Sturz in Fluss - DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 26.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
| Aufgabe | Professor Dynamix ist in einen Fluss der Breite B > 0 gestürzt, der mit reißender, aber konstanter Geschwindigkeit 1 in Richtung der x1–Achse fließt. Mit letzter Kraft und ebenfalls konstanter Geschwindigkeit c > 0 schwimmt er immer auf seinen Studi zu, der vom Ursprung am anderen
Ufer aus gespannt zuschaut und sich nicht von der Stelle rührt. Schafft es Professor Dynamix, ans andere Ufer zu gelangen? Wenn ja, gib eine obere Schranke für die Zeit an, die er dafür braucht. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Außerdem ist das meine erste Frage, die ich überhaupt in einem Forum stelle. Hab aber schon oft hilfreiche Hinweise bei anderen Aufgaben in diesem Forum hier gefunden (als Gast) und hab deshalb gedacht, hier vielleicht Hilfe zu finden...
Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Übungsaufgabe zur VL Gewöhnliche Differentialgleichungen.
Die Antwort auf die Frage, ob der Prof. Dynamix es auf die andre Seite schafft, ist in jeden Fall ja, denke ich!
Hab versucht die Situation in einem zwei-dimensionalen Ko-System darzustellen. Der Student befindet sich im Ursprung, die x1-Achse ist das Ufer des Flusses, an dem der Student steht. Das andere Ufer des Flusses ist eine Parallele zur x1-Achse im Abstand B (Flussbreite), also x2=-B. Hierbei habe ich -B gewählt, dass die Richtung, in die der Professor schwimmt, positiv ist (also zumindest die x2-Richtung, die x1-Richtung der Schwimmkomponente des Profs ist ja negativ, weil der Fluss in die positive Richtung fließt).
Somit gibt es in x1-Richtung zwei Geschwindigkeiten, v für den Fluss und einen Teil von c vom Prof in die entgegengesetzte Richtung, also -x1.
In x2-Richtung gibt es nur eine Geschwindigkeit, nämlich den x2-Anteil von c. Dieser ist größer Null (laut Angabe) und somit wird es der Prof. in jedem Fall (irgendwann) schaffen, an die andere Seite zu gelangen.
Ich weiß jetzt allerdings nicht so wirklich, wie ich hieraus eine DGL basteln soll. Müsste wohl die Geschwindigkeiten v und c als Ableitung des Ortes bzw. als Ortsänderung nehmen und entsprechend addieren. Da stoß ich allerdings im Moment an meine Grenzen.
Vielleicht hat jemand hier im Forum eine Idee, wie ich hierzu eine DGL formulieren kann oder was ich sonst tun müsste, um das Problem zu lösen.
Vielen Dank schon mal im Voraus für die Bemühungen!!!
MfG,
MaTEEler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 26.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Professor Dynamix ist in einen Fluss der Breite B > 0
> gestürzt, der mit reißender, aber konstanter
> Geschwindigkeit 1 in Richtung der x1–Achse fließt. Mit
> letzter Kraft und ebenfalls konstanter Geschwindigkeit c >
> 0 schwimmt er immer auf seinen Studi zu, der vom Ursprung
> am anderen
> Ufer aus gespannt zuschaut und sich nicht von der Stelle
> rührt. Schafft es Professor Dynamix, ans andere Ufer zu
> gelangen? Wenn ja, gib eine obere Schranke für die Zeit
> an, die er dafür braucht.
> Hallo!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Außerdem ist das meine erste Frage, die ich überhaupt in
> einem Forum stelle. Hab aber schon oft hilfreiche Hinweise
> bei anderen Aufgaben in diesem Forum hier gefunden (als
> Gast) und hab deshalb gedacht, hier vielleicht Hilfe zu
> finden...
>
> Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Übungsaufgabe zur
> VL Gewöhnliche Differentialgleichungen.
>
> Die Antwort auf die Frage, ob der Prof. Dynamix es auf die
> andre Seite schafft, ist in jeden Fall ja, denke ich!
>
> Hab versucht die Situation in einem zwei-dimensionalen
> Ko-System darzustellen. Der Student befindet sich im
> Ursprung, die x1-Achse ist das Ufer des Flusses, an dem der
> Student steht. Das andere Ufer des Flusses ist eine
> Parallele zur x1-Achse im Abstand B (Flussbreite), also
> x2=-B. Hierbei habe ich -B gewählt, dass die Richtung, in
> die der Professor schwimmt, positiv ist (also zumindest die
> x2-Richtung, die x1-Richtung der Schwimmkomponente des
> Profs ist ja negativ, weil der Fluss in die positive
> Richtung fließt).
>
> Somit gibt es in x1-Richtung zwei Geschwindigkeiten, v für
> den Fluss und einen Teil von c vom Prof in die
> entgegengesetzte Richtung, also -x1.
> In x2-Richtung gibt es nur eine Geschwindigkeit, nämlich
> den x2-Anteil von c. Dieser ist größer Null (laut Angabe)
> und somit wird es der Prof. in jedem Fall (irgendwann)
> schaffen, an die andere Seite zu gelangen.
>
> Ich weiß jetzt allerdings nicht so wirklich, wie ich
> hieraus eine DGL basteln soll. Müsste wohl die
> Geschwindigkeiten v und c als Ableitung des Ortes bzw. als
> Ortsänderung nehmen und entsprechend addieren. Da stoß
> ich allerdings im Moment an meine Grenzen.
>
> Vielleicht hat jemand hier im Forum eine Idee, wie ich
> hierzu eine DGL formulieren kann oder was ich sonst tun
> müsste, um das Problem zu lösen.
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus für die Bemühungen!!!
>
> MfG,
> MaTEEler
Hallo,
du triffst hier einige Annahmen, die ich ohne Nachfrage nicht teilen möchte.
WO fällt denn der Prof in den Fluss? Dazu hast du keine Aussage gemacht. Wenn diese Stelle vom Ursprung aus gesehen stromaufwärts ist, würde er nämlich anfangs gar nicht teilweise gegen den Strom schwimmen, sondern zunächst hauptsächlich mit dem Strom und nur ein klein wenig in Richtung anderes Ufer. Erst beim Vorbeitreiben am Ursprung wäre er senkrecht zur Strömung unterwegs, um anschließend teilweise gegen den Strom zu schwimmen. Je weiter er dann vom Ursprung abtreibt, um so geringer wird seine Komponente in Uferrichtung.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 26.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hallo abakus,
danke für die schnelle Antwort.
Du hast recht, das macht einen wohl nicht ganz unwesentlichen Unterschied. Allerdings geht aus der Aufgabenstellung nichts diesbezüglich hervor (vgl. Aufgabenstellung, sie ist genau so wie ich sie hier gepostet habe).
Meine Annahme war in der Tat, dass er praktisch gegenüber des Studenten befindet und dort in den Fluss stürzt. Also Anfangskoordinaten wären dann (0,-B), sprich auf der x2-Achse bei -B.
Man könnte das möglicherweise als Anfangswerte annehmen. Vielleicht kann man auch von einem allgemeinen x1 ausgehen als Startwert (x0) ausgehen, x2 bleibt ja in jedem Fall gleich -B. Also wären die Startkoordinaten (x1,x2)=(x0,-B). Was die Sache wohl ein Stück weit verkompliziert wegen der Fallunterscheidungen, die du auch schon angesprochen hast (Addition der Geschwindigkeiten v und c1 solange x1<0, dann Subtraktion, da entgegengesetzt).
Also wirklich klar ist der Startpunkt leider nicht... Vielleicht hast du trotzdem noch Ideen?!
Vielen Dank,
MaTEEler
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Hallo,
für die Beantwortung der Frage, ob der Professor das
andere Ufer erreichen kann, ist wohl die genaue Start-
position unerheblich. Wichtig ist dafür ja nur das
qualitative Verhalten der Bahnkurve für genügend
große t-Werte (Zeit). Wird der (punktförmige !) Prof
bis zu einer Stelle flussabwärts von der Position des
Studenten (welcher, ebenfalls punktförmig, exakt an
der geradlinigen Uferlinie steht) abgetrieben, und ist
die Schwimmgeschwindigkeit c des Professors kleiner
als die Fließgeschwindigkeit des Flusses, so ist die
Strategie des Professors, stets in Richtung zum
Studenten hin zu paddeln, wohl tödlich (falls der
punktförmige Professor nur eine endliche Lebenszeit
hat). Er wird sich zwar asymptotisch der Uferlinie
annähern, diese aber nie wirklich erreichen.
Der Studi könnte ihm allerdings das Leben retten,
falls er nur einen Schritt vom Uferrand zurück machen
würde ...
(die DGL werde ich jetzt auch noch aufstellen und zu
lösen versuchen)
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für die Ausführungen.
Ob die Geschwindigkeit c, mit der der punktförmige Prof in Richtung des Studenten schwimmt tatsächlich kleiner ist als die Fließgeschwindigkeit v des Flusses ist nicht unbedingt vorgegeben. Nachdem der Fluß jedoch laut Aufgabenstellung mit "reißender" Geschwindigkeit fließt, ist dies wohl eine durchaus realistische Annahme.
Auch die Tatsache, dass der Prof in die Richtung des Studenten (=Ursprung) schwimmt und somit wohl eine tödliche Strategie anwendet, leuchtet mir ein. Mit größer werdendem t wird der Beitrag in x2-Richtung, also senkrecht zur Fließrichtung des Flusses, somit immer kleiner. Der Prof befindet sich mit dieser Strategie praktisch in einem Teufelskreis: Je näher er dem anderen Ufer kommt, desto geringer wird der x2-Anteil der Schwimmgeschwindigkeit. Ich denke es gilt der folgende Zusammenhang für den x2-Anteil der Schwimmgeschwindigkeit c:
[mm] c_{2}~sin(\alpha), [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel ist zwischen dem Ufer, also der x1-Achse, und der Verbindungslinie Prof-Student. Da [mm] \alpha [/mm] mit zunehmender Zeit t kleiner wird (der Prof nähert sich ja stets dem anderen Ufer an) und somit auch [mm] sin(\alpha) [/mm] kleiner wird nimmt somit der Beitrag der Schwimmgeschwindigkeit in x2-Richtung auch ab und deshalb würde der Prof - wie in deiner Antwort beschrieben - nur beliebig (asymptotisch) nahe ans andere Ufer herankommen, es aber nie erreichen.
Der eine Schritt des Studenten weg vom Ufer würde genau deshalb dann das Erreichen des Ufers ermöglichen!
Vielen Dank Al-Chwarizmi für die weiterführenden Ausführungen!
Es wäre toll, wenn das mit der DGL auch noch klappt, mir fehlt hierfür leider immer noch jegliche Idee, wie ich dabei vorzugehen habe...
Gruß,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:23 Mi 26.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Habe leider festgestellt, dass mein Zusammenhang zwischen [mm] c_{2} [/mm] und dem Winkel [mm] \alpha [/mm] anders dargestellt wird, als ich es wollte (bin noch neu hier, hat wohl mit der Formeleingabe leider nicht ganz auf Anhieb geklappt, sorry!)
Der Zusammenhang, den ich meine ist korrigiert der Folgende:
[mm] c_{2} \sim sin(\alpha)
[/mm]
In Worten: c2 verhält sich proportional zum Sinus des Winkels [mm] \alpha. [/mm] Welcher Winkel mit [mm] \alpha [/mm] gemeint ist, ist bereits erläutert.
Sorry nochmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 28.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Der Studi könnte ihm allerdings das Leben retten,
> falls er nur einen Schritt vom Uferrand zurück machen
> würde ...
kleines Problem:
wie lang ist ein Schritt eines punktförmigen Studenten ?
und außerdem:
wie bewerkstelligt ein punktförmiger Professor das Schwimmen ?
 Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mi 26.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hehe, ja das sind wohl interessante Ansätze, wie ich mit meinem (wirklichen, nicht punktförmigen) Prof und seinen Assistenten über Sinn oder Unsinn bzw. Realitätsbezug der Aufgabe diskutieren könnte...;)
Dennoch zurück zur eigentlichen Übungsaufgabe.
Hierfür sind diese Fragen ja nicht zu beantworten, sondern mit Annahme der Punktförmigkeit entsprechend als DGL zu lösen, wozu mir leider immernoch jeglicher Ansatz/Zugang fehlt...
Es wäre sehr schön, hierzu vielleicht auch noch Hilfe erhalten zu können...
Vielen Dank schon mal bis hierhin!;)
MfG,
MaTEEler
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Hallo MaTEEler,
übernehmen wir also deine Anordnung in der x-y-Ebene:
Zu erreichende Uferlinie y=0 ; Position des Studenten S(0|0) ;
Position des Professors P(x,y) (mit y<0) .
Geschwindigkeitsvektoren:
Fluss: [mm] $\vec{v}_F\ [/mm] =\ [mm] \pmat{v\\0}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0}$
[/mm]
(die Festlegung v=1 ist der Aufgabenstellung zu entnehmen)
Schwimmgeschwindigkeit: [mm] $\vec{v}_S$ [/mm] mit [mm] $|\vec{v}_S|=c$
[/mm]
resultierender Geschwindigkeitsvektor von P: [mm] $\vec{v}\ [/mm] =\ [mm] \vec{v}_F+\vec{v}_S\ [/mm] =\ [mm] \pmat{v_x\\v_y}$
[/mm]
Der Vektor [mm] $\vec{v}_S$ [/mm] hat den Betrag c und zeigt in die
Richtung des Vektors [mm] $\overrightarrow{PS}\ [/mm] =\ [mm] -\,\pmat{x\\y}$
[/mm]
Damit kann man die Komponenten [mm] v_x [/mm] und [mm] v_y [/mm] von [mm] $\vec{v}$
[/mm]
durch c, x und y ausdrücken.
Dann ist die Steigung der Bahnkurve im Punkt P:
$\ m\ =\ [mm] \frac{dy}{dx}\ [/mm] =\ [mm] \frac{v_y}{v_x}$
[/mm]
( diese Gleichung versagt allerdings im Fall [mm] v_x=0 [/mm] )
Nächster Schritt ist, sich um die Lösungen der entstan-
denen Differentialgleichung zu kümmern und schließlich
die Anfangsbedingung (wo der Prof in den Fluss fällt)
einzusetzen.
Die Frage bleibt, ob es auf der Bahnkurve einen Punkt
mit y=0 gibt (Antwort eventuell vom Wert von c abhängig).
Gerade merke ich noch:
Für die Frage nach einer Schranke für die benötigte Zeit
wäre es sinnvoller, statt der DGL für y(x) ein DGL-
System für [mm] \pmat{x(t)\\y(t)} [/mm] aufzustellen !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Fr 28.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hallo zusammen,
nochmals danke für die tollen Antworten!
Hab jetzt mal versucht mit den Hinweisen von Al-Chwarizmi die DGL aufzustellen.
Sieht dann meiner Meinung nach folgendermaßen aus, wobei [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] die Startposition, also die Anfangswerte des Professors (die Stelle, an der er ins Wasser fällt), meint:
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] = [mm] \vec{x_{0}} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] * t = [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + t * [mm] \vektor{v_{x} \\ v_{y}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + t * [mm] (\vektor{1 \\ 0}+\bruch{-c}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\vektor{x \\ y}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + t * [mm] \vektor{1-\bruch{c}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}*x \\ -\bruch{c}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}*y}
[/mm]
Nachdem das allerdings keine DGL ist (es kommen nirgends Differentiale vor, wenn ich diese Darstellung wähle), habe ich noch einen zweiten Ansatz probiert, der vom selben ausgeht, allerdings die Geschwindigkeit [mm] v_{x} [/mm] als [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] darstellt (analog für die y-Komponente):
[mm] \vektor{x(t) \\ y(t)} [/mm] = [mm] \vec{x_{0}} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] * t = [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + t * [mm] \vektor{v_{x} \\ v_{y}}= \vektor{x_{0} \\ y_{0}} [/mm] + t * [mm] \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}}
[/mm]
Umgestellt ergibt sich dann:
[mm] \vektor{\bruch{dx}{dt} \\ \bruch{dy}{dt}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t}*[\vektor{x(t) \\ y(t)}-\vektor{x_{0} \\ y_{0}}]
[/mm]
Allerdings finde ich dann als Lösung nur x(t) = y(t) = t.
Das scheint mir doch etwas sonderbar, da es zum Einen völlig unabhängig ist von den Geschwindigkeiten, insb. von c, und zum anderen eine völlig unerwartete Bahnkurve darstellt, nämlich eine gleichmäßige Bewegung in x- und y-Richtung, also eine Gerade mit Steigung 1, in Formeln: Bahnkurve y(t) = t - B mit B als Flussbreite (vgl. Aufgabenstellung).
Vielleicht hat noch jemand Hinweise/Anmerkungen/Korrekturen zu meiner Vorgehensweise.
Vielen Dank schon mal im Voraus für die Bemühungen.
Gruß,
MaTEEler
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo MaTEEler,
dein Ansatz $\vektor{x(t) \\ y(t)}\ =\ \vec{x_{0}}\ +\ \vec{v} * t$
ist nicht richtig. Der käme dann in Frage, wenn wir es mit
einer geradlinigen Bewegung mit konstantem Geschwindigkeits-
vektor zu tun hätten. Der richtige Ansatz ist:
$\vektor{\dot{x}(t) \\ \dot{y}(t)}\ =\ \vec{v}(t) $
Dabei sind \dot{x}(t) und \dot{y}(t) die Ableitungen nach der Zeit t .
So kommt man auf das DGL-System:
$\begin{cases}\ \dot{x}(t)}\ =\ 1-\frac{c*x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \ \dot{y}(t)}\ =\ -\frac{c*y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}$
Eine analytische Lösung dieses Systems liegt vermutlich
jenseits meiner aktuellen Fähigkeiten (lang ist's her, seitdem
ich mich mit komplexeren DGL beschäftigen musste).
Für eine numerische Lösung habe ich mal mit Mathematica
einen Versuch gestartet, kämpfe aber daran noch etwas ...
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun ein Pascal-Programm erstellt, welches das
Schicksal des Professors grafisch darstellt. Falls er weniger
schnell schwimmt als der Fluss fliesst, wird er abgetrieben
und nähert sich dem Gegenufer asymptotisch:
c=0.7
[Dateianhang nicht öffentlich]
Übertrifft aber seine Schwimmgeschwindigkeit die Fließge-
schwindigkeit, so kommt er bei seinem Studenten an:
c=1.2
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:41 Sa 29.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hallo nochmal,
die DGL leuchtet mir ein, hatte den Ansatz ja auch schon verwendet, nur eben mittendrin eingesetzt, statt als eigentlichen Ansatz angenommen. Macht so aber deutlich mehr Sinn.
Die Grafiken sind toll, klingt auch vernünftig, dass es vom Wert von c abhängt und folgt auch aus der analytischen Lösung. Hab die DGL durch Variablentrennung und folgender Integration mithilfe von Maple gelöst und erhalte folgendes Ergebnis (die Lösung für x(t) existiert auch, ist jedoch aufgrund des "1-" deutlich komplizierter; da für die Frage nach dem Erreichen des anderen Ufers und der zeitlichen Schranke t hierfür die Betrachtung von y(t) genügt, hier nur meine Lösung für y(t)):
Nach Variablentrennung folgt die entsprechende Integration
[mm] -\integral {\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y} dy} [/mm] = [mm] \integral{dt}
[/mm]
und die liefert mithilfe von Maple
[mm] -\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c}+\bruch{x*ln(\bruch{2x*(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})}{y})}{c}=t
[/mm]
Somit hat man die indirekte Proportionalität zwischen t und c, sprich für kleine c wird t groß und umgekehrt, was der Behauptung und Logik entspricht. Was mir allerdings noch nicht so recht klar ist, ist wie ich anhand der analytischen Lösung die Grenze für c=1 bzgl. Erreichen oder Nicht-Erreichen des anderen Ufers erkennen kann.
Man könnte argumentieren, dass für kleine y (also nahe am ersehenten Ufer) der Logarithmus-Term divergiert und das dazu führt, das t gegen unendlich geht. Da dies aber ja nur für c < 1 der Fall ist, weiß ich noch nicht so recht, woran man das unterscheiden kann.
Der (meiner Meinung nach) entscheidende Unterschied ist, dass für c < 1 bei abnehmenden y der x-Wert hingegen zunimmt (ist aus den Grafiken schön zu erkennen), wohingegen für c > 1 bei abnehmenden y-Wert auch der x-Wert abnimmt und dadurch keine Divergenz mehr im Logarithmus-Term vorliegt, da durch den quadratischen Einfluss von x die Divergenz erlischt.
Allerdings fehlt mir hierfür die (analytische) Begründung, soll heißen der Nachweis dafür, dass sich x und y für entsprechend unterschiedliche Werte von c wie beschrieben verhalten.
Ich würde mich freuen, wenn auch hierfür noch Ideen/Vorschläge/Korrekturen etc. genannt werden.
Ansonsten bedanke ich mich für die tolle Unterstützung und der tollen Aufarbeitung der Fragestellung und die Mühen, die hierfür (freiwillig!) investiert wurden - eine schöne erste Erfahrung in diesem Forum!;)
MfG,
MaTEEler
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> Hallo nochmal,
>
> die DGL leuchtet mir ein, hatte den Ansatz ja auch schon
> verwendet, nur eben mittendrin eingesetzt, statt als
> eigentlichen Ansatz angenommen. Macht so aber deutlich mehr
> Sinn.
> Die Grafiken sind toll, klingt auch vernünftig, dass es
> vom Wert von c abhängt und folgt auch aus der analytischen
> Lösung. Hab die DGL durch Variablentrennung und folgender
> Integration mithilfe von Maple gelöst und erhalte
> folgendes Ergebnis (die Lösung für x(t) existiert auch,
> ist jedoch aufgrund des "1-" deutlich komplizierter; da
> für die Frage nach dem Erreichen des anderen Ufers und der
> zeitlichen Schranke t hierfür die Betrachtung von y(t)
> genügt, hier nur meine Lösung für y(t)):
>
> Nach Variablentrennung folgt die entsprechende Integration
>
> [mm]-\integral {\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y} dy}\ =\ \integral{dt}[/mm]
>
> und die liefert mithilfe von Maple
>
> [mm]-\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c}+\bruch{x*ln(\bruch{2x*(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})}{y})}{c}=t[/mm]
>
> Somit hat man die indirekte Proportionalität zwischen t
> und c, sprich für kleine c wird t groß und umgekehrt, was
> der Behauptung und Logik entspricht. Was mir allerdings
> noch nicht so recht klar ist, ist wie ich anhand der
> analytischen Lösung die Grenze für c=1 bzgl. Erreichen
> oder Nicht-Erreichen des anderen Ufers erkennen kann.
> Man könnte argumentieren, dass für kleine y (also nahe am
> ersehenten Ufer) der Logarithmus-Term divergiert und das
> dazu führt, das t gegen unendlich geht. Da dies aber ja
> nur für c < 1 der Fall ist, weiß ich noch nicht so recht,
> woran man das unterscheiden kann.
> Der (meiner Meinung nach) entscheidende Unterschied ist,
> dass für c < 1 bei abnehmenden y der x-Wert hingegen
> zunimmt (ist aus den Grafiken schön zu erkennen),
> wohingegen für c > 1 bei abnehmenden y-Wert auch der
> x-Wert abnimmt und dadurch keine Divergenz mehr im
> Logarithmus-Term vorliegt, da durch den quadratischen
> Einfluss von x die Divergenz erlischt.
> Allerdings fehlt mir hierfür die (analytische)
> Begründung, soll heißen der Nachweis dafür, dass sich x
> und y für entsprechend unterschiedliche Werte von c wie
> beschrieben verhalten.
>
> Ich würde mich freuen, wenn auch hierfür noch
> Ideen/Vorschläge/Korrekturen etc. genannt werden.
> Ansonsten bedanke ich mich für die tolle Unterstützung
> und der tollen Aufarbeitung der Fragestellung und die
> Mühen, die hierfür (freiwillig!) investiert wurden - eine
> schöne erste Erfahrung in diesem Forum!;)
>
> MfG,
> MaTEEler
Hallo MaTEEler,
schön, wenn es auch analytisch geht. Mathematica hat mir
für das DGL-System als Lösung ein ellenlanges Monstrum geliefert.
Vielleicht ist aber dabei auch etwas schief gegangen.
Mir ist nun aber nicht klar, wie du die Variablentrennung
gemacht hast; könntest du zeigen, wie du da vorgegangen bist ?
Immerhin haben wir ja zu Anfang drei Variablen t, x und y .
Kann denn z.B. in deinem Integral
[mm]-\integral {\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y} dy}[/mm]
in dem nach y integriert wird, das x als Konstante betrachtet
werden ??
Ferner muss man sagen, dass die Gleichung
[mm]-\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c}+\bruch{x*ln(\bruch{2x*(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})}{y})}{c}=t[/mm]
(sofern sie wirklich stimmt) nicht als "Lösung" des DGL-
Systems betrachtet werden kann. Sie würde zwar bei
bekannten Werten von x und y erlauben, die zugehörige
Zeit t zu berechnen, aber das Umgekehrte, nämlich aus
t die zugehörigen Koordinaten (x|y) zu ermitteln, ist nicht
möglich.
LG Al
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Hier noch die Beantwortung der Frage nach der Variablentrennung, sorry, hätt ich fast vergessen!;)
Also ausgehend vom DGL-System [mm] \begin{cases}\ \dot{x}(t)\ =\ 1-\frac{c\cdot{}x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \ \dot{y}(t)\ =\ -\frac{c\cdot{}y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases} [/mm] mit [mm] \dot{x}(t)=\bruch{dx}{dt} [/mm] und [mm] \dot{y}(t)=\bruch{dy}{dt} [/mm] erhält man durch "Überkreuzmultiplizieren" (bzw. in der dx-Komponente vorher auf der rechten Seite zunächst noch den Hauptnenner bilden und zusammenfassen, damit man nur einen Bruch hat anstatt eine Summe) die folgenden Äquivalenzen:
[mm] \begin{cases} \bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-c*x}dx=dt \\ -\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y}dy=dt \end{cases}
[/mm]
Hier lässt sich dann integrieren:
[mm] \begin{cases} \integral\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-c*x}dx=\integral dt \\ \integral-\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y}dy=\integral dt \end{cases}
[/mm]
Bei den Integralen sind zwar durchaus die drei Variablen x, y und t enthalten, allerdings sind ja hier x=x(t) und y=y(t) Funktionen der Zeit und nicht wie in dem späteren Ansatz dann x=x(y) als Funktion von y. Deshalb bin ich schon der Meinung, dass hier beispielsweise im Integral nach dy die Variable x als Konstante bzgl. y betrachtet werden kann, da x hier nur von t abhängt. Analog auch im Integral nach dx.
Somit ergibt sich dann (laut Maple) mit den entsprechenden eben erläuterten Annahmen y=y(t) etc. für das Integral nach dy der folgende Zusammenhang wie bereits im entsprechenden Post erläutert.
[mm] -\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c}+\bruch{x\cdot{}ln(\bruch{2x\cdot{}(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})}{y})}{c}=t
[/mm]
Ich hoffe, meine Annahmen liegen alle im Rahmen des Machbaren und dass ich hiermit mein Vorgehen ausreichend erläutert habe. Falls dennoch Fragen zu meinem Vorgehen offen sind oder Korrekturen notwendig sind: ich bin offen für alles!
Gruß,
MaTEEler
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> Hier noch die Beantwortung der Frage nach der
> Variablentrennung, sorry, hätt ich fast vergessen!;)
>
> Also ausgehend vom DGL-System [mm]\begin{cases}\ \dot{x}(t)\ =\ 1-\frac{c\cdot{}x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \ \dot{y}(t)\ =\ -\frac{c\cdot{}y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}[/mm]
> mit [mm]\dot{x}(t)=\bruch{dx}{dt}[/mm] und
> [mm]\dot{y}(t)=\bruch{dy}{dt}[/mm] erhält man durch
> "Überkreuzmultiplizieren" (bzw. in der dx-Komponente
> vorher auf der rechten Seite zunächst noch den Hauptnenner
> bilden und zusammenfassen, damit man nur einen Bruch hat
> anstatt eine Summe) die folgenden Äquivalenzen:
>
> [mm]\begin{cases} \bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-c*x}dx=dt \\ -\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y}dy=dt \end{cases}[/mm]
>
> Hier lässt sich dann integrieren:
>
> [mm]\begin{cases} \integral\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}-c*x}dx=\integral dt \\ \integral-\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c*y}dy=\integral dt \end{cases}[/mm]
>
> Bei den Integralen sind zwar durchaus die drei Variablen x,
> y und t enthalten, allerdings sind ja hier x=x(t) und
> y=y(t) Funktionen der Zeit und nicht wie in dem späteren
> Ansatz dann x=x(y) als Funktion von y. Deshalb bin ich
> schon der Meinung, dass hier beispielsweise im Integral
> nach dy die Variable x als Konstante bzgl. y betrachtet
> werden kann, da x hier nur von t abhängt. Analog auch im
> Integral nach dx.
>
> Somit ergibt sich dann (laut Maple) mit den entsprechenden
> eben erläuterten Annahmen y=y(t) etc. für das Integral
> nach dy der folgende Zusammenhang wie bereits im
> entsprechenden Post erläutert.
>
> [mm]-\bruch{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}{c}+\bruch{x\cdot{}ln(\bruch{2x\cdot{}(x+\wurzel{x^{2}+y^{2}})}{y})}{c}=t[/mm]
>
> Ich hoffe, meine Annahmen liegen alle im Rahmen des
> Machbaren und dass ich hiermit mein Vorgehen ausreichend
> erläutert habe. Falls dennoch Fragen zu meinem Vorgehen
> offen sind oder Korrekturen notwendig sind: ich bin offen
> für alles!
>
> Gruß,
> MaTEEler
Hallo MaTEEler,
deiner Argumentation kann ich nicht zustimmen. Die beiden
Gleichungen des Gleichungssystems
[mm]\begin{cases}\ \dot{x}(t)\ =\ 1-\frac{c\cdot{}x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \ \dot{y}(t)\ =\ -\frac{c\cdot{}y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases}[/mm]
machen nur miteinander, eben als System, Sinn.
Du schreibst die einzelnen Gleichungen zwar etwas um,
betrachtest sie aber für die folgende Integration als
voneinander unabhängige Gleichungen. Dies ist nicht
zuläßig.
Ich habe mir ein einfacheres Beispiel ausgedacht, an dem
man sich dies klar machen kann. Das DGL-System sei:
[mm]\begin{cases}\ \dot{x}(t)\ =\ 1 \\ \ \dot{y}(t)\ =\ 2\,x \end{cases}[/mm]
Analog zu deiner Methode umgeschrieben:
$\ dx\ =\ dt$
$\ [mm] \frac{1}{2\,x}\,dy\ [/mm] =\ dt$
Separat integriert (wobei das x in der zweiten Gleichung
als konstant betrachtet wird) hätte man dann:
$\ x+A\ =\ t$
$\ [mm] \frac{1}{2\,x}*y+B\ [/mm] =\ t$
(A und B Integrationskonstanten)
Elimination von t und Auflösen nach y liefert:
$\ y\ =\ [mm] 2\,x^2+2(A-B)\,x$
[/mm]
Gebastelt habe ich aber das Beispiel ausgehend von
$\ x(t)\ =\ t$ und $\ y(t)\ =\ [mm] t^2$ [/mm] . Diese Lösung des ursprünglichen
Systems erfüllt aber die neue Gleichung nicht.
LG Al-Chw.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
falls man sich nur um die Bahnkurve und nicht um den
zeitlichen Verlauf kümmert, kann man aus dem DGL-System
$ \begin{cases}\ \dot{x}(t)}\ =\ 1-\frac{c\cdot{}x}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \ \dot{y}(t)}\ =\ -\frac{c\cdot{}y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases} $
leicht eine DGL nur in x und y machen. Dabei ist es
vorteilhafter, nach einer Funktion x(y) zu suchen als
nach y(x). Das liegt daran, dass die Komponente des
Geschwindigkeitsvektors quer zur Flussrichtung ihr
Vorzeichen nicht ändern kann (jene parallel zum
Fluss aber schon, falls c>1).
Die DGL für x(y) ist dann:
$\frac{dx}{dy}\ =\ \frac{\dot{x}(t)}{\dot{y}(t)}\ =\ \frac{x-\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}}{y}$
Dies habe ich dem CAS-Rechner gefüttert und zunächst
eine Antwort erhalten, welche |y| und sign(y) enthielt.
Durch die zusätzliche Festlegung y>0 (gegenteilig zu
meinen vorherigen Grafiken) wird daraus:
$\ -c*ln\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{y} \right)\ =\ ln(y)+c_1$ (c_1: Integrationskonstante)
Durch Festlegung der Werte für c (Schwimmgeschwindigkeit)
und c1 kann man dies konkret machen und dann leicht
nach x auflösen.
Beispielsweise für den Fall mit c=1 erhält man eine
Gleichung der Form $\ x\ =\ A-B\,y^2$ . Die Bahnkurve
ist dann eine Halbparabel (Parabelachse y=0). Prof.
Dynamix erreicht den Scheitelpunkt der Parabel, der
stets flussabwärts von der Position (0|0) des Studenten
liegt, fast, aber theoretisch nie exakt. Dynamix paddelt
für immer, ganz nahe am rettenden Ufer, dem er sich
mit der Zeit beliebig annähert, gegen den Strom, kommt
aber dabei keinen Millimeter voran ...
Für den Fall c\neq1 wird die Lösung etwas komplizierter.
Ich habe sie schließlich auf folgende Form gebracht:
$\ x\ =\ y*\frac{H^2-1}{2\,H}$ mit $\ H\ =\ (K*y)^{-1/c}$
Die hier verwendete Konstante K entspricht K=e^{c_1} mit
der Integrationskonstante c_1 von oben. K ist also positiv,
und nach Vereinbarung sei eben auch y > 0 . Damit bleibt
die Potenzberechnung in der Formel für die Hilfsgröße H
unproblematisch.
Um meine früheren Grafiken zu reproduzieren, wähle man:
1.) c = 0.7 und K = 0.018533
2.) c = 1.2 und K = 0.028796
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Sa 29.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Hallo,
die Idee, die DGL umzuschreiben und eine Funktion x(y) zu suchen finde ich gut!
Mit der Festlegung y>0 komm ich auch noch klar, der Fluss befindet sich praktisch einfach oberhalb der x-Achse statt wie bisher angenommen unterhalb. Das ganze sollte aber an den Koordinaten (es wird ja ohnehin mit Vektoren gearbeitet) nichts ändern.
Die dann erhaltene DGL leuchtet mir auch ein, und der Lösung des CAS-Rechners schenke ich auch mein Vertrauen.
Der Fall c=1 ergibt als Bahnkurve meiner Meinung nach allerdings eher ein [mm] x=A-B*y^{2} [/mm] statt [mm] x^{2}, [/mm] oder?! Ist ja schließlich auch ein x(y) gesucht.
Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie du darauf kommst, vor allem wodurch der Wurzelterm wegfällt?!
Die zweite Umformung für [mm] c\not=1 [/mm] ist zwar sehr ambitioniert, ich halte sie aber für gut und richtig, weil an ihr tatsächlich bei entsprechender Umformung erkennbar ist, dass einerseits für c<1 bei abnehmendem y das x divergiert, sprich das ersehnte Ufer in endlicher Entfernung nicht erreicht werden kann, und andererseits für c>1 diese Divergenz verschwindet und das Ufer somit in endlicher Entfernung (also praktisch gesehen auch in endlicher Zeit) erreicht werden kann. Außerdem ist auch für den Fall c=1 die vorher schon erhaltene Funktion [mm] x(y)=A-B*y^2 [/mm] wieder enthalten, weswegen man den Fall denke ich als allgemeingültig betrachten kann und nicht auf [mm] c\not=1 [/mm] einschränken braucht (es sei denn bei der ursprünglichen Umformung, welche mir nicht bekannt ist, wurde die Annahme benötigt).
Vielen Dank jedenfalls nochmal für die sehr ergiebige und geistreiche Auseinandersetzung mit meiner Frage und dem Versuch, dem tolpatschigen Professor ans andere Ufer zu bringen!;)
MfG,
MaTEEler
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> Hallo,
>
> die Idee, die DGL umzuschreiben und eine Funktion x(y) zu
> suchen finde ich gut!
> Mit der Festlegung y>0 komm ich auch noch klar, der Fluss
> befindet sich praktisch einfach oberhalb der x-Achse statt
> wie bisher angenommen unterhalb. Das ganze sollte aber an
> den Koordinaten (es wird ja ohnehin mit Vektoren
> gearbeitet) nichts ändern.
> Die dann erhaltene DGL leuchtet mir auch ein, und der
> Lösung des CAS-Rechners schenke ich auch mein Vertrauen.
> Der Fall c=1 ergibt als Bahnkurve meiner Meinung nach
> allerdings eher ein [mm]x=A-B*y^{2}[/mm] statt [mm]x^{2},[/mm] oder?!
Klar, danke für den Hinweis. Habe es jetzt korrigiert.
> Ist ja schließlich auch ein x(y) gesucht.
> Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie du darauf kommst,
> vor allem wodurch der Wurzelterm wegfällt?!
Die Wurzelgleichung wird durch Quadrieren eliminiert.
> Die zweite Umformung für [mm]c\not=1[/mm] ist zwar sehr
> ambitioniert, ich halte sie aber für gut und richtig, weil
> an ihr tatsächlich bei entsprechender Umformung erkennbar
> ist, dass einerseits für c<1 bei abnehmendem y das x
> divergiert, sprich das ersehnte Ufer in endlicher
> Entfernung nicht erreicht werden kann, und andererseits
> für c>1 diese Divergenz verschwindet und das Ufer somit in
> endlicher Entfernung (also praktisch gesehen auch in
> endlicher Zeit) erreicht werden kann. Außerdem ist auch
> für den Fall c=1 die vorher schon erhaltene Funktion
> [mm]x(y)=A-B*y^2[/mm] wieder enthalten, weswegen man den Fall denke
> ich als allgemeingültig betrachten kann und nicht auf
> [mm]c\not=1[/mm] einschränken braucht (es sei denn bei der
> ursprünglichen Umformung, welche mir nicht bekannt ist,
> wurde die Annahme benötigt).
Dass der Spezialfall mit c=1 in der allgemeinen Lösung
auch inbegriffen sein muss, konnte ich als Test ganz gut
benützen. Zuerst hatte ich mir einfach mal den interessanten
Spezialfall vorgenommen, weil der erstens rechnerisch einfach
ist und man ihn sich auch anschaulich sehr gut vorstellen
kann.
> Vielen Dank jedenfalls nochmal für die sehr ergiebige und
> geistreiche Auseinandersetzung mit meiner Frage und dem
> Versuch, den tolpatschigen Professor ans andere Ufer zu
> bringen!;)
Das gilt auch meinerseits. Diese Art der Beschäftigung mit
interessanten mathematischen Fragen ist das, was mich
am meisten motiviert, hier im MR mitzumachen.
Gruß
Al-Chwarizmi
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Hallo zusammen,
hier noch eine Schar von Kurven, welche die Bahnen des
Professors für verschiedene Werte seiner Schwimm-
geschwindigkeit (von c=0.09 bis c=1.42) darstellen.
P und S stehen sich am Anfang direkt gegenüber an den
beiden Ufern des Flusses.
Die blaue Kurve ist die für c=1 (Halbparabel).
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Do 27.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Betrachtet man die Sache mal aus Sicht des Professors, dann bewegt sich der am Ufer stehende Student mit konstanter Geschwindigkeit 1 in nach rechts entlang der [mm]x_1[/mm]-Achse. Die DGL lautet nun
[mm]\dot{\gamma}(t)=c\cdot\frac{\gamma(t)-\pmat{t\\
0}}{\left\|\gamma(t)-\pmat{t\\
0}}\right\|[/mm]
Mit irgend einer Anfangsbedingung, z.B. [mm]\gamma(0)=(0,B)[/mm]. Malt man sich das mal ungefähr auf, so sieht man sofort, dass wenn [mm]c\le 1[/mm] ist, er niemals das Ufer erreicht, da der Professor zu diesem Zeitpunkt immer einen längeren Weg als der Student zurückgelegt haben muss. Freilich wird er für [mm]c=1[/mm] dem Ufer beliebig nahe kommen.
Gruß, Robert
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