Summe der Quadratzahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finde einen Term, um die Summe der Quadratzahlen zu bilden, also: [mm]1^2+2^2+3^2+...+n^2 = ? [/mm]. |
Ich bin zwar erst 9.Klasse, aber unser Lehrer möchte uns die vollständige Induktion beibringen. Wir wollen im Unterricht den Term aus der Aufgabenstellung beweisen. Ich habe schon viel ausprobiert, aber ich bin auf keinen Term gekommen. Deshalb wollte ich euch fragen, ob ihr mir helfen könnt.
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Moin,
als Tipp: Schreib dir mal die ersten z.B. 5 Ergebnisse hin. Und durch ein wenig ausprobieren kommst du dann sicher drauf.
Gruß,
DerVogel
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das habe ich schon gemacht....aber die formeln passten immer nur für ein oder zwei zahlen, nicht für die ganze reihe!!
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> das habe ich schon gemacht....aber die formeln passten
> immer nur für ein oder zwei zahlen, nicht für die ganze
> reihe!!
Hallo,
das kann ich mir lebhaft vorstellen.
Ich weiß wirklich nicht, ob ich von selbst drauf kommen würde.
Diese Standardsummen stehen in den einschlägigen Formelsammlungen, falls Ihr bereits eine angeschafft habt, wirst Du die Summe in ihr finden.
Es wäre mir natürlich ein Leichtes, Dir die Summenformel einfach hinzuschreiben, aber das Suchen macht ja auch Spaß, und den möchte ich Dir nicht vollständig verderben.
Mach mal folgendes: rechne für jedes n mal n(n+1)(2n+1) aus und vergleiche mit [mm] 1^2+2^2+...+n^2.
[/mm]
Dann siehst Du's vielleicht.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Di 17.06.2008 | | Autor: | Harrynator |
Also ich hab dann mal bei Google "summenformel quadrate" eingegeben und der erste LInk war die Lösung mit Beweis.
Das sollten wir im Unterricht machen.
@pelzig: Angelas Hinweis war gar nicht schelcht, denn tatsächlich hat es mit n*(n+1)*(2n+1) zu tun.
Man muss dies nur noch durch 6 teilen: [mm]\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Di 17.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Meine Mitteilung bezog sich eindeutig auf die Antwort von DerVogel...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Sa 14.06.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich find den Tip ziemlich sinnlos. Zumindest ich wäre so (also durch intensives Anstarren) sicherlich nicht auf die Lösung gekommen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich find den Tip ziemlich sinnlos. Zumindest ich wäre so
> (also durch intensives Anstarren) sicherlich nicht auf die
> Lösung gekommen....
Also etwas Arbeit muss man sich schon machen:
Die ersten Summen sind
1
5
14
30
55
Vermutlich werden in der Summenformel einige Produkte auftreten. Zerlegen wir doch mal in Faktoren (bzw. suchen wir Teiler):
1
5 durch 5 teilbar
14 durch 7 teilar
30
55 durch 11 teilbar
Sieht fast wie eine Reihenfolge aus. Nur schade, dass 30 nicht durch 9 teilbar ist, sondern nur durch 3.
Verdreifachen wir doch mal alles und teilen es dann wieder durch 3:
3/3 Zähler durch 3 teilbar
15/3 Zähler durch 5 teilbar
42/3 Zähler durch 7 teilbar
90/3 Zähler durch 9 teilar
165/3 Zähler durch 11 teilbar
Die Folge 3, 5, 7, 9, 11,... ist schon mal durch 2*n+1 darstellbar. Danach untersucht man die restlichen Faktoren des Zählers
(1, 3, 6, 10, 15 ....).
Es ist nicht alles sinnlos!
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