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Forum "Schul-Analysis" - Substitution(sterm)
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Substitution(sterm): Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 14.03.2005
Autor: Smilodon

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo, ich hab ein Integral das ich nicht schaffe zu bestimmen, ich sehe einfach keinen Substitutionsterm der sinnvoll ist:

[mm]\integral {\sin^{5}x* cosx \, dx}[/mm]

Würd mich freuen wenn einer mir den Weg zeigen kann.
Das Aussehen des Integrals tut mir leid, aber ich hab es einfach nicht hinbekommen, das ohne Grenzen auf eine Zeile zu schreiben.
        
Bezug
Substitution(sterm): Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mo 14.03.2005
Autor: MathePower

Hallo,

hier bietet sich die Substitution

[mm]\begin{gathered} z\; = \;\sin (x) \hfill \\ dz\; = \cos (x)\;dx \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

an.

Dann wird daraus:

[mm]\int {\sin ^{5} (x)\;\cos (x)\;dx\; = \;\int {z^{5} \;dz} } [/mm]

Gruß
MathePower


Bezug
        
Bezug
Substitution(sterm): Ergebnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mo 14.03.2005
Autor: Smilodon

Als Ergebnis hab ich jetzt

[mm] \bruch{1}{6}*(sinx)^6[/mm]

ist das die Lösung?
Bezug
                
Bezug
Substitution(sterm): Frage: Grenzen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:35 Mo 14.03.2005
Autor: t5ope

Hi,


Welche Grenzen hat denn das Integral ?

Von der Form her passt es allerdings schon zur Stammfunktion.
Bezug
                        
Bezug
Substitution(sterm): Re: Grenzen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Mo 14.03.2005
Autor: Smilodon

Das Integral hat keine Grenzen in der Aufgabe geht es nur um die Substitution.
Bezug
                
Bezug
Substitution(sterm): Ja!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Mo 14.03.2005
Autor: Marcel

Hallo!

> Als Ergebnis hab ich jetzt
>
> [mm]\bruch{1}{6}*(sinx)^6[/mm]
>  
> ist das die Lösung?

[ok] [daumenhoch]

Zur Kontrolle leiten wir die Funktion [mm] $F(x):=\frac{1}{6}*\sin^6(x)\;\;(=\frac{1}{6}*(\sin(x))^6)$ [/mm] mal mittels der MBKettenregel ab (irgendwie muss ich mir meine Antwort ja auch verdienen ;-)):
Wir setzen [mm] $g(x):=\frac{1}{6}x^6$ [/mm] und [mm] $h(x):=\sin(x)$. [/mm] Dann gilt:
$F(x)=g(h(x))$.
Weiter gilt [mm] $g\,'(x)=x^5$, [/mm] also [mm] $g\,'(h(x))=[h(x)]^5=\sin^5(x)$. [/mm] Ferner ist [mm]h'(x)=\cos(x)[/mm], also erhalten wir nach der Kettenregel:
[mm] $F\,'(x)=g\,'(h(x))*h\,'(x)=\sin^5(x)*\cos(x)$. [/mm]  

Viele Grüße,
Marcel
Bezug
        
Bezug
Substitution(sterm): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Mo 14.03.2005
Autor: Marcel


>  Das Aussehen des Integrals tut mir leid, aber ich hab es
> einfach nicht hinbekommen, das ohne Grenzen auf eine Zeile
> zu schreiben.

Ich habs geändert ;-) (klick mal auf Quelltext bzw. Revisionsgeschichte...)!

Viele Grüße,
Marcel  
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