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| Aufgabe | 1) Berechne mit Hilfe der angegebenen Substitutionen:
a) [mm] \integral_{a}^{a+h}{(a+h-t)(t-a) dx} [/mm] mit x=t-a-(h/2)
[mm] b)\integral_{0}^{\pi}{sin(2t) dt} [/mm] mit u=2t |
Hallo,
ich habe hier irgendwie Probleme, die Substitutionsregel anzuwenden. Die lautet ja:
[mm] \integral_{}^{}{f(g(x)) g'(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{f(u) du}
[/mm]
Und dabei ist:
u=g(x) und du=g'(x)dx
Das bedeutet in meinem Fall bei Aufgabe b):
u=g(x)=2t und damit (du/dx)=2
Soweit bin ich schonmal. Jetzt muss ich doch die Grenze ändern. Kann mir da jemand sagen, wie genau ich das mache? Achso, und ich kann schonmal (1/2) auf jeden Fall vor das Integral schreiben, was ich durch dx=(du/2) berechnet habe, nicht?
Also habe ich: [mm] (1/2)*\integral_{0}^{\pi}{sin(u) du} [/mm] Eine Stammfunktion von sin(u) ist -cos(u). Aber die Grenzen, die ich jetzt einsetzen müsste stimmen ja nicht mehr. Und wann wird das zurück-substituiert? Oder gar nicht, wenn man die Grenzen geändert hat??
Bei a) verstehe ich gar nicht, wieso x=t-a-(h/2) eine Substitution sein soll für (a+h-t)(t-a). Das kommt hier doch gar nicht vor. Auch wenn ich das umstelle nicht. Wie soll ich das denn dann substituieren? Vielleicht kann mir das jemand nochmal näher erklären. Ich verstehe das überhaupt nicht.
Viele Grüße,
Anna
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Hallo crazyhuts1,
> 1) Berechne mit Hilfe der angegebenen Substitutionen:
> a) [mm]\integral_{a}^{a+h}{(a+h-t)(t-a) dx}[/mm] mit x=t-a-(h/2)
>
> [mm]b)\integral_{0}^{\pi}{sin(2t) dt}[/mm] mit u=2t
> Hallo,
> ich habe hier irgendwie Probleme, die Substitutionsregel
> anzuwenden. Die lautet ja:
> [mm]\integral_{}^{}{f(g(x)) g'(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{f(u) du}[/mm]
>
> Und dabei ist:
> u=g(x) und du=g'(x)dx
> Das bedeutet in meinem Fall bei Aufgabe b):
> u=g(x)=2t und damit (du/dx)=2
[mm]u=g\left(t\right)=2t \Rightarrow \bruch{du}{dt}=2 \Rightarrow dt = \bruch{1}{2} \ dt[/mm]
> Soweit bin ich schonmal. Jetzt muss ich doch die Grenze
> ändern. Kann mir da jemand sagen, wie genau ich das mache?
> Achso, und ich kann schonmal (1/2) auf jeden Fall vor das
> Integral schreiben, was ich durch dx=(du/2) berechnet habe,
> nicht?
> Also habe ich: [mm](1/2)*\integral_{0}^{\pi}{sin(u) du}[/mm] Eine
> Stammfunktion von sin(u) ist -cos(u). Aber die Grenzen, die
> ich jetzt einsetzen müsste stimmen ja nicht mehr. Und wann
> wird das zurück-substituiert? Oder gar nicht, wenn man die
> Grenzen geändert hat??
Die Grenzen änderst Du in gleichem Maße:
[mm]t_{0}=0 \Rightarrow u_{0}=2t_{0}=2*0=0[/mm]
[mm]t_{1}=\pi \Rightarrow u_{0}=2t_{1}=2*\pi[/mm]
>
> Bei a) verstehe ich gar nicht, wieso x=t-a-(h/2) eine
> Substitution sein soll für (a+h-t)(t-a). Das kommt hier
> doch gar nicht vor. Auch wenn ich das umstelle nicht. Wie
> soll ich das denn dann substituieren? Vielleicht kann mir
> das jemand nochmal näher erklären. Ich verstehe das
> überhaupt nicht.
Einfach einsetzen.
Lautet das Ursprungsintegral
[mm]\integral_{a}^{a+h}{\left(a+h-\blue{x}\right)\left(\blue{x}-a\right) \ dx}[/mm]
oder
[mm]\integral_{a}^{a+h}{\left(a+h-t\right)\left(t-a\right) \ \blue{dt}}[/mm]
?
>
> Viele Grüße,
> Anna
Gruß
MathePower
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Hallo.
Ok, bei a) ändere ich so also die Grenzen und habe dann:
[mm] (1/2)*\integral_{0}^{2\pi}{sin(u) du} [/mm] = [mm] (1/2)*(-cos(2*2\pi)-(-cos(2*0))) [/mm]
Da habe ich jetzt also für u wieder 2t eingesetzt und für t dann die Grenzen. Ist das so richtig??
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Ok, bei a) ändere ich so also die Grenzen und habe dann:
> [mm](1/2)*\integral_{0}^{2\pi}{sin(u) du}[/mm] =
> [mm](1/2)*(-cos(2*2\pi)-(-cos(2*0)))[/mm]
> Da habe ich jetzt also für u wieder 2t eingesetzt und für t
> dann die Grenzen. Ist das so richtig??
Nein. In einem bestimmten Integral mußt Du nicht rücksubstituieren.
Du hast: [mm](1/2)*\integral_{0}^{2\pi}{sin(u) du}[/mm]
Rine Stammfunktion von sin(u) ist -cos(u), also
[mm](1/2)*\integral_{0}^{2\pi}{sin(u) du}[/mm] = [mm] 1/2(-cos(2\pi) [/mm] - (-cos0) )= 0
FRED
> Viele Grüße,
> Anna
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zu a): Also, ich setze einfach die Substitution ein indem ich sie nach t umforme und habe dann für t=x+a+(h/2). Ich berechne dt:
dx=1*dt. Die neuen Grenzen sind dann
(a+h)+a+(h/2)=2a+(h/3) und a+a+(h/2)=2a+(h/2)
Damit bekomme ich dann:
[mm] \integral_{2a+(h/2)}^{2a+(h/3)}{((h/2)-x)*(x+(h/2)) dx} [/mm]
und mit der binomischen Formel:
[mm] \integral_{2a+(h/2)}^{2a+(h/3)}{((h/2)^{2}-x^{2}) dx} [/mm]
Dabei ist [mm] (h/2)^{2} [/mm] doch eine Konstante. Kann ich die jetzt nicht einfach schon vor das Inegral schreiben, oder geht das nicht? Und dann kann man es ja ganz einfach ausrechnen, indem man die Grenzen einsetzt. Wenn das so nicht geht, dann weiß ich jetzt nicht weiter. Ist das möglich?? Und sonst alles richtig?? Bin mir nicht so sicher bei der Aufgabe.
Viele grüße,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zu a):
ich hoffe mal, die Aufgabe heißt: [mm] $\int\limits_{a}^{a+h}(a+h-t)(t-a)\;\red{dt}$?!
[/mm]
Ich rechne jetzt einfach mal: Sei [mm] $x=\varphi(t)=t-a-\frac{h}{2}$. [/mm] Dann gelten [mm] $a+h-t=\frac{h}{2}-x$ [/mm] und [mm] $t-a=\frac{h}{2}+x$. [/mm] Außerdem ist [mm] $\frac{dx}{dt}=1$, [/mm] also [mm] $\black{dx}=dt$ [/mm] und [mm] $\varphi(a)=-\frac{h}{2}$, $\varphi(a+h)=\frac{h}{2}$. [/mm] Also:
[mm] $$\int\limits_{a}^{a+h}(a+h-t)(t-a)\;dt=\int\limits_{x(a)}^{x(a+h)}\left(\frac{h}{2}-x\right)\left(\frac{h}{2}+x\right)\;dx=\int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left(\frac{h}{2}-x\right)\left(\frac{h}{2}+x\right)\;dx$$
[/mm]
(Beachte
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\;dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\;dx\,,$$ [/mm] vgl. ![[]](/images/popup.gif) Integration durch SubstitutionEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, wobei in Deiner Aufgabe die Rollen von $\black{x}$ und $\black{t}$ mit denen aus dem Wikilink vertauscht sind, so dass sich mit diesen Notationen die Formel aus Wiki zu der in $(\star)$ ergibt.)
(P.S.: Eselsbrücke:
Ich selbst schreibe meist (formal) gar nicht $x=\varphi(t)$, sondern sage: $\black{x}=x(t)$ und damit $dx=x'(t)\;dt$. Denn dann kann man schreiben:
$\int_a^b f(x(t))x'(t)\;dt=\int_{x(a)}^{x(b)} f(x)\;dx$. Das heißt, die rechte Seite ergibt sich dann einfach, wenn man anstatt $\black{x(t)}$ nur $\black{x}$ schreibt, dann $x'(t)\;dt=dx$ benutzt und dran denkt, die Grenzen $\black{a}$ und $\black{b}$ zu ersetzen, und was liegt da näher als $\black{a}$ durch $\black{x(a)}$ und $\black{b}$ durch $\black{x(b)}$ zu ersetzen?
Ein Tipp, ob man die Grenzen richtig ersetzt hat: Man wende einfach mal (formal) den Hauptsatz der Integralrechnung an, denn dann muss die Gleichung ja stimmen:
$$\int_a^b f(x(t))x'(t)\;dt=\left[f(x(t))\right]_{t=a}^{t=b}=f(x(b))-f(x(a))\,,$$ und
$$\int_{x(a)}^{x(b)} f(x)\;dx=\left[f(t)\right]_{t=x(a)}^{t=x(b)}=f(x(b))-f(x(a))\,,$
also das passt...)
Und jetzt schau'n wir mal...
> Also, ich setze einfach die Substitution ein indem
> ich sie nach t umforme und habe dann für t=x+a+(h/2). Ich
> berechne dt:
> dx=1*dt. Die neuen Grenzen sind dann
> (a+h)+a+(h/2)=2a+(h/3)
Das ist sicher ein Verschreiber Deinerseits. Es ist ja $x=\varphi(t)=t\blue{-a-\frac{h}{2}}$ und nicht $x=\varphi(t)=t\;\red{+}\;a\;\red{+}\;\frac{h}{2}}\,.$
> und a+a+(h/2)=2a+(h/2)
> Damit bekomme ich dann:
>
> [mm]\integral_{2a+(h/2)}^{2a+(h/3)}{((h/2)-x)*(x+(h/2)) dx}[/mm]
>
> und mit der binomischen Formel:
>
> [mm]\integral_{2a+(h/2)}^{2a+(h/3)}{((h/2)^{2}-x^{2}) dx}[/mm]
>
> Dabei ist [mm](h/2)^{2}[/mm] doch eine Konstante. Kann ich die jetzt
> nicht einfach schon vor das Inegral schreiben, oder geht
> das nicht? Und dann kann man es ja ganz einfach ausrechnen,
> indem man die Grenzen einsetzt. Wenn das so nicht geht,
> dann weiß ich jetzt nicht weiter. Ist das möglich?? Und
> sonst alles richtig?? Bin mir nicht so sicher bei der
> Aufgabe.
Ja, Du hast Dich bei den Grenzen verrechnet. Und jetzt gilt natürlich mit Rechenregeln für Integrale:
[mm] $$\int\limits_{a}^{a+h}(a+h-t)(t-a)\;dt=\int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left(\frac{h}{2}-x\right)\left(\frac{h}{2}+x\right)\;dx$$
[/mm]
[mm] $$=\int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left(\frac{h^2}{4}-x^2\right)\;dx=\frac{h^2}{4}\int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} 1\;dx-\int\limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}x^2\;dx\;.$$
[/mm]
Den Rest schaffste nun sicher. (Zur Kontrolle: Ich erhalte [mm] $2*\frac{h^3}{8}-2*\frac{1}{3}*\frac{h^3}{8}=\frac{h^3}{4}-\frac{h^3}{12}=\frac{h^3}{6}$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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