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| Aufgabe | Gib die Stammfunktion an!
[mm] \integral_{-1}^{1}{(2*x+1)*4*(x^2+x+2)^3 dx} [/mm] |
Hallo Leute...
hab eine kleine bitte....wir haben heute zum ersten mal die Substitution besprochen..und ehrlich gesagt hab ich nicht ganz so viel verstanden...
ich wäre sehr froh...wenn einer das vllt...mit erklärung und zwischenschritten erklärt wie das funktioniert...
ich weiß das die kettenregel ne rolle spielt...
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
> Gib die Stammfunktion an!
> [mm]\integral_{-1}^{1}{(2*x+1)*4*(x^2+x+2)^3 dx}[/mm]
Guten Tag Dalia!
> hab eine kleine bitte....wir haben heute zum ersten mal
> die Substitution besprochen..und ehrlich gesagt hab ich
> nicht ganz so viel verstanden...
> ich wäre sehr froh...wenn einer das vllt...mit erklärung
> und zwischenschritten erklärt wie das funktioniert...
> ich weiß das die kettenregel ne rolle spielt...
Die Kettenregel heißt doch
f(g(x))' = f'(g(x))*g'(x)
Jetzt versuch mal, in
[mm] (2*x+1)*4*(x^{2}+x+2)^{3}
[/mm]
das f', das g und das g' zu finden. Es gibt ja nicht so viele Möglichkeiten.
Wieso heißt du matheloserin, wenn du im LK bist?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
>
> Danke.
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Also...
(2*x+1) ist ja die ableitung von [mm] (x^2+x+2)...nur [/mm] ich weiß nciht was ich jetzt was setzen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
> Also...
> (2*x+1) ist ja die ableitung von [mm](x^2+x+2)...nur[/mm] ich weiß
> nciht was ich jetzt was setzen soll...
>
Warm, ganz warm! Jetzt hast du das g und das g'.
Fehlt nur noch f'
Mach noch einen Versuch, sonst verrate ich's
Dieter
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ich weiß nicht weiter...was ist den bei mir f'?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 17.04.2007 | | Autor: | statler |
f' ist bei dir [mm] 4*g^{3}
[/mm]
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Ehrlich gesagt weiß ich nicht was ich jetzt damit anfangen soll...ich hab jetzt die ganzen einzelstücke..aber kann sie nicht verbinden... und die buchstaben bringen mcih nur durcheinander...
wie komme ich denn zu einer stammfunktion? wie schreibe ich denn das auf? könntest du mir bitte einbisschen mehr erklären?
gruß dalia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 17.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich versuchs nochmal anders zu erklären.
Gegebn sei die Funktion
[mm] f(x)=(2\cdot{}x+1)\cdot{}4\cdot{}(x^2+x+2)^3
[/mm]
Wenn du dir jetzt einmal den Term
(2x+1) anguckst, und den Term [mm] (x^2+x+2)^3 [/mm] , so stellst du fest, dass 2x+1 genau die innere Ableitung des Terme [mm] (x^2+x+2)^3 [/mm] ist.
Nun führe ich dich einmal "andersherum", damit du das Prinzip verstehst:
Eine Stammfunktion hierzu ist vom Prinzip her [mm] \bruch{1}{4}(x^2+x+2)^4:
[/mm]
Leiten wir diese Funktion ab, so sehen wir, wie die "noramel" Funktion f(x) ensteht:
[mm] \bruch{1}{4}*4*(x^2+x+2)^3 [/mm] * (2x+1) , wobei 2x+1 wieder die innere Ableitung ist.
Ich hoffe, du siehst hier irgendwie den Zusammenhang zwischen der Stammfunktion und der Funktion an sich.
Das einzige, was wir noch nicht beachtet haben, ist die 4 als konstanter Faktor:
Dieser bleibt sowohl beim Integrieren als auch beim ableiten immer stehen=>
Setzen wir die vier also einfach vor die Stammfunktion:
[mm] 4*\bruch{1}{4}(x^2+x+2)^4=(x^2+x+2)^4 [/mm]
Davon die Ableitung ist wiederum:
[mm] 4*(x^2+x+2)^3 [/mm] * (2x+1)
Welches genau deiner Funktion entspricht.
Allgemein hat deine Funktion jetzt die Form:
f(g(x))*g'(x)
Mit der äußeren Funktion, welche sich durch das hoch drei ausdrückt, der inneren Funktion [mm] g(x)=x^2+x+1 [/mm]
Und der Ableitung der inneren Funktion g(x):
g'(x)=2x+1
Also steht dort
[mm] f(g(x))*g'(x)=(g(x))^3*g'(x)=(x^2+x+1)^3*(2x+1)
[/mm]
Und immer dann, wenn du siehst:
Eine Funkion mit innerer Funktion (also in diesem Fall das "hoch drei" mit der inneren Funktion g(x)) mal die Ableitung der inneren Funktion, musst du an die Substitution denken.
Dann geht das vom Prinzip her einfach so:
Einmal die Stammfunktion zur äußeren Funktion finden:
Also in diesem Fall die Stammfunktion zu "irgendetwas hoch drei", welches [mm] "\bruch{1}{4} [/mm] mal irgendetwas hoch vier" wäre, wobei das irgendetwas für die innere Funktion steht.
Also in diesem fall dann mit Zeichen ausgedrückt:
F(g(x))
Leitet man diese wieder ab, so gilt:
F'(g(x))=f(g(x))*g'(x) , wobei g'(x) die innere Ableitung ist.
Und dass F'=f gilt, ist ja klar, da F eine Stammfunktion von f sein soll.
Ich hoffe, das ganze ist etwas klarer geworden.
Lieben Gruß,
Kroni
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