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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 18.11.2006 | | Autor: | borto |
hallo,
leider komme ich mit folgender Aufgabe nicht klar:
Ich muss folgende Funktion aufleiten:
f(x):= [mm] \bruch{1}{\wurzel{(3x-4)}}
[/mm]
Ich nehme an, dass ich hier Substitutieren muss, leider komme ich dabei immer zum falschen Ergebnis, denn ich habe zur Kontrolle die Lösung (Derive).
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand diese Subst.... mal anhand dieses Beispiels erkkärt.
ich danke euch schon im Voraus.
Mit freundlichem Gruß
b
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:05 Sa 18.11.2006 | | Autor: | PStefan |
Hallo,
> Ich muss folgende Funktion aufleiten:
>
> f(x):= [mm]\bruch{1}{\wurzel{(3x-4)}}[/mm]
>
> Ich nehme an, dass ich hier Substitutieren muss, leider
> komme ich dabei immer zum falschen Ergebnis, denn ich habe
> zur Kontrolle die Lösung (Derive).
ja, hier muss man mit Substitution arbeiten:
zuerst einmal:
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{3x-4}} dx}
[/mm]
dein u=3x-4 (das, was innerhalb der Wurzel ist (ist ja die innere Fkt.)....)
u'=3
nun gilt
[mm] \bruch{du}{dx}=u'
[/mm]
umformen:
[mm] \bruch{du}{u'}=dx
[/mm]
[mm] \bruch{du}{3}=dx
[/mm]
nun einmal derart einsetzen:
[mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{u}} \bruch{du}{3}}
[/mm]
nun darfst du:
[mm] \bruch{1}{3}\integral{\bruch{1}{\wurzel{u}} du}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}\integral{u^{-\bruch{1}{2}} du}
[/mm]
nun besagt eine Formel:
[mm] u^{n}=\bruch{1}{n+1}*u^{n+1}
[/mm]
daher ist [mm] u^{-\bruch{1}{2}} [/mm] integriert:
[mm] =\bruch{1}{\bruch{1}{2}}*u^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Doppelbruch aufgelöst ergibt dann:
[mm] 2*u^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
du hast also:
[mm] \bruch{1}{3}\integral{u^{-\bruch{1}{2}} du}
[/mm]
ergibt nun:
[mm] \bruch{1}{3}*2*u^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
endgültig:
[mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{u}
[/mm]
resubstituieren:
[mm] \bruch{2}{3}*\wurzel{3x-4}
[/mm]
=Ergebnis
Grüße
Stefan
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