Stufenwinkel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:06 Mi 02.12.2009 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | | Wie zeigt man eigentlich die Gültigkeit der Gleichheit von Stufenwinkeln? |
Hey,
schau mich gerade etwas schlau in Sachen Schulgeometrie und mir möchte einfach keine Herleitung für die Gültigkeit von Stufenwinkeln einfallen und im Netz habe ich soweit auch nichts gefunden. Vielleicht muss man es auch akzeptieren, weil man es ja sieht, aber das ist doch mathematisch schlampig.
Bin über eure Antworten, sofern sie kommen, sehr dankbar.
MfG
Martin
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> Wie zeigt man eigentlich die Gültigkeit der Gleichheit von
> Stufenwinkeln?
> Hey,
>
> schau mich gerade etwas schlau in Sachen Schulgeometrie und
> mir möchte einfach keine Herleitung für die Gültigkeit
> von Stufenwinkeln einfallen und im Netz habe ich soweit
> auch nichts gefunden. Vielleicht muss man es auch
> akzeptieren, weil man es ja sieht, aber das ist doch
> mathematisch schlampig.
> Bin über eure Antworten, sofern sie kommen, sehr
> dankbar.
>
> MfG
> Martin
Hallo Martin,
es kommt darauf an, auf welche geometrischen Axiome
du dich bei dem Beweis genau stützen willst.
Das fünfte Postulat von Euklid besagt:
"dass, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei
geraden Linien bewirke, dass innen auf derselben Seite entste-
hende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte würden, dann
die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich
treffen würden auf der Seite, auf der die Winkel lägen, die
zusammen kleiner als zwei rechte seien (kurz: dass zu einer
geraden Linie durch einen gegebenen Punkt, der außerhalb
dieser Geraden läge, höchstens eine dazu parallele gerade
Linie existieren dürfe, siehe Parallelenpostulat)."
(siehe unter: ![[]](/images/popup.gif) Euklidische Postulate)
Ich denke, dass man daraus mittels Kontraposition einen
"Beweis" für den Stufenwinkelsatz machen kann, der für
gewöhnlich in der Schule einfach als "offensichtlich"
betrachtet wird.
LG Al-Chw.
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Hallo, wikipedia liefert den entsprechenden Beweis, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 So 06.12.2009 | | Autor: | msg08 |
Hey,
vielen Dank, eine Mitteilung ist mir jetzt zwar total peinlich, aber sie muss einfach sein. Normalerweise ist wikipedia bei mir die allererste adresse, hab wohl nicht die besten suchwörter bei google eingegeben. Ein schöner Beweis, wobei ich eigentlich so Widerspruchsbeweise irritierend finde, wenn ich sie auch nachvollziehen kann oder es zumindest meine.
Auch vielen Dank für Euklid mit seinen Postulaten, verstehe deine Argumentation nicht ganz, aber schau es mir nochmal genauer an.
Vielen Dank nochmal.
MfG
Martin
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> Hey,
>
> ....... Ein schöner Beweis, wobei ich eigentlich so Wider-
> spruchsbeweise irritierend finde, wenn ich sie auch nach-
> vollziehen kann oder es zumindest meine.
>
> Auch vielen Dank für Euklid mit seinen Postulaten,
> verstehe deine Argumentation nicht ganz, aber schau es mir
> nochmal genauer an.
Hallo Martin,
ich habe mir den "Beweis" des Stufenwinkelsatzes,
auf den Steffi verwiesen hat, nun mal genauer ange-
schaut und komme zum Schluss, dass er leider
überhaupt kein gutes Beispiel
für die Beweismethode "durch Widerspruch" ist. Als
ersten Satz liest man dort:
Bewiesen wird die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes,
woraus der Beweis für den Stufenwinkelsatz selbst folgt.
Dies ist aber grober Unfug ! Durch den Beweis der Umkeh-
rung eines Satzes beweist man keineswegs auch den
Satz selbst.
Für eine korrekte Herleitung siehe
Herleitung aus dem Parallelenpostulat.
Gruß Al-Chw.
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Hallo Martin,
hier also die versprochene Herleitung aus dem
"Parallelenpostulat".
Der Stufenwinkelsatz sagt: Wenn zwei parallele
Geraden a und b von einer dritten Geraden c
gekreuzt werden, so sind die entstehenden
"Stufenwinkel" [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gleich groß. Also:
$\ [mm] a\parallel{b}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\beta$
[/mm]
Um diese Aussage zu beweisen, kann man statt
dessen ihre "Kontraposition" beweisen (Vorsicht:
das ist eben nicht dasselbe wie ihre "Umkehrung" !!!).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Kontraposition lautet: Wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nicht
gleich groß sind, so sind die Geraden a und b nicht
parallel (d.h. sie haben einen Schnittpunkt).
$\ [mm] \alpha\not=\beta \quad\Rightarrow\quad [/mm] a [mm] \not \parallel{b}\$
[/mm]
Nehmen wir also einmal an, wir hätten zwei verschiedene
Geraden a und b, welche von einer Geraden c in den zwei
(verschiedenen) Punkten A und B geschnitten werden.
Ferner seien die Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] verschieden groß.
Beispielsweise sei [mm] \beta>\alpha [/mm] (andernfalls Bezeichnungen
entsprechend setzen).
Betrachten wir nun den Komplementärwinkel [mm] \beta^{\*}=180^{\circ}-\beta [/mm] .
Aus [mm] \beta>\alpha [/mm] folgt [mm] \alpha+\beta^{\*}<180^{\circ} [/mm] .
Dies ist die Voraussetzung des 5.Postulats von Euklid,
und dessen Folgerung besagt, dass sich die Geraden
a und b in einem Punkt S schneiden müssen, also
nicht parallel sein können. Damit ist die Kontraposition
$\ [mm] \alpha\not=\beta \quad\Rightarrow\quad [/mm] a [mm] \not \parallel{b}\$
[/mm]
und somit auch der Stufenwinkelsatz
$\ [mm] a\parallel{b}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\beta$
[/mm]
nachgewiesen [mm] \square
[/mm]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Fr 11.12.2009 | | Autor: | msg08 |
Hi
also folger ich mithilfe vom 5. eukldischen Postulat die Äquivalenzgleichung:
Geraden nicht parallel <=> Stufenwinkel nicht gleich
Welchen Schritt wende ich jetzt an um auf
Geradenparallel <=> Stufenwinkel gleich
Aussagenlogik müsste ich somit anwenden dürfen richtig?
(1) Geraden nicht parallel => Stufenwinkel nicht parallel
nicht(Stufenwinkel nicht parallel) => nicht(Geraden nicht parallel)
Stufenwinkel parallel => Geraden parallel
(2) Stufenwinkel nicht gleich => Geraden nicht parallel
nicht(Geraden nicht parallel) => nicht(Stufenwinkel nicht gleich)
Geraden parallel => Stufenwinkel gleich
aus (1) und (2) folgt also
Geraden parallel <=> Stunfenwinkel gleich
so dann ja, anders geht es nicht mehr
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> Hi
>
> also folger ich mithilfe vom 5. eukldischen Postulat die
> Äquivalenzgleichung:
>
> Geraden nicht parallel <=> Stufenwinkel nicht gleich
>
> Welchen Schritt wende ich jetzt an um auf
>
> Geradenparallel <=> Stufenwinkel gleich
>
> Aussagenlogik müsste ich somit anwenden dürfen richtig?
>
> (1) Geraden nicht parallel => Stufenwinkel nicht parallel
>
> nicht(Stufenwinkel nicht parallel) => nicht(Geraden nicht
> parallel)
>
> Stufenwinkel parallel => Geraden parallel
>
> (2) Stufenwinkel nicht gleich => Geraden nicht parallel
>
> nicht(Geraden nicht parallel) => nicht(Stufenwinkel nicht
> gleich)
>
> Geraden parallel => Stufenwinkel gleich
>
> aus (1) und (2) folgt also
>
> Geraden parallel <=> Stunfenwinkel gleich
Hallo,
in deiner Aufgabe ging es eigentlich nur um den Teil:
"Geraden parallel => Stufenwinkel gleich"
Nach Aussagenlogik ist dies äquivalent zu
"Stufenwinkel nicht gleich => Geraden nicht parallel"
und diese Aussage ist (in etwas anderer Formulierung)
identisch mit dem 5. Euklidschen Postulat.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 13.12.2009 | | Autor: | msg08 |
Hi,
sorry, dass ich mich nochmal so spät zu dem eigentlich schon gültigen Beweis äussern muss. Aber mir fehlt noch so ein missing link. Habe viel nachgedacht und wurde einfach immer unsicherer, weswegen ich jetzt noch einmal ein kleines Fragezeichen einwerfe.
> Hallo Martin,
>
> hier also die versprochene Herleitung aus dem
> "Parallelenpostulat".
> Der Stufenwinkelsatz sagt: Wenn zwei parallele
> Geraden a und b von einer dritten Geraden c
> gekreuzt werden, so sind die entstehenden
> "Stufenwinkel" [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] gleich groß. Also:
>
> [mm]\ a\parallel{b}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\beta[/mm]
>
> Um diese Aussage zu beweisen, kann man statt
> dessen ihre "Kontraposition" beweisen (Vorsicht:
> das ist eben nicht dasselbe wie ihre "Umkehrung" !!!).
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die Kontraposition lautet: Wenn [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] nicht
> gleich groß sind, so sind die Geraden a und b nicht
> parallel (d.h. sie haben einen Schnittpunkt).
>
> [mm]\ \alpha\not=\beta \quad\Rightarrow\quad a \not \parallel{b}\[/mm]
>
> Nehmen wir also einmal an, wir hätten zwei verschiedene
> Geraden a und b, welche von einer Geraden c in den zwei
> (verschiedenen) Punkten A und B geschnitten werden.
> Ferner seien die Winkel [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] verschieden
> groß.
> Beispielsweise sei [mm]\beta>\alpha[/mm] (andernfalls Bezeichnungen
> entsprechend setzen).
> Betrachten wir nun den Komplementärwinkel
> [mm]\beta^{\*}=180^{\circ}-\beta[/mm] .
> Aus [mm]\beta>\alpha[/mm] folgt [mm]\alpha+\beta^{\*}<180^{\circ}[/mm] .
Allgemeingültig heisst ja [mm] \beta>\alpha [/mm] doch eben das:
[mm] 0^{\circ} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta [/mm] < [mm] 180^{\circ} [/mm] (Grundgesetz nichtparalleler Geraden?)
Aber [mm]\alpha+\beta^{\*}<180^{\circ}[/mm] kann ich einfach nicht folgern.
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> > Beispielsweise sei [mm]\beta>\alpha[/mm]
> > Betrachten wir nun den Komplementärwinkel
> > [mm]\beta^{\*}=180^{\circ}-\beta[/mm] .
> > Aus [mm]\beta>\alpha[/mm] folgt [mm]\alpha+\beta^{\*}<180^{\circ}[/mm] .
>
> Allgemeingültig heisst ja [mm]\beta>\alpha[/mm] doch eben das:
>
> [mm]0^{\circ}[/mm] < [mm]\alpha[/mm] < [mm]\beta[/mm] < [mm]180^{\circ}[/mm] (Grundgesetz
> nichtparalleler Geraden?)
>
> Aber [mm]\alpha+\beta^{\*}<180^{\circ}[/mm] kann ich einfach nicht
> folgern.
[mm] $\red{\alpha+\beta^{\*}\ =\ \alpha+180^{\circ}-\beta\ =\ 180^{\circ}\,-\,(\underbrace{\beta-\alpha}_{positiv})\ <\ 180^{\circ}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 So 13.12.2009 | | Autor: | msg08 |
Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 13.12.2009 | | Autor: | msg08 |
Sorry, ein Flüchtigkeitsfehler?l
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta^{\*} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] 180^{\circ} [/mm] - [mm] \beta [/mm] = [mm] 180^{\circ} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
und [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] > [mm] 180^{\circ} [/mm] könnte auch gelten?
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> Sorry, ein Flüchtigkeitsfehler?
>
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta^{\*}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]180^{\circ}[/mm] - [mm]\beta[/mm] =
> [mm]180^{\circ}[/mm] - [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> und [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] > [mm]180^{\circ}[/mm] könnte auch gelten?
Ich habe in einer früheren Antwort angemerkt:
Ferner seien die Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] verschieden groß.
Beispielsweise sei [mm] \beta>\alpha [/mm] (andernfalls Bezeichnungen
entsprechend setzen)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Mo 14.12.2009 | | Autor: | msg08 |
> Sorry, ein Flüchtigkeitsfehler?l
>
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta^{\*}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]180^{\circ}[/mm] - [mm]\beta[/mm] =
> [mm]180^{\circ}[/mm] - [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm]
>
> und [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] > [mm]180^{\circ}[/mm] könnte auch gelten?
Sorry, nochmal neu:
[mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta^{\*}[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]180^{\circ}[/mm] - [mm]\beta[/mm] = [mm] 180^{\circ} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta [/mm] = [mm] 180^{\circ} [/mm] - [mm] (-\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = [mm] 180^{\circ} [/mm] - [mm] (\beta [/mm] - [mm] \alpha)
[/mm]
Entschuldige.
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