Summe von Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mi 06.11.2013 | | Autor: | ExxE7 |
| Aufgabe | Man bestimme die Summe der Potenzreihe s=1+3x+5x²+7x³+..., indem man die Produkte
a) x*s und
b) x²*s
bildet. |
Hallo
Ich bin mir bei der Aufgabe nicht mal Sicher was das Ziel sein soll.
Eine Darstellung in der Form [mm] \summe_{i=0}^{n}q^n [/mm] oder 1/(1-q).
Ich habe bis jetzt die Berechnung von
[mm] x*s=x+3x²+5x³+7x^4+..., [/mm] durchgefürt.
Ich habe aber leider keine Idee wie mir das beim Berechnen der Summenformel helfen soll/kann...
Bitte um Hilfe
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> Man bestimme die Summe der Potenzreihe
> s=1+3x+5x²+7x³+..., indem man die Produkte
>
> a) x*s und
> b) x²*s
>
> bildet.
> Hallo
>
> Ich bin mir bei der Aufgabe nicht mal Sicher was das Ziel
> sein soll.
> Eine Darstellung in der Form [mm]\summe_{i=0}^{n}q^n[/mm] oder
> 1/(1-q).
>
> Ich habe bis jetzt die Berechnung von
>
> [mm]x*s=x+3x²+5x³+7x^4+...,[/mm] durchgefürt.
>
> Ich habe aber leider keine Idee wie mir das beim Berechnen
> der Summenformel helfen soll/kann...
Hallo ExxE7,
eine Bitte im Voraus: schreibe hier bitte alle
Exponenten mit dem Hoch-Symbol "^" und vergiss
die Tastaturexponenten für Quadrate und Kuben !!
Wenn du dir einmal die Reihen für s und für x*s
untereinander aufschreibst und dann die Differenz
der beiden Zeilen bildest, solltest du leicht zur
Lösung gelangen, wenn du auch noch die Formel
für die Summe der unendlichen geometrischen
Reihe anwendest.
Falls du unter die beiden Zeilen mit den Reihen für
s und x*s auch noch die für [mm] x^2*s [/mm] schreibst, kannst
du sogar durch eine geschickte Kombination dieser
Zeilen sogar direkt zum Ziel kommen, ohne die
Formel für die geometrischen Reihen.
Ich habe mir folgende Aufstellung gemacht, die wohl
fast selbsterklärend sein sollte:
. 0 1 2 3 4 5
. _____________________________
$\ s$ 1 3 5 7 9 11
$\ x*s$ 0 1 3 5 7 9
$\ [mm] x^2 [/mm] *s$ 0 0 1 3 5 7
Beachte dann z.B., dass in der hintersten Spalte
gilt: $\ 11-2*9+7=0$
Analoges gilt nicht gerade nur in dieser letzten
notierten Spalte ...
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Do 07.11.2013 | | Autor: | ExxE7 |
Danke für die Antwort
Ich kann in dieser Tabelle natürlich ein Schema erkennen, mein Problem ist aber dass ich noch immer keine Ahnung habe was der Sinn dahinter ist, dass ich die Summe s, der Reihe, zuerst mit x und dann mit [mm] x^2 [/mm] multipliziere.
Auch verstehe ich nicht, wie der von dir angesprochene Zusammenhang zwischen den einzelnen Zeilen mich auf die Summe der ursprünglichen Reihe führen soll.
Kannst du mir das bitte noch ein wenig ausführlicher erklären?
LG ExxE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
erinnerst du dich, wie du auf die Summenformel für die geometrische Reihe gekommen bist? Sonst sieh das nach, und wende ein sehr ähnliches Verfahren hier an.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Antwort
>
> Ich kann in dieser Tabelle natürlich ein Schema erkennen,
> mein Problem ist aber dass ich noch immer keine Ahnung habe
> was der Sinn dahinter ist, dass ich die Summe s, der Reihe,
> zuerst mit x und dann mit [mm]x^2[/mm] multipliziere.
>
> Auch verstehe ich nicht, wie der von dir angesprochene
> Zusammenhang zwischen den einzelnen Zeilen mich auf die
> Summe der ursprünglichen Reihe führen soll.
Warum, in Gottes Namen, machst Du nicht das , was Al Dir geraten hat ??
Hättest Du das gemacht, so würdest Du sehen, worauf es hinausläuft:
[mm] s=1+3x+5x^2+7x^3+...
[/mm]
[mm] xs=x+3x^2+5x^3+ [/mm] ....
[mm] (1-x)s=s-xs=1+2x+2x^2+2x^3+.....= 1+2x(1+x+x^2+x^3+...)
[/mm]
Klingelt jetzt was ?
FRED
>
> Kannst du mir das bitte noch ein wenig ausführlicher
> erklären?
>
> LG ExxE
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 07.11.2013 | | Autor: | ExxE7 |
Danke für eure raschen Antworten.
Ich habe nun die Aufgabe mit euren Hinweisen (hoffentlich richtig) gelöst, indem ich folgendes gemacht habe.
[mm] s-x*s=s*(1-x)=1+2x+2x^2+2x^3+2x^4+ [/mm] ... = [mm] 1+2x(1+x+x^2+x^3+x^4+...)
[/mm]
[mm] 1+x+x^2+x^3+x^4+ [/mm] ... entspricht der geometrischen Reihe und daher kann ich, da ich deren Summenformel kenne,
[mm] 1+x+x^2+x^3+x^4+... [/mm] = 1/(1-x) setzen.
=> s*(1-x)=1+2x*1/(1-x)
=> [mm] s=1+x/(1-x)^2 [/mm] Das sollte die Lösung sein.
Mein Problem ist aber, dass ich, wenn ich die Angabe richtig verstehe, nicht einfach die Summenformel der geometrischen Reihe einsetzen darf, sondern das Ergebnis eben per x*s und [mm] x^2*s [/mm] herleiten muss.
Das wäre dann der Weg, wie ihn Al-Chw. mit der Tabelle angedeutet hat.
Wenn ich das richtig verstehe...
Nur leider schaffe ich es nicht, von seinem Hinweis 11-2*9+7=0 auf eine allgemein gültige Aussage zu schließen.
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> Danke für eure raschen Antworten.
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> Ich habe nun die Aufgabe mit euren Hinweisen (hoffentlich
> richtig) gelöst, indem ich folgendes gemacht habe.
>
> [mm]s-x*s=s*(1-x)=1+2x+2x^2+2x^3+2x^4+[/mm] ... =
> [mm]1+2x(1+x+x^2+x^3+x^4+...)[/mm]
>
> [mm]1+x+x^2+x^3+x^4+[/mm] ... entspricht der geometrischen Reihe und
> daher kann ich, da ich deren Summenformel kenne,
>
> [mm]1+x+x^2+x^3+x^4+...[/mm] = 1/(1-x) setzen.
>
> => s*(1-x)=1+2x*1/(1-x)
>
> => [mm]s=1+x/(1-x)^2[/mm] Das sollte die Lösung sein.
>
> Mein Problem ist aber, dass ich, wenn ich die Angabe
> richtig verstehe, nicht einfach die Summenformel der
> geometrischen Reihe einsetzen darf, sondern das Ergebnis
> eben per x*s und [mm]x^2*s[/mm] herleiten muss.
>
> Das wäre dann der Weg, wie ihn Al-Chw. mit der Tabelle
> angedeutet hat.
> Wenn ich das richtig verstehe...
> Nur leider schaffe ich es nicht, von seinem Hinweis
> 11-2*9+7=0 auf eine allgemein gültige Aussage zu
> schließen.
OK, dann bin ich wieder dran.
Hier nochmal meine Tabelle:
. 0 1 2 3 4 5
. _____________________________
$ \ s $ 1 3 5 7 9 11
$ \ [mm] x\cdot{}s [/mm] $ 0 1 3 5 7 9
$ \ [mm] x^2 \cdot{}s [/mm] $ 0 0 1 3 5 7
In der hintersten Spalte gilt: $ \ [mm] 11-2\cdot{}9+7=0 [/mm] $
Analoges gilt nicht gerade nur in dieser letzten
notierten Spalte, sondern ab der dritten Spalte
immer. Also ist es doch naheliegend, die Reihe
für
$\ [mm] \red{1}*s\red{\ -2}*x*s\red{\ +1}*x^2*s$
[/mm]
zu bilden. Führe dies bitte aus, und du siehst,
dass von dieser Reihe nur 2 Glieder übrig bleiben,
weil eben alle weiteren durch die Addition und
Subtraktion herausfallen.
Die entstehende Gleichung $\ [mm] 1*s-2*x*s+1*x^2*s\ [/mm] =\ 1+x$
kann man dann leicht nach s auflösen und kommt
zur gewünschten Summenformel.
Beachte bei der ganzen Aufgabe, dass da etwas ganz
Wichtiges bisher nicht angesprochen wurde, nämlich
der Gültigkeitsbereich für die beteiligten Reihen.
Im Klartext: Für welche Zahlenwerte von x sind
diese Reihendarstellungen wirklich brauchbar ?
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Mi 13.11.2013 | | Autor: | ExxE7 |
Aus dem Ergebnis, also der berechneten Summenformel kann ich das nicht direkt ablesen.
Aber da es sich bei der Reihe um eine Variation der konvergenten geometrischen Reihe, für n=> unendlich, handelt, denke ich dass die Summenformel für alle x<1 gilt.
Denn andernfalls wäre die geometrische Reihe nicht mehr Konvergent.
Zur Vorgehensweise, dass man zuerst:
s, dann
x*s und weiter
[mm] x^2*s [/mm] bildet habe ich noch eine Frage.
Ist das eine allgemein gültige Vorgehensweise, wenn man die Summenformel einer Reihe sucht?
Also man multipliziert 2-mal mit x und sucht dann nach einem Zusammenhang der Koeffizienten?
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Hallo ExxE,
> Aus dem Ergebnis, also der berechneten Summenformel kann
> ich das nicht direkt ablesen.
Nicht? Was hast du denn ermittelt?
> Aber da es sich bei der Reihe um eine Variation der
> konvergenten geometrischen Reihe, für n=> unendlich,
> handelt, denke ich dass die Summenformel für alle x<1
> gilt.
Du meinst |x|<1. Das ist ein wesentlicher Unterschied, wie x=-2 eindrucksvoll belegt...
> Denn andernfalls wäre die geometrische Reihe nicht mehr
> Konvergent.
>
> Zur Vorgehensweise, dass man zuerst:
>
> s, dann
> x*s und weiter
> [mm]x^2*s[/mm] bildet habe ich noch eine Frage.
>
> Ist das eine allgemein gültige Vorgehensweise, wenn man
> die Summenformel einer Reihe sucht?
> Also man multipliziert 2-mal mit x und sucht dann nach
> einem Zusammenhang der Koeffizienten?
Nein, das ist kein Kochrezept, das man beliebig anwenden kann. Es ist aber eine passende Idee, um hier zum Ergebnis zu kommen.
Im übrigen müsstest Du die Grundidee (mehrere Zeilen, die die Differenz jeweils zwei darüber stehender Glieder darstellen) eigentlich kennen. Sie funktioniert nicht nur bei arithmetischen Folgen, sondern bei allen polynomialen.
Grüße
reverend
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