Störgliedansatz finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Mi 08.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
Hallo, nochmal ganz kurz. Ich habe mir jetzt die verschiedenen Ansätze angeignet:
g(x)= [mm] e^{cx} [/mm]
Ansatz: A [mm] e^{cx}
[/mm]
Ansatz einfache Nullstelle: A x [mm] e^{cx}
[/mm]
Ansatz doppelte Nullstelle: A [mm] x^2 e^{cx}
[/mm]
g(x)= [mm] sin(\beta [/mm] x)
Ansatz: A [mm] sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x)
Ansatz einfache Nullstelle: x(A [mm] sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x))
Ansatz doppelte Nullstelle: [mm] x^2(A sin(\beta [/mm] x) + B [mm] cos(\beta [/mm] x))
[mm] g(x)=x^2
[/mm]
Ansatz: A [mm] x^2 [/mm] +B x + C
falls homogene Gleichung y=0 Ansatz: x(A [mm] x^2 [/mm] +b x + C)
falls homogene Gleichung y' =0 & y=0 Ansatz: [mm] x^2(A x^2 [/mm] +b x + C)
Allerdings sind mir noch ein paar dinge nicht ganz klar:
was mache ich wen g(x) = [mm] x^2 [/mm] +7x+8 lautet der Ansatz dann wie folgt?:
A [mm] x^2 [/mm] +7B x + 8C
Und nochmal kurz zu dieser Störfunktion g(x)= x [mm] e^{-x} [/mm] warum haben wir da den Ansatz "A [mm] x^2 e^{-x}" [/mm] gewählt?
Bindet die E-Funktion mehr als das x? Weil das ist doch eigentlich eine zusammengesetzte Störfunktion aus x und [mm] e^{-x} [/mm] und laut Buch müsste ich die Ansätze Multiplizieren.
Also: (A [mm] x^2 e^{-x}) [/mm] (Bx+C)
Nochmal danke an alle die mir in den letzten Tagen geholfen haben, war nicht ganz einfach mit mir, muss ich zugeben.
Das sollte meine letze frage sein in Richtung Störfunktion, ich wäre sehr dankbar wenn dies noch jemand klarstellen könnte.
Großes dankeschön schonmal an den jenigen der sich die Mühe macht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
http://www.imn.htwk-leipzig.de/~martin/Wirtschaftsmathematik_WIB/Ansatz inhomogene Dgl.pdf
FRED
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> Hallo, nochmal ganz kurz. Ich habe mir jetzt die
> verschiedenen Ansätze angeignet:
>
> g(x)= [mm]e^{cx}[/mm]
> Ansatz: A [mm]e^{cx}[/mm]
> Ansatz einfache Nullstelle: A x [mm]e^{cx}[/mm]
> Ansatz doppelte Nullstelle: A [mm]x^2 e^{cx}[/mm]
>
> g(x)= [mm]sin(\beta[/mm] x)
> Ansatz: A [mm]sin(\beta[/mm] x) + B [mm]cos(\beta[/mm] x)
> Ansatz einfache Nullstelle: x(A [mm]sin(\beta[/mm] x) + B [mm]cos(\beta[/mm]
> x))
> Ansatz doppelte Nullstelle: [mm]x^2(A sin(\beta[/mm] x) + B
> [mm]cos(\beta[/mm] x))
>
> [mm]g(x)=x^2[/mm]
> Ansatz: A [mm]x^2[/mm] +B x + C
> falls homogene Gleichung y=0 Ansatz: x(A [mm]x^2[/mm] +b x + C)
> falls homogene Gleichung y' =0 & y=0 Ansatz: [mm]x^2(A x^2[/mm] +b
> x + C)
naja eigentlich braucht man sich ja nur zu merken, den ansatz mit x zu multiplizieren, wenn der vorige ansatz schon element der homogenen lösung ist.
>
> Allerdings sind mir noch ein paar dinge nicht ganz klar:
> was mache ich wen g(x) = [mm]x^2[/mm] +7x+8 lautet der Ansatz dann
> wie folgt?:
> A [mm]x^2[/mm] +7B x + 8C
nein, [mm] A*x^2+B*x+C
[/mm]
die großbuchstaben in den Störgliedtabellen stehen für koeffizienten, die zu berechnen sind, die kleinen buchstaben zum einsetzen des bekannten wertes.
>
> Und nochmal kurz zu dieser Störfunktion g(x)= x [mm]e^{-x}[/mm]
> warum haben wir da den Ansatz "A [mm]x^2 e^{-x}"[/mm] gewählt?
> Bindet die E-Funktion mehr als das x? Weil das ist doch
> eigentlich eine zusammengesetzte Störfunktion aus x und
> [mm]e^{-x}[/mm] und laut Buch müsste ich die Ansätze
> Multiplizieren.
mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die dgl noch dazu angeben 
>
> Also: (A [mm]x^2 e^{-x})[/mm] (Bx+C)
>
>
> Nochmal danke an alle die mir in den letzten Tagen geholfen
> haben, war nicht ganz einfach mit mir, muss ich zugeben.
> Das sollte meine letze frage sein in Richtung
> Störfunktion, ich wäre sehr dankbar wenn dies noch jemand
> klarstellen könnte.
>
> Großes dankeschön schonmal an den jenigen der sich die
> Mühe macht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Mi 08.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
> mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die
> dgl noch dazu angeben
Ist die dabei so Wichtig? Spielen dabei nicht nur die Nullstellen der Charakteristischen Gleichung eine Rolle?
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> > mh, man müsste evtl. noch die homogene gleichung bzw die
> > dgl noch dazu angeben
>
>
> Ist die dabei so Wichtig? Spielen dabei nicht nur die
> Nullstellen der Charakteristischen Gleichung eine Rolle?
>
>
naja, bei [mm] g(x)=x*e^{-x} [/mm] wär mein ansatz nach superpositionsprinzip [mm] z(x)=(A*x+B)*C*e^{-x} [/mm] gewesen, falls A*x+B [mm] \not\in y_h [/mm] und [mm] C*e^{-x} \not\in y_H
[/mm]
Daher würd ich gern mal die dgl sehen um deinen ansatz nachzuvollziehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mi 08.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
das war die von Gestern:
y''+2y'+y= [mm] xe^{-x}
[/mm]
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> das war die von Gestern:
> y''+2y'+y= [mm]xe^{-x}[/mm]
achso, ja richtig
also ich weiss nicht ob es kürzer geht - ich habs nach unseren alten mitteln gemacht:
[mm] y''+2y'+y=x*e^{-x}
[/mm]
[mm] y_H=c_1*e^{-x}+c_2*x*e^{-x}
[/mm]
[mm] r(x)=x*e^{-x}
[/mm]
Ansatz:
[mm] z_1(x)=(A*x+B) \not\in y_H
[/mm]
[mm] z_2(x)=C*e^{-x} \in y_H (c_1*e^{-x}) [/mm] also mit x multiplizieren:
[mm] z_2(x)=C*x*e^{-x} \in y_H (c_2*x*e^{-x}) [/mm] also nochmal mit x multiplizieren:
[mm] z_2(x)=C*x^2*e^{-x} \not\in y_H
[/mm]
also ist unser gesamtansatz: [mm] z(x)=z_1(x)*z_2(x)=(A*x+b)*C*x^2*e^{-x}=A*C*x^3*e^{-x}+B*C*x^2*e^{-x}
[/mm]
A*C nennen wir jetzt D und B*C nennen wir E, somit
[mm] z(x)=D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x}
[/mm]
[mm] z'(x)=D*e^{-x}(3x^2-x^3)+E*e^{-x}(2x-x^2)
[/mm]
[mm] z''(x)=D*e^{-x}(6*x-6x^2+x^3)+E*e^{-x}*(2-4x+x^2)
[/mm]
[mm] z''(x)+2z'(x)+z(x)=x*e^{-x}
[/mm]
[mm] =D*e^{-x}(6*x-6x^2+x^3)+E*e^{-x}*(2-4x+x^2)+2*[D*e^{-x}(3x^2-x^3)+E*e^{-x}(2x-x^2)]+D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x}=x*e^{-x}
[/mm]
nun koeffizientenvergleich mit der letzten gleichung anstellen:
[mm] (e^{-x}): E*2=0\gdw [/mm] E=0
[mm] (e^{-x}*x): 6*D-4*E+2*E=1\gdw [/mm] 6*D=1 [mm] \gdw D=\frac{1}{6}
[/mm]
[mm] (e^{-x}*x^2): [/mm] kommt 0=0 raus, wegen Resonanz
[mm] (e^{-x}*x^3): [/mm] hier dasselbe
so nun setzen wir das E=0 und [mm] D=\frac{1}{6} [/mm] in den Ansatz von oben ein:
[mm] z(x)=D*x^3*e^{-x}+E*x^2*e^{-x}=\frac{1}{6}*x^3*e^{-x}
[/mm]
[mm] \uline{y_I=y_H+z=c_1*e^{-x}+c_2*x*e^{-x}+\frac{1}{6}*x^3*e^{-x}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mi 08.07.2009 | | Autor: | s3rial_ |
super danke, hast dir echt Mühe gegeben, rechne ich dir hoch an!
Und das beste ist, vertsanden habe ichs auch, gefällt mir zwar nicht, weil es verdammt viel rechnerei ist, aber ist logisch und leicht verständlich.
Läuft ;)
EDIT:
Verdammt [mm] sorry^2 [/mm] sollte wieder eine Mitteilung werden
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> super danke, hast dir echt Mühe gegeben, rechne ich dir
> hoch an!
gern!
> Und das beste ist, vertsanden habe ichs auch, gefällt mir
> zwar nicht, weil es verdammt viel rechnerei ist, aber ist
> logisch und leicht verständlich.
naja, an der schreibarbeit kommt man wohl nicht drum rum
> Läuft ;)
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> EDIT:
> Verdammt [mm]sorry^2[/mm] sollte wieder eine Mitteilung werden
mh, dann versteck ich diese mitteilung mal als antwort
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