Summe Binomialkoeffizient < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:27 Di 01.03.2011 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{a} \vektor{a-k \\ x} \vektor{b+k \\ y}= \vektor{a+b+1 \\ x+y+1} [/mm] |
Ich hänge schon ewig an dem beweis und bräuchte nun wirklich einen Rat:(
Es ist mehr oder weniger eine Folgerung/Spezialfall aus der Vandermondeschen Identität, die sagt:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{a \\ m+i} \vektor{b \\ n-i}= \vektor{a+b \\ m+n}
[/mm]
Die habe ich mit Induktion über b erfolgreich bewiesen.
Ich denke, was hier auch noch mit reinspielt ist:
[mm] \summe_{i=0}^{m} \vektor{n \\ i} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ m+1} [/mm] und
[mm] \summe_{k=0}^{a} \vektor{a-k \\ x} \vektor{b+k \\ y}= \summe_{k=0}^{a} \vektor{a-k \\a-k-x} \vektor{b+k \\ b+k-y}
[/mm]
Aber ich komme einfach nicht zum Ziel - weswegen ich hier mal nicht meine Ansätze aufschreibe, weil ich mich vielleicht einfach festgefahren habe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 01.03.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
was ist denn $a,b,x,y_$?
vg luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Di 01.03.2011 | | Autor: | luis52 |
*Musst* du denn die Gleichung mit der VG beweisen? Mich irritiert, dass der Laufindex in den Binomialkoeffizient oben steht, in der VG jedoch unten.
vg luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Di 01.03.2011 | | Autor: | luis52 |
Ich meine uebrigens, dass die Gleichung falsch ist. Setze beispielsweise $a=b=2_$ und $x=y=1_$...
vg luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich meine uebrigens, dass die Gleichung falsch ist. Setze
> beispielsweise [mm]a=b=2_[/mm] und [mm]x=y=1_[/mm]...
Dem kann ich nur zustimmen. Für a=b=1 und x=y=0 liefert die Gleichung das Resultat:
2=3
FRED
>
> vg luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 01.03.2011 | | Autor: | eps |
danke für die antworten erstmal und ich muss leider gestehen, dass ich was übersehen habe (danke für den Hinweis!!!):
ich hab gerade nochmal nachgesehen und als voraussetzung hab ich übersehen, dass [mm] y\ge [/mm] b gelten muss, also insgesamt dann:
$a, x [mm] \ge [/mm] 0$ und [mm] $y\ge b\ge [/mm] 0$
dann haut es auch hin, wenn man $a=2=b, x=1, y=2$ setzt liefert die gleichung $5=5$
Trotzdem glaube ich, komm ich mit meinen ansätzen damit auch nicht weiter, aber ich muss das alles nochmal durchgehen...
Ich bin auf jeden Fall für jeden Ansatz dankbar!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Di 01.03.2011 | | Autor: | eps |
es müsste ja sogar per induktion über $a$ möglich sein zu zeigen, oder nicht?
ich scheiter am Induktionsanfang,
aber den Induktionsschritt $a [mm] \to [/mm] a+1$ bekomm ich gezeigt.....
Wenn ich anders rangehe und versuche mit den Gleichungen, die ich oben genannt habe die summe so umzuformen, dass ich Vandermond anwenden kann usw. komm ich einfach nicht zum Ziel....
vielleicht gibt es noch eine ganz andere Herangehensweise???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Mi 02.03.2011 | | Autor: | ullim |
> es müsste ja sogar per induktion über [mm]a[/mm] möglich sein zu
> zeigen, oder nicht?
>
> ich scheiter am Induktionsanfang,
> aber den Induktionsschritt [mm]a \to a+1[/mm] bekomm ich
> gezeigt.....
>
Sei [mm] x\ge0
[/mm]
Wenn a=0 gilt, folgt k=0
also muss gezeigt werden [mm] {0 \choose x}*{b \choose y} [/mm] = [mm] {b+1 \choose x+y+1} [/mm]
Fall 1:
Wenn x=0 ist, ist also zu zeigen [mm] {b \choose y} [/mm] = [mm] {b+1 \choose y+1} [/mm].
Da [mm] y\ge{b}\ge{0} [/mm] gilt, gibt es zwei Fälle
Fall A: y>b oder
Fall B: y=b
Im Fall A gilt [mm] {b \choose y} [/mm] = 0 = [mm] {b+1 \choose y+1} [/mm] und
Im Fall B gilt [mm] {b \choose y} [/mm] = 1 = [mm] {b+1 \choose y+1} [/mm]
Fall 2:
wenn x>0 ist, ist [mm] {0 \choose x}*{b \choose y} [/mm] = 0 und
[mm] {b+1 \choose x+y+1} [/mm] = 0 weil [mm] y\ge{b}\ge{0} [/mm] gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 02.03.2011 | | Autor: | eps |
Vielen vielen Dank.
Ich wollte gerade schreiben, dass ich es hinbekommen habe 
also doch eine einfache Induktion!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mi 02.03.2011 | | Autor: | eps |
nur noch als ergänzung:
gilt sogar für [mm] $b\le [/mm] 0$ und [mm] $y\ge [/mm] 0$
|
|
|
|
