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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Di 21.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Berechne folgende Integrale mittel Substitution !
[mm] a)\integral_{}^{}{\bruch{x^{3}}{(1+x^{4})^{2}} dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos^{4}x} dx}
[/mm]
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Hallo zusammen ^^
Wir haben neu mit diesem Thema angefangen und ich mir ziemlich unsicher bei den Aufgaben und komme teilweise auch nicht weiter.Es wäre gut,wenn ihr mir helfen könntet.
a) [mm] z:=1+x^{4}
[/mm]
[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=4x^{3}
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{4x^{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{x^{3}}{(z)^{2}}*\bruch{1}{4x^{3}}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} \integral_{}^{}{z^{-2} dz}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{4}*(1+x^{4})^{-1}
[/mm]
Und hier weiß ich nicht wie ich weitermachen soll...muss ich jetzt die Stammfunktion von [mm] \bruch{x^{3}}{(z)^{2}} [/mm] bilden?
b) [mm] z:=cos^{4}x
[/mm]
[mm] z'=\bruch{dz}{dx}=-sin^{4}x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{1}{-sin^{4}x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{-sin^{4}x} \integral_{}^{}{\bruch{sinx}{z} dx}
[/mm]
hier das gleiche,irgedwie weiß ich nicht was ich danach machen soll...
Und ich hab noch mal 2 allgemeine Fragen:
1.Da steht immer was von [mm] \bruch{dz}{dx},warum [/mm] schreibt man das denn hin und unser Lehrer meinte,dass man das auch umgekehrt,also [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] schreiben,aber wann macht man das denn und wozu ist das gut?
2.Ich finde,es ist nicht immer gleich ersichtlich,was man substituieren sollte,gibts da irgendwelche Tricks oder so,woher man weiß,was man am besten substituiert?
Vielen Dank für eure Hilfe
lg
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Hallo Mandy,
> Berechne folgende Integrale mittel Substitution !
>
> [mm]a)\integral_{}^{}{\bruch{x^{3}}{(1+x^{4})^{2}} dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{}^{}{\bruch{sinx}{cos^{4}x} dx}[/mm]
>
> Hallo zusammen ^^
>
> Wir haben neu mit diesem Thema angefangen und ich mir
> ziemlich unsicher bei den Aufgaben und komme teilweise auch
> nicht weiter.Es wäre gut,wenn ihr mir helfen könntet.
>
> a) [mm]z:=1+x^{4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]z'=\bruch{dz}{dx}=4x^{3}[/mm]
> [mm]dx=\bruch{1}{4x^{3}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^{3}}{(z)^{2}}*\bruch{1}{4x^{3}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4} \integral_{}^{}{z^{-2} dz}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{1}{4}*(1+x^{4})^{-1}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
perfekt!
>
> Und hier weiß ich nicht wie ich weitermachen soll...muss
> ich jetzt die Stammfunktion von [mm]\bruch{x^{3}}{(z)^{2}}[/mm]
> bilden?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") du bist doch schon fertig  , die gesuchte Stammfunktion steht doch oben
>
> b) [mm]z:=cos^{4}x[/mm]
Uuuh, versuche besser die Substitution [mm] $z:=\cos(x)$ [/mm] ...
>
> [mm]z'=\bruch{dz}{dx}=-sin^{4}x[/mm]
>
> [mm]dx=\bruch{1}{-sin^{4}x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{-sin^{4}x} \integral_{}^{}{\bruch{sinx}{z} dx}[/mm]
>
> hier das gleiche,irgedwie weiß ich nicht was ich danach
> machen soll...
Hier ist Kuddelmuddel, die Substitution ist nicht glücklich gewählt
>
> Und ich hab noch mal 2 allgemeine Fragen:
>
> 1.Da steht immer was von [mm]\bruch{dz}{dx},warum[/mm] schreibt man
> das denn hin und unser Lehrer meinte,dass man das auch
> umgekehrt,also [mm]\bruch{dx}{dz}[/mm] schreiben,aber wann macht man
> das denn und wozu ist das gut?
Wenn du im ersten Bsp. [mm] $z=z(x)=1+x^4$ [/mm] setzt, dann ist die Ableitung der Funktion nach der Variable $x$: [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=4x^3$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{dz}{4x^3}$
[/mm]
Wenn du's umschreibst: [mm] $z=1+x^4\Rightarrow x^4=z-1\Rightarrow x=(z-1)^{\frac{1}{4}}$, [/mm] hast du eine Funktion in z: [mm] $x=x(z)=(z-1)^{\frac{1}{4}}$.
[/mm]
Die nach z ableiten: [mm] $x'(z)=\frac{dx}{dz}=\frac{1}{4}(z-1)^{-\frac{3}{4}}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{dz}{4}(z-1)^{-\frac{3}{4}}$
[/mm]
Den ganzen Zauber macht man, weil man bei der Substitution ja auch das Differential $dx$ in der anderen Variablen, also hier durch $dz$ ausdrücken muss.
Beide Wege (über [mm] $\frac{dx}{dz}$ [/mm] und [mm] $\frac{dz}{dx}$ [/mm] führen zum Ziel, du musst halt ggfs. (lästig) umformen ...)
Wenn du hier mal den zweiten Weg gehst, musst du noch [mm] $x^3$ [/mm] und [mm] $x^4$ [/mm] ausrechnen, in z ausdrücken und wirst sehen, dass du schlussendlich auf dasselbe Ergebnis kommst
>
> 2.Ich finde,es ist nicht immer gleich ersichtlich,was man
> substituieren sollte,gibts da irgendwelche Tricks oder
> so,woher man weiß,was man am besten substituiert?
Puh, das ist viel Erfahrungssache, je mehr Integrale du kaputt substituierst, desto eher hast du einen Blick dafür, ein globales Patentrezept gibt es nicht
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> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> lg
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Di 21.10.2008 | | Autor: | diab91 |
weißt du denn was die differentiale dx und dz bedeuten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Di 21.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> weißt du denn was die differentiale dx und dz bedeuten?
hmmm.net so richtig,also ich schreibs immer hin,weil wir das so gemacht hatten,aber so ganz genau weiß ich nicht,was die bedeuten ???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Hier habe ich mal einige erläuternde Worte zum Differential geschrieben ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Di 21.10.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > b) [mm]z:=cos^{4}x[/mm]
>
> Uuuh, versuche besser die Substitution [mm]z:=\cos(x)[/mm] ...
>
> >
> > [mm]z'=\bruch{dz}{dx}=-sin^{4}x[/mm]
> >
> > [mm]dx=\bruch{1}{-sin^{4}x}[/mm]
> >
> > [mm]\bruch{1}{-sin^{4}x} \integral_{}^{}{\bruch{sinx}{z} dx}[/mm]
>
> >
> > hier das gleiche,irgedwie weiß ich nicht was ich danach
> > machen soll...
>
> Hier ist Kuddelmuddel, die Substitution ist nicht glücklich
> gewählt
>
ok,dann nehm ich z:=cosx
z'=-sinx [mm] dx=\bruch{1}{-sinx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{-sinx}*\bruch{sinx}{z^{4}}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{-z^{4} dx}=-\bruch{1}{5}(cosx)^{5}
[/mm]
Irgendwie stimmt das so nicht...........oder?
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Hallo
z:=cos(x)
[mm] \bruch{dz}{dx}=-sin(x)
[/mm]
[mm] dx=-\bruch{dz}{sin(x)}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{sin(x)}{z^{4}}*(-\bruch{dz}{sin(x)})}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{-\bruch{1}{z^{4}} dz}
[/mm]
jetzt passiert dein Fehler
[mm] =\integral_{}^{}{ -z^{-4}dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}z^{-3}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}(cos(x))^{-3}
[/mm]
Steffi
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