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| Aufgabe | [mm] \integral_{1}^{e^4}{\bruch{\wurzel{ln(x)}}{x} dx}= 2\integral_{a}^{b}{t^2 dt}
[/mm]
Durch welche Substitution wird das linke Integral in das rechte überführt.
[mm] 1.t=\wurzel{ln(x)}
[/mm]
[mm] 2.x=\wurzel{ln(t)}
[/mm]
3.t=ln(x)
4.x=ln(t)
[mm] 5.t=\bruch{ln(x)}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] 6.x=\bruch{ln(t)}{\wurzel{t}} [/mm] |
Hallo.
Ich würde gerne wissen, ob es für die o.g Aufgabenstellung ein allgemeines Lösungsverfahren gibt.
Wenn ich selbst Substituenten für Integrale finden soll, so fällt mir dies scheinbar irgendwie einfacher.
Für das Substituieren von Integralen gilt allgemein:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{c}^{d}{f(g(t))*g'(t) dt}
[/mm]
Im obigen Beispiel habe ich:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{ln(x)}*\bruch{1}{x} dx} =\integral_{a}^{b}{f(g(x))*g'(x) dx} [/mm] stehen, wobei [mm] f(t)=\wurzel{t} [/mm] ist.
Also würde eigentlich ja gelten:
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{ln(x)}*\bruch{1}{x} dx}=\integral_{c}^{d}{\wurzel{t} dt}
[/mm]
Nun soll jedoch das Integral eben [mm] 2t^2 [/mm] enthalten, was mich etwas durcheinander wirft.
Und bei all diesen Aufgabentypen weiß ich dann irgendwie nicht weiter...
Habt ihr einen Tip wie man hier vorangehen sollte?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Mo 21.03.2011 | | Autor: | CatDog |
Hallo,
du hast in deiner Darstellung vergessen den Wurzelterm zu berücksichtigen,
(und zwar in g´(x)) ,somit stimmt das nicht, was du in der Mitte verfasst hast
Gruss
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Hallo und danke für die Antwort.
Welchen Wurzelterm meinst du denn?
Meine Ausgangsfunktion hat die Form:
[mm] f(g(x))*g'(x)=\wurzel{ln(x)}*\bruch{1}{x}
[/mm]
Da es sich hier um ein Integral handelt, wende ich die Substitution an und erhalte
[mm] f(t)=\wurzel{t}
[/mm]
DIe Stammfunktion wäre
[mm] \bruch{2}{3}t^{\bruch{3}{2}}+c
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{3}*(ln(x))^{\bruch{3}{2}}+c
[/mm]
Leite ich dies ab erhalte ich [mm] 1*ln(x)^{\bruch{1}{2}}*\bruch{1}{x}
[/mm]
per Verkettungsregel.
Natürlich in den Integralen mit den jeweiligen Integrationsgrenzen.
Dies klärt mir aber immer noch nicht das große ? in meinem Kopf, ob ich 1,2,3,4,5,6 zu wählen habe und wie ich darauf komme.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Mo 21.03.2011 | | Autor: | CatDog |
g(x) = [mm] \wurzel{ln(x)}
[/mm]
=> g'(x) [mm] \not= \bruch{1}{x}
[/mm]
Gruss
Es ist einfach noch früh am Morgen  , zu der generell gestellten Aufgabe. Es gibt oft gerade beim Substituieren mehrere Möglichkeiten, welch zum Ziel führen. Und du sollst einfach diese Substitution finden aus den angegebenen, welche zum oben genannten Ziel führt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo CatDog.
Ich weiß jetzt was du meinst, aber deine Annahme dass [mm] g(t)=\wurzel{ln(x)}, [/mm] weicht von meiner Annahme ab.
Ich ging davon aus, dass f(x)=ln(x) und [mm] g(ln(x))=\wurzel{ln(x)} [/mm] ist und [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Leider habe ich dabei die Variablen vertauscht wie es scheint.
Edit: Alles klar. Danke dennoch für die Mühe :)
Grüße
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Moin masseltopf,
> [mm]\integral_{1}^{e^4}{\bruch{\wurzel{ln(x)}}{x} dx}= 2\integral_{a}^{b}{t^2 dt}[/mm]
>
> Durch welche Substitution wird das linke Integral in das
> rechte überführt.
> [mm]1.t=\wurzel{ln(x)}[/mm]
Ich zeige dir an diesem Beispiel [mm] (t:=\wurzel{ln(x)}), [/mm] wie die Substitution funktioniert:
Zunächst berechnet man [mm] \frac{dt}{dx}=\left(\wurzel{ln(x)}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}}\frac{1}{x}, [/mm] also [mm] dx=2x\sqrt{\ln(x)}dt
[/mm]
Damit kannst du das dx im Integral durch dt wie oben ersetzen. Achtung: Dabei ändern sich auch die Integrationsgrenzen. Dazu Grenzen in [mm] t:=\wurzel{ln(x)} [/mm] Einsetzen. Untere Grenze x=1, also [mm] t_u=\sqrt{\ln(1)}=0. [/mm] Obere Grenze [mm] x=e^4, [/mm] also [mm] t_o=\sqrt{\ln(e^4)}=2.
[/mm]
Weiterhin wird [mm] \wurzel{ln(x)} [/mm] im Integral durch t ersetzt:
[mm] \integral_{1}^{e^4}{\bruch{\wurzel{ln(x)}}{x} dx}=\integral_{0}^{2}{\bruch{\wurzel{ln(x)}}{x}2x\sqrt{\ln(x)} dt}=\integral_{0}^{2}{\wurzel{ln(x)}2\sqrt{\ln(x)} dt}=2\integral_{0}^{2}{t^2 dt}
[/mm]
Das kannst du mit den anderen Substitutionen nun einmal üben.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke.
Ich denke ich habe einfach den falschen Substituenten genommen.
Denn ich wollte ln(x)=t setzen
So wie du es beschreibst kommt man auf die gewollte Lösung, was natürlich besser ist :D. Danke für die anschauliche Erklärung.
Viele Grüße
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