Summe von Kuben < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
wie lautet die Formel für die Summe der ersten geraden und wie die für ungerade Zahlen?
[mm] Beispiel:2^3+4^3+6^3+.....+402^3 [/mm] und
[mm] 1^3+3^3+5^3+.....+401^3
[/mm]
Danke im Voraus!
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> Hallo,
> wie lautet die Formel für die Summe der ersten geraden
> und wie die für ungerade Zahlen?
> [mm]Beispiel:2^3+4^3+6^3+.....+402^3[/mm] und
> [mm]1^3+3^3+5^3+.....+401^3[/mm]
> Danke im Voraus!
Guten Tag Ferma,
es wäre schön, wenn du im Voraus mal zeigen würdest,
was du dir selber zur Lösung der Aufgabe schon über-
legt hast.
Wir werden dann gerne auf deine eventuell noch unvoll-
ständigen Lösungsansätze eingehen.
Danke für dein Verständnis !
LG Al-Chw.
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Hallo Ferma,
Du weißt wahrscheinlich, dass Du nach Funktionen 4. Grades suchen musst:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^3=an^4+bn^3+cn^2+dn+e
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k)^3=sn^4+tn^3+un^2+vn+w
[/mm]
Das ist einfach zu bestimmen.
Grüße
reverend
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reverend hat schon eine mögliche Idee angegeben.
Eine andere Möglichkeit wäre, dass du von einer
dir schon bekannten Formel für Summen von Kuben
ausgehst. Sehr oft wird nämlich unter dem Thema
"Beweise durch vollständige Induktion" eine solche
(übrigens sehr schöne) Formel bewiesen.
Ich müsste mich schwer täuschen, wenn du nicht
für den einen oder den anderen dieser Wege die
Grundlagen schon einmal "gehabt" hast ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Ferma |
ich brauche diese Formeln, um ein Problem(Freizeit) zu lösen. Eine Kugel mit R=402mm besteht aus 1mm dicken Schichten aus Gold und Silber. Es soll der Anteil an Gold ermittelt werden, wenn die letzte Schicht Gold ist.
[mm] (402^3-401^3)+(400^3-399^3).....oder 402^3+400^3-(401^3+399^3)... [/mm] und so weiter. Wenn alle Formeln zunächst abgeleitet werden sollten, wäre kaum Zeit für das Problem...
;) Gruß, Ferma
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> ich brauche diese Formeln, um ein Problem(Freizeit) zu
> lösen. Eine Kugel mit R=402mm besteht aus 1mm dicken
> Schichten aus Gold und Silber. Es soll der Anteil an Gold
> ermittelt werden, wenn die letzte Schicht Gold ist.
> [mm](402^3-401^3)+(400^3-399^3).....oder 402^3+400^3-(401^3+399^3)...[/mm]
> und so weiter. Wenn alle Formeln zunächst abgeleitet
> werden sollten, wäre kaum Zeit für das Problem...
> ;) Gruß, Ferma
Hallo,
das einzig wirklich Interessante an dieser Aufgabe
ist doch gerade der Lösungsweg.
Im Übrigen klingt die Aufgabe nicht unbedingt nach
einer ganz gewöhnlichen "Freizeit"- Beschäftigung,
sondern eher nach einer Wettbewerbsaufgabe.
Hast du uns da vielleicht etwas verschwiegen ?
(siehe Foren-Regeln betr. Wettbewerbsaufgaben)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Fr 07.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma,
> > Wenn alle Formeln zunächst abgeleitet
> > werden sollten, wäre kaum Zeit für das Problem...
Quatsch. Ich habe für beide Formeln zusammen drei Minuten gebraucht.
Und wenn Du nur das Ergebnis wissen willst, bist Du mit einer Excel-Tabelle oder einem Programm noch schneller fertig.
Klar ist, dass es nur sehr wenig mehr als 50% Gold sein werden. Wenn mans dann ausrechnet, stellt man fest, dass der Goldanteil noch unter 50,2% liegt.
Schick mal die Kugel, dann mess ichs gern nach. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Ferma |
Habe das Problem längst mit Excel gelöst. War halt neugierig, wie man das mathematisch löst!
Gold und Silber lieb' ich sehr, könnt es auch gebrauchen, hätt ich nur ein ganzes Meer....
dann würde ich jedem Teilnehmer mehr abgeben..
Gruß, Ferma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 07.09.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Ferma,
> Habe das Problem längst mit Excel gelöst.
Das dachte ich mir.
> War halt
> neugierig, wie man das mathematisch löst!
Na, dann mal für die Nachwelt...
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{\blue{3}}=n^2(2n^2-1)
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k)^{\blue{3}}=2n^2(n+1)^2
[/mm]
edit: jetzt auch mit Exponenten... Danke an Al für die Korrektur!
Da Deine Rechnung ja alterniert, hättest Du auch gut verwenden können:
[mm] (2n)^3-(2n-1)^3=12n^2-6n+1
[/mm]
...und ab da die (hoffentlich bekannten) Summenformeln für
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k$ [/mm] und [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^2$.
[/mm]
> Gold und Silber lieb' ich sehr, könnt es auch gebrauchen,
> hätt ich nur ein ganzes Meer....
> dann würde ich jedem Teilnehmer mehr abgeben..
Grüße
reverend
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> Na, dann mal für die Nachwelt...
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)=n^2(2n^2-1)[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k)=2n^2(n+1)^2[/mm]
Damit dies wirklich für die "Nachwelt" tauglich wird,
sollten wir noch die Exponenten ergänzen:
[mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)^{\red{3}}\ =\ n^2(2\,n^2-1)[/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{n}(2k)^{\red{3}}\ =\ 2\,n^2(n+1)^2[/mm]
LG
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo reverend,
nehmen wir eine "übersichtlichere" Kugel mit R=42. Excel berechnet das Gold-Volumen mit V=(4*Pi/3)*38367. Mit keiner von diesen vielen Formeln erhalte ich das Ergebnis:38367. Schffst Du das?
Gruß, Ferma
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> Hallo reverend,
> nehmen wir eine "übersichtlichere" Kugel mit R=42. Excel
> berechnet das Gold-Volumen mit V=(4*Pi/3)*38367. Mit keiner
> von diesen vielen Formeln erhalte ich das Ergebnis:38367.
Hallo ferma,
du brauchst die beiden Summen
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k)^3\ [/mm] =\ [mm] 2\,n^2(n+1)^2 [/mm] $
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)^3\ [/mm] =\ [mm] n^2(2\,n^2-1) [/mm] $
für den Wert n=21 und musst dann die Differenz dieser
Summen berechnen. Bei mir passt's ...
Übrigens könnte man die Differenz auch schon vor dem
Einsetzen des Zahlenwertes für n vereinfachen. Das
Ergebnis
$\ [mm] n^2*(4\,n+3)$
[/mm]
ist dann auch für größere n (wie etwa n=201 im ur-
sprünglichen Beispiel) recht handlich.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > ich brauche diese Formeln, um ein Problem(Freizeit) zu
> > lösen. Eine Kugel mit R=402mm besteht aus 1mm dicken
> > Schichten aus Gold und Silber. Es soll der Anteil an Gold
> > ermittelt werden, wenn die letzte Schicht Gold ist.
> > [mm](402^3-401^3)+(400^3-399^3).....oder 402^3+400^3-(401^3+399^3)...[/mm]
> > und so weiter. Wenn alle Formeln zunächst abgeleitet
> > werden sollten, wäre kaum Zeit für das Problem...
> > ;) Gruß, Ferma
>
> Hallo,
>
> das einzig wirklich Interessante an dieser Aufgabe
> ist doch gerade der Lösungsweg.
>
> Im Übrigen klingt die Aufgabe nicht unbedingt nach
> einer ganz gewöhnlichen "Freizeit"- Beschäftigung,
> sondern eher nach einer Wettbewerbsaufgabe.
das sehe ich hier tatsächlich anders: Als ich in der Schule in der
9en Klasse zum ersten Mal "den kleinen Gauß" gelernt hatte,
hatte ich selbstständig die Formel für die Summe der Quadratzahlen
hergeleitet. Ich fand's dann natürlich, nach einer allgemeinen Formel
für [mm] $\sum_{k=1}^n k^m$ ($m\,$ [/mm] fest) zu suchen, aber das überforderte
mich. Dass da immer "Polynome in [mm] $n\,$ [/mm] mit Grad [mm] $m+1\,$
[/mm]
stehen müssen", das sah' ich schon. Aber ich wollte das [mm] $m\,$ [/mm] allgemein
lassen. Für spezielle [mm] $m\,$ [/mm] konnte ich das schon immer hinschreiben!
(Die "allgemeine" Formel steht, glaube ich, auch im Heuser!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Ferma,
> ich brauche diese Formeln, um ein Problem(Freizeit) zu
> lösen. Eine Kugel mit R=402mm besteht aus 1mm dicken
> Schichten aus Gold und Silber. Es soll der Anteil an Gold
> ermittelt werden, wenn die letzte Schicht Gold ist.
> [mm](402^3-401^3)+(400^3-399^3).....oder 402^3+400^3-(401^3+399^3)...[/mm]
> und so weiter.
Du mußt hier die Quadrate und nicht die Kuben nehmen. Das macht die Aufgabe noch ein bißchen leichter.
Gruß,
Wolfgang
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> > Eine Kugel mit R=402mm besteht aus 1mm dicken
> > Schichten aus Gold und Silber. Es soll der Anteil an Gold
> > ermittelt werden, wenn die letzte Schicht Gold ist.
> > [mm](402^3-401^3)+(400^3-399^3).....oder 402^3+400^3-(401^3+399^3)...[/mm]
> > und so weiter.
>
> Du mußt hier die Quadrate und nicht die Kuben nehmen. Das
> macht die Aufgabe noch ein bißchen leichter.
Hallo Wolfgang,
ich sehe nicht genau, wie du das meinst. Zur Berechnung des
Volumens einer Schicht (Hohlkugel) will Ferma offenbar die
Differenz zweier Kugelvolumina benützen, und dabei kommen
doch tatsächlich die Kuben der Radien vor.
Man könnte allerdings dann ohne Kuben auskommen, wenn
man die Formel
$\ [mm] a^3-b^3\ [/mm] =\ [mm] (a-b)*(a^2+a\,b+b^2)$ [/mm]
heranzieht. Für den Fall a-b=1 wird daraus
$\ [mm] a^3-b^3\ [/mm] =\ [mm] a^2+a\,b+b^2\ [/mm] =\ [mm] 3\,a^2-3\,a+1$
[/mm]
Oder wie hast du es gemeint ?
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Al Chwarizmi,
das Volumen einer Schicht ist proportional zu [mm] $R^2$ [/mm] und nicht etwa zu [mm] $R^3$, [/mm] da alle Schichten gleich dick sind; zumindest für große $R$.
Exakt ist das Volumen proportional zu
[mm] $(R+1)^3-R^3=6R^2+6R+1$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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> Hallo Al Chwarizmi,
>
> das Volumen einer Schicht ist proportional zu [mm]R^2[/mm] und nicht
> etwa zu [mm]R^3[/mm], da alle Schichten gleich dick sind.
>
> Gruß,
> Wolfgang
Das stimmt zwar ungefähr, und zwar umso besser, je
dünner die Schichten sind. Aber es stimmt nicht exakt.
Teste dies am einfachsten an der zentralen Kugel
(Radius 1) und der ihr anliegenden ersten Hohlkugel
(Innenradius [mm] r_i=1 [/mm] , Außenradius [mm] r_a=2).
[/mm]
Eine analoge Überlegung habe ich mir schon auch
gemacht. Hätten wir anstatt einer Kugel eine Kreis-
scheibe, die in Kreisringe gleicher Breite zerlegt wird,
so könnte man sagen: die Flächeninhalte der einzelnen
Ringe sind proportional zu ihren "Mittelradien" (Mittel-
wert aus innerem und äußerem Radius eines Ringes).
Die Volumina der Hohlkugeln in unserem Fall sind
aber weder proportional zu [mm] r_a^2 [/mm] noch zu [mm] r_i^2 [/mm] noch
zu [mm] \left(\frac{r_a+r_i}{2}\right)^2 [/mm] , sondern eben,
wie die Faktorisierung $\ [mm] a^3-b^3\ [/mm] =\ [mm] (a-b)*(a^2+a\,b+b^2)$
[/mm]
zeigt, proportional zu
$\ [mm] \frac{r_a^2+r_a*r_i+r_i^2}{3}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Al Chwarizmi,
> >
> > das Volumen einer Schicht ist proportional zu [mm]R^2[/mm] und nicht
> > etwa zu [mm]R^3[/mm], da alle Schichten gleich dick sind.
>
> Das stimmt zwar ungefähr, und zwar umso besser, je
> dünner die Schichten sind. Aber es stimmt nicht exakt.
Genau! Eine Schicht mit dem Außenradius $r$ und Innenradius $r-1$ hat das Volumen
[mm] $c*\bigl(r^3-(r-1)^3\bigr)=c*(6r^2-6r+1)$ [/mm] mit einer Konstanten $c$. Der Goldanteil ist damit
[mm] $\sum_{r \ \mathrm{gerade}, r\le 402} (6r^2-6r+1) [/mm] : [mm] 402^3$.
[/mm]
Hier brauchen wir nur die Summe über die Quadrate der ersten 402 geraden Zahlen zu bilden, aber nicht deren Kuben.
Grüße,
Wolfgang
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> > > das Volumen einer Schicht ist proportional zu [mm]R^2[/mm] und nicht
> > > etwa zu [mm]R^3[/mm], da alle Schichten gleich dick sind.
> > Das stimmt zwar ungefähr, und zwar umso besser, je
> > dünner die Schichten sind. Aber es stimmt nicht exakt.
> Genau! Eine Schicht mit dem Außenradius [mm]r[/mm] und Innenradius
> [mm]r-1[/mm] hat das Volumen
> [mm]c*\bigl(r^3-(r-1)^3\bigr)=c*(6r^2-6r+1)[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
ich denke, da sollte jeweils anstatt einer 6 eine 3 stehen ...
> mit einer Konstanten [mm]c[/mm]. Der Goldanteil ist damit
> [mm]\sum_{r \ \mathrm{gerade}, r\le 402} (6r^2-6r+1) : 402^3[/mm].
> Hier brauchen wir nur die Summe über die Quadrate der
> ersten 402 geraden Zahlen zu bilden, aber nicht deren
> Kuben.
Naja, damit bin ich schon einverstanden - aber die Volumina
der Schichten sind ja eben nicht einfach proportional zu den
Quadraten der Radien ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Al-Charizmi
>
> > Genau! Eine Schicht mit dem Außenradius [mm]r[/mm] und Innenradius
> > [mm]r-1[/mm] hat das Volumen
>
> > [mm]c*\bigl(r^3-(r-1)^3\bigr)=c*(6r^2-6r+1)[/mm]
>
> ich denke, da sollte jeweils anstatt einer 6 eine 3 stehen
Ja. Da ist mir wohl das Pascalsche Dreieck durcheinander geraten.
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Fr 07.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal nebenbei:
> Hallo,
> wie lautet die Formel für die Summe der ersten geraden
> [mm]Beispiel:2^3+4^3+6^3+.....+402^3[/mm] und
es gilt generell:
Ist $m [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest, so ist
[mm] $$\sum_{k \text{ durchläuft die ersten }n \text{ geraden Zahlen}} k^m=\sum_{\substack{g=1\\g \text{ gerade}}}^{2n} g^m=\sum_{\ell=1}^{n} [/mm] (2 [mm] \ell)^m=\sum_{\ell=1}^{n} 2^m \ell^m=2^m *\sum_{\ell=1}^{n} \ell^m\,.$$
[/mm]
Und weil man [mm] $\{1,...,n\}=\{g: 1 \le g \le n:\; g \text{ gerade}\} \cup^d \{u: 1 \le u \le n:\; u \text{ungerade}\}$ [/mm] ("disjunkte Vereinigung")
schreiben kann, reicht's eigentlich generell, sich immer auf die Summe der
ersten [mm] $n\,$ [/mm] mit [mm] $m\,$ [/mm] potenzierten Zahlen zu beschränken. Es reicht also,
eine Formel (explizit - bzgl. [mm] $n\,$) [/mm] für
[mm] $$\sum_{k=1}^n k^m$$
[/mm]
zu finden!
(Im Sinne von "Die ersten [mm] $n\,$ [/mm] ungeraden=Die ersten 2n Zahlen Minus die ersten n geraden Zahlen"!)
Übrigens: Siehe auch hier für die Summe der Quadratzahlen!
Gruß,
Marcel
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Zum Thema "abwechselnd versilbern und vergolden":
"Das Grundmodell des Personal Harmonizers wird aus 24 Karat vergoldetem
Kupfer gefertigt .
Die Weiterentwicklung des Grundmodells wird insgesamt viermal vergoldet und
abwechselnd versilbert, hat also je vier Schichten Gold/Silber. Dadurch wird eine erhöhte
Schutzwirkung erreicht und der Körper bei der Ausscheidung von Stoffwechselschlacken
unterstützt."
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