Summe Elemente eines endlichen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 So 29.03.2009 | | Autor: | pheips |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Summe aller Elemente eines endlichen Körpers [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm] 0 ist. |
Meine erste Idee war natürlich, dass aufgrund der additiven Inversen jedes Element in der Summe aufgehoben wird. Allerdings gilt dies nicht für jene Elemente die selbstinvers (bez. +) sind. Wenn ich das aber richtig sehe, dann kann es solche Elemente (abgesehen von der 0) nur in einem endlichen Körper mit Charakteristik 2 geben. Leider steht aber ausdrücklich [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm]. Hat jemand eine Idee, wie man für andere endliche Körper mit Charakteristik 2 zeigen kann, dass die Summe seiner Elemente 0 ist? Bzw. ist es möglich zu zeigen, dass solche Körper auch keine selbstinversen (bez. +) Elemente besitzen?
Vielen Dank im voraus!
lG
Philipp
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> Zeigen Sie, dass die Summe aller Elemente eines endlichen
> Körpers [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm] 0 ist.
> Meine erste Idee war natürlich, dass aufgrund der
> additiven Inversen jedes Element in der Summe aufgehoben
> wird.
Hallo,
diese Idee kommt mir nicht so grundübel vor als Ausgangspunkt:
addiere doch die Summe zu sich selbst und finde einen Grund dafür, daß 0 herauskommt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 29.03.2009 | | Autor: | pheips |
Hmm, folgendes hab ich mal zusammengeschrieben, aber es fehlt mir noch ein Argument:
[mm]0=\sum_{k\in F}k+\sum_{k\in F}k=2\sum_{k\in F}k[/mm].
Das bedeutet, dass entweder [mm]\sum_{k\in F}k=0[/mm] oder aber die Charakteristik von F gleich 2 ist. Und hier fehlt mir eben die Idee zur Begründung, dass die Summe der Elemente von F gleich 0 ist, auch wenn die Charakteristik von F 2 ist.
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> [mm]0=\sum_{k\in F}k+\sum_{k\in F}k=2\sum_{k\in F}k[/mm].
Hallo,
daß das =0 ist, willst du ja erst zeigen.
Bedenke doch, daß [mm] \sum_{k\in F}k=\sum_{k\in F}(-k)
[/mm]
>
Mit diesem Gedanken kommst Du darauf, daß [mm] 2\sum_{k\in F}k=0 [/mm] ist, woraus sich für endl. Körper mit [mm] char\not=2 [/mm] die Behauptung ergibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 29.03.2009 | | Autor: | pheips |
> daß das =0 ist, willst du ja erst zeigen.
Naja, das ist natürlich offensichtlich aufgrund der Inversen. Um was es mir aber geht ist, wie kann ich die Behauptung für endl. Körper $ [mm] F\neq \mathbb F_{2} [/mm] $ mit Charakteristik 2 zeigen? Also beispielsweise [mm] $\mathbb F_{4},\mathbb F_{8} [/mm] $ usw.
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> > daß das =0 ist, willst du ja erst zeigen.
> Naja, das ist natürlich offensichtlich aufgrund der
> Inversen. Um was es mir aber geht ist, wie kann ich die
> Behauptung für endl. Körper [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm] mit
> Charakteristik 2 zeigen? Also beispielsweise [mm]\mathbb F_{4},\mathbb F_{8}[/mm]
> usw.
Hallo,
da sind wir doch mittenmang!
Du mußt nun bloß aus 2s=0 Deine Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 29.03.2009 | | Autor: | pheips |
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Hab mich ganz vergessen zu bedanken vorhin. 
Ich stehe aber anscheinend noch immer auf der Leitung. 2s=0 bedeutet ja, dass s zu sich selbstinvers ist. Gilt dies in endlichen Körpern [mm] F\neq \mathbb F_{2} [/mm] nur für die 0?
lG
pheips
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> Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Hab mich ganz
> vergessen zu bedanken vorhin.
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> Ich stehe aber anscheinend noch immer auf der Leitung. 2s=0
> bedeutet ja, dass s zu sich selbstinvers ist. Gilt dies in
> endlichen Körpern [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm] nur für die 0?
Hallo,
ale anderen haben ja ein Inverses Element.
Aus s+s=0 folgt für [mm] s\not=0, [/mm] daß 1+1=0 ist, also char 2.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 29.03.2009 | | Autor: | pheips |
Servus
Hmm, ich glaub wir reden aneinander vorbei 
Was ist zB. mit $ [mm] \mathbb F_{4} [/mm] $? Dieser hat Charakteristik 2, aber der Aufgabenstellung nach soll die Summe seiner Elemente dennoch 0 sein.
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Mo 30.03.2009 | | Autor: | thane |
Hallo,
>Aufgabe
>Zeigen Sie, dass die Summe aller Elemente eines endlichen Körpers $ [mm] F\neq \mathbb F_{2} [/mm] $ 0 ist.
Sind denn [mm] \IF_{4},\IF_{8} [/mm] überhaupt Körper ?
Allgemeiner: Kann [mm] \IF_{q} [/mm] ein Körper sein, wenn q keine Primzahl ist ?
gruß,
thane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Mo 30.03.2009 | | Autor: | pheips |
Hallo!
>Sind denn $ [mm] \IF_{4},\IF_{8} [/mm] $ überhaupt Körper ?
>Allgemeiner: Kann $ [mm] \IF_{q} [/mm] $ ein Körper sein, wenn q keine Primzahl ist ?
Meines Wissens schon. q muss keine Primzahl sein, sondern eine Primzahlpotenz. 4 und 8 sind ja Potenzen von 2.
Für Ideen und Anregungen wäre ich daher weiterhin sehr dankbar
lG
pheips
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 30.03.2009 | | Autor: | thane |
Ok ein Beispiel nehmen wir [mm] \IF_{4}:
[/mm]
[mm] \IF_{4} [/mm] = [mm] \{[0],[1],[2],[3]\}.
[/mm]
Es gilt [2] *[2] = [2*2] = [4] = [0].
Ein Widerspruch zur Nullteilerfreiheit in Körpern.
Hoffe das war hilfreich.
gruß,
thane
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:42 Mo 30.03.2009 | | Autor: | pheips |
Servus!
In deinem Beispiel verwendest du [mm]$ \IZ_{4} $[/mm] (das ist natürlich kein Körper) und nicht [mm] \IF_{4} [/mm]. Das sind in diesem Fall 2 verschiedene Dinge.
Auf Seite 11 von folgendem pdf, sieht man wie [mm] \IF_{4} [/mm] definiert werden kann.
http://www.fh-wedel.de/fileadmin/mitarbeiter/iw/Lehrveranstaltungen/2007SS/DM/EndlicheKoerperLohrkeAusarbeitung.pdf
Dort sieht man auch, dass die Summe der Elemente 0 ergibt. Aber für einen allgeminen Beweis hilft mir das natürlich wenig.
lG
pheips
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 Mo 30.03.2009 | | Autor: | thane |
ah ja mist meine Fehler ich schiebs mal auf die späte Stunde.
gruß,
thane
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> Servus
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> Hmm, ich glaub wir reden aneinander vorbei
Hallo,
entschuldige, ich glaub' ich habe Dir gestern abend nicht richtig zugehört: ich hatte die Aufgabe im Geiste nach meinem Gusto umgestaltet, nämlich [mm] char\not=2 [/mm] vorausgesetzt.
> Was ist zB. mit [mm]\mathbb F_{4} [/mm]? Dieser hat Charakteristik
> 2, aber der Aufgabenstellung nach soll die Summe seiner
> Elemente dennoch 0 sein.
Du kannst hierfür verwenden, daß im endlichen Körper K die Gruppe (K \ [mm] \{0\}; [/mm] *) zyklisch ist, also von einem Element a erzeugt wird.
Es ist
[mm] \summe_{k\in F}=\summe_{k\in F\ \{0\}} [/mm] = ...
Schreib das jetzt als Potenzen von a und verwende die endliche geometrische Reihe.
Damit erübrigt sich dann auch die Berücksichtigung der Charakteristik, nur darf das erzeugende Element nicht =1 sein, und das ist ja ausgeschlossen, da die zu betrachtenden Körper mehr als zwei Elemente haben.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 Di 31.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > daß das =0 ist, willst du ja erst zeigen.
> Naja, das ist natürlich offensichtlich aufgrund der
> Inversen. Um was es mir aber geht ist, wie kann ich die
> Behauptung für endl. Körper [mm]F\neq \mathbb F_{2}[/mm] mit
> Charakteristik 2 zeigen? Also beispielsweise [mm]\mathbb F_{4},\mathbb F_{8}[/mm]
> usw.
Du bist ja nur an der additiven Struktur des Koerpers interessiert. Somit kannst du [mm] $\IF_{2^n}$ [/mm] als $n$-dimensionalen [mm] $\IF_2$-Vektorraum [/mm] auffassen. Du musst also zeigen, dass [mm] $\sum_{v \in \F_2^n} [/mm] v = 0$ ist fuer $n > 1$. Dies ist der Fall, wenn jede Komponente von [mm] $\sum_{v \in \F_2^n} [/mm] v$ gleich 0 ist (dies ist ja ein Vektor mit $n$ Eintraegen aus dem [mm] $\IF_2$). [/mm] Bekommst du jetzt eine Idee?
LG Felix
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