] X_i [/mm] unabhängig sind.
> 2) Ist [mm]P(X_{i}=0[/mm] = [mm]P(X_{i}=-1)[/mm] + [mm]P(X_{i}=+1)=[/mm] p+ 1/3
Die Zeile macht so keinen Sinn, korrigier sie, dann sehen wir weiter 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich möchte hier nichts weiter korrigieren, da Gonozal dich ja schon auf deine Fehler hingewiesen hat.
Trotzdem du rechnest hier mit allgemeinem [mm]p[/mm]. Jedoch ist in deiner Beschreibung ja geschrieben, dass du die Aufgabe für [mm]p = \frac{1}{3}[/mm] lösen sollst.
Nun jetzt, wenn [mm]P(X = -1) = \frac{1}{3}[/mm] und [mm]P(X = 1) = p = \frac{1}{3}[/mm] ist, was wird wohl [mm]P(X = 0)[/mm] sein? ;)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 03.09.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Grüß buddha Leutz,
ich bins nochmal:
|
> Hallo
>
> Ich möchte hier nichts weiter korrigieren, da Gonozal dich
> ja schon auf deine Fehler hingewiesen hat.
>
> Trotzdem du rechnest hier mit allgemeinem [mm]p[/mm]. Jedoch ist in
> deiner Beschreibung ja geschrieben, dass du die Aufgabe
> für [mm]p = \frac{1}{3}[/mm] lösen sollst.
> Nun jetzt, wenn [mm]P(X = -1) = \frac{1}{3}[/mm] und [mm]P(X = 1) = p = \frac{1}{3}[/mm]
> ist, was wird wohl [mm]P(X = 0)[/mm] sein? ;)
hmmm grübel^^
ich hoffe ich blamiere mich jetzt nicht noch mehr
P(X = 0)= P(X = -1) + P(X = 1)= 1/3+1/3= 2/3 ?
>
> Grüsse, Amaro
erstmal danke für die Nachsicht und entschuldigung für die Verpeiltheit
$ [mm] P(X_{1} \neq X_{2}) [/mm] = [mm] 1-P(X_{1}=X_{2}) [/mm] = [mm] 1-(P(X_{1}=X_{2}=-1)+P(X_{1}=X_{2}=0)+P(X_{1}=X_{2}=1)) [/mm] = [mm] 1-(P(X_{1}=-1)P(X_{2}=-1)+P(X_{1}=0)P(X_{2}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=1)) [/mm] = [mm] \cdots [/mm] $= 1- ( [mm] (1/3)^2 +(2/3)^2 [/mm] + [mm] (1/3)^2 [/mm] )= 1/3
Ich hoffe, dass das nun richtig.
(c)
[mm] P(X_{1} \neq X_{2},X_{1} [/mm] = [mm] X_{2})
[/mm]
[mm] P(X_{1} \neq X_{2})=1/3
[/mm]
[mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] X_{2})= [/mm] 1- [mm] P(X_{1} \neq X_{2})=2/3
[/mm]
=> [mm] P(X_{1} \neq X_{2},X_{1} [/mm] = [mm] X_{2})=P(X_{1} \neq X_{2}) \cap P(X_{1} \neq X_{2}) [/mm] =1/3 * 2/3= 2/9
(d)
[mm] X_{1} [/mm] = [mm] X_{2} [/mm] und [mm] X_{1} \neq X_{2} [/mm] stochastisch unabhängig <=>
[mm] P(X_{1} [/mm] = [mm] X_{2}) \cap P(X_{1} \neq X_{2})=P(X_{1} =X_{2})* P(X_{1} \neq X_{2})=1/3*2/3=2/9
[/mm]
damit sind
[mm] X_{1} [/mm] = [mm] X_{2} [/mm] und [mm] X_{1} \neq X_{2} [/mm] stoch. unabhängig
was meint ihr?
LG
matheja
|
|
|
| |
|
Hallo
> Grüß buddha Leutz,
>
> ich bins nochmal:
>
>
>
> > Hallo
> >
> > Ich möchte hier nichts weiter korrigieren, da Gonozal dich
> > ja schon auf deine Fehler hingewiesen hat.
> >
> > Trotzdem du rechnest hier mit allgemeinem [mm]p[/mm]. Jedoch ist in
> > deiner Beschreibung ja geschrieben, dass du die Aufgabe
> > für [mm]p = \frac{1}{3}[/mm] lösen sollst.
> > Nun jetzt, wenn [mm]P(X = -1) = \frac{1}{3}[/mm] und [mm]P(X = 1) = p = \frac{1}{3}[/mm]
> > ist, was wird wohl [mm]P(X = 0)[/mm] sein? ;)
> hmmm grübel^^
> ich hoffe ich blamiere mich jetzt nicht noch mehr
> P(X = 0)= P(X = -1) + P(X = 1)= 1/3+1/3= 2/3 ?
>
Hmm nicht ganz. Anstatt -1,0 und 1 könnten die Möglichen Ergebnisse -34, 125 und 2098 sein.. und dann würdest du auch nicht versuchen Linearkombinationen herzustellen :)
-1,0 und 1 stehen nur representativ dafür, dass es einfach 3 mögliche verschiedene Ergebnisse gibt.
Du hast jetzt ja [mm]P(X \in \lbrace -1,0,1 \rbrace) = 1[/mm] und zusätzlich:
[mm]P(X = -1) = \frac{1}{3}[/mm]
[mm]P(X = 1) = \frac{1}{3}[/mm]
Dann ist [mm]P(X = 0) = 1-P(X = 1)-P(X = -1) = 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3} = \frac{1}{3}[/mm]
Damit solltest du b) wieder ausrechnen können :)
> >
> > Grüsse, Amaro
>
> erstmal danke für die Nachsicht und entschuldigung für
> die Verpeiltheit
>
Ach was.. das Forum ist doch dafür da, nicht Verstandenes sich erklären zu lassen usw. :)
> [mm]P(X_{1} \neq X_{2}) = 1-P(X_{1}=X_{2}) = 1-(P(X_{1}=X_{2}=-1)+P(X_{1}=X_{2}=0)+P(X_{1}=X_{2}=1)) = 1-(P(X_{1}=-1)P(X_{2}=-1)+P(X_{1}=0)P(X_{2}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=1)) = \cdots [/mm]=
> 1- ( [mm](1/3)^2 +(2/3)^2[/mm] + [mm](1/3)^2[/mm] )= 1/3
>
> Ich hoffe, dass das nun richtig.
>
> (c)
> [mm]P(X_{1} \neq X_{2},X_{1}[/mm] = [mm]X_{2})[/mm]
> [mm]P(X_{1} \neq X_{2})=1/3[/mm]
> [mm]P(X_{1}[/mm] = [mm]X_{2})=[/mm] 1- [mm]P(X_{1} \neq X_{2})=2/3[/mm]
Das ist ein Verschreiber.. es ist [mm]P(X_{1}\neq X_{2},X_{1}=X_{3})[/mm].. sonst würde es keinen Sinn machen, da nicht beides gleichzeitig passieren kann!
>
> => [mm]P(X_{1} \neq X_{2},X_{1}[/mm] = [mm]X_{2})=P(X_{1} \neq X_{2}) \cap P(X_{1} \neq X_{2})[/mm]
> =1/3 * 2/3= 2/9
>
> (d)
> [mm]X_{1}[/mm] = [mm]X_{2}[/mm] und [mm]X_{1} \neq X_{2}[/mm] stochastisch
> unabhängig <=>
> [mm]P(X_{1}[/mm] = [mm]X_{2}) \cap P(X_{1} \neq X_{2})=P(X_{1} =X_{2})* P(X_{1} \neq X_{2})=1/3*2/3=2/9[/mm]
>
> damit sind
> [mm]X_{1}[/mm] = [mm]X_{2}[/mm] und [mm]X_{1} \neq X_{2}[/mm] stoch. unabhängig
>
>
>
> was meint ihr?
>
> LG
>
>
> matheja
>
>
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:53 Fr 24.09.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi Leute, sry dass ich jetzt erst reagiere, war aber die ganze mit was anderem beschäftig.
Ich habe jetzt eine Lösung zur obigen Aufgabe ausgearbeitet und wollte fragen ob diese korrekt ist. |
a) [mm] P(X_1 \not= [/mm] -1) [mm] =1-P(X_1 [/mm] =1) = 1-1/3 =2/3
b)
- [mm] P(X_1 \not= [/mm] -1)= 1/3
- [mm] P(X_1 \not= [/mm] 1) = 1/3
- 1= [mm] P(X_1 \not= -1)+P(X_1 [/mm] = [mm] 1)+P(X_1 [/mm] = 0) <=> [mm] P(X_1 [/mm] = 0)= 1- 1/3 - 1/3= 1/3
[mm] P(X_{1} \neq X_{2}) [/mm] = [mm] 1-P(X_{1}=X_{2}) [/mm] = [mm] 1-(P(X_{1}=X_{2}=-1)+P(X_{1}=X_{2}=0)+P(X_{1}=X_{2}=1)) [/mm] = [mm] 1-(P(X_{1}=-1)P(X_{2}=-1)+P(X_{1}=0)P(X_{2}=0)+P(X_{1}=1)P(X_{2}=1)) [/mm] = [mm] (1/3)^2*3 [/mm] =3/9=1/3
c) [mm] P(X_{1} \neq X_{2},X_{2} [/mm] = [mm] X_{3})=
[/mm]
[mm] P(X_{1} \neq X_{2})= [/mm] 2/3
[mm] P(X_{2} [/mm] = [mm] X_{3}) [/mm] = 1/3
[mm] P(X_{1} \neq X_{2}=i) *P(X_{2} \neq X_{3}=i) [/mm] $ =1/3 * 2/3= 2/9 i [mm] \in [/mm] {1,0-1}
d)
[mm] P(X_{1} \neq X_{2},X_{2} [/mm] = [mm] X_{3}) [/mm] stochastisch unabhängig <=>
[mm] P(X_{1} \neq X_{2}=i) \cap P(X_{2} \neq X_{3}=i) [/mm] =1/3 * 2/3= 2/9
1. Frage ist das soweit richtig ?
2. Frage:
2.1 Wie kann ich Mediane und Modallstellen von [mm] X_1 [/mm] und p=5/12 bestimmen ?
hierzu habe ich leider keine Ahnung wie ich die Modalstellen bestimmen und Mediane bestimmen i-net hilft nicht wirklich weiter
2.2 Bestimmen Sie die Erwartungswerte [mm] EX_1 [/mm] für beliebiges p und E [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm] für beliebiges p und n-
Idee: für binominialverteilte Zufallsvariablen gilt: E(x)= n*p
=> E( [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i) [/mm] = n*p
=> E( [mm] \summe_{i=1}^{1} X_1) [/mm] = 1*p ???
2.3 Bestimmen Sie die Varianz [mm] X_1 [/mm] für p=1/3
Idee: da binominialverteilt: Var(x)= n*p (1-p)
[mm] X_1 [/mm] = 1 => n=1
p= 1/3
=> Var(x)= 1*(1/3)*(2/3)= 2/9
2.4 Wie groß ist in Abhängigkeit von p und n die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der Zufallsgrößen [mm] X_1, X_2, [/mm] ... [mm] ,X_{n} [/mm] den Wert 0 animmt?
( Hinweis: Die unmittelbar erhaltene Formel muss nicht vereinfacht werden)
Idee:
P( max i=1 ,n | [mm] X_i=0)
[/mm]
soll sagen das für [mm] x_i [/mm] höchstens ein der Zufallsvariabeln den Wert 0 annimmt.
P( max i=1 ,n | [mm] X_i=0)= 1-\produkt_{i=1}^{n} P(X_i=1) [/mm] = 1- [mm] p^n
[/mm]
Kann das sein??
LG und vielen dank für hilfe
matheja
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 26.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 08.10.2010 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Moin Leutz,
ich bins nochmal,
hat echt niemand eine Idee? |
Vll können wir das ja zusammen lösen ???
Für jegliche Hilfe dankbar
matheja
|
|
|
|
