Summe von drei Quadraten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 04.02.2007 | | Autor: | Arnbert |
Hallo habe eine kleiner Frage wo ich keine ahnung für die Lösung habe und hoffe so ihr könnt mir helfen:
Also:
Wie zeige ich, dass siche jede natürliche Zahl n in der Form n= [mm] x^{2}+y^{2}-z^{2} [/mm] mit ganzen Zahlen x,y,z schreiben lässt?
Danke und Gruß Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 So 04.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Mikke
Ueberlege dir mal, wann sich eine Zahl [mm] $n=y^2-z^2=(y+z)(y-z)$ [/mm] schreiben lässt.
Nimm daher an, dass [mm] $n=a\cdot [/mm] b$, wie kann man dann y und z finden so, dass a=y+z und b=y-z. Welche Bedingungen müssen a und b erfüllen, damit y und z ganzzahlig sind. Falls man ein solchen a und b nicht finden kann, muss man mit x geeignet nachhelfen so, dass [mm] $n-x^2=y^2-z^2=(y+z)(y-z)=a\cdot [/mm] b$ und dann y und z ganzahlig werden.
mfG Moudi
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Hi! Wir hatten auf dem letzten Zettel auch eine Aufgabe, wo man beweisen musste, dass n genau dann als Differenz von zwei Quadraten darstellbar ist, wenn n [mm] \not\equiv [/mm] 2 mod 4, also [mm] n=x^2-y^2. [/mm] Wenn dem nicht so ist kann man, wie oben gesagt, nachbessern. Sei also n [mm] \equiv [/mm] 2 mod m, also [mm] n=2+k*4=1^2+(1+k*4). [/mm] 1+k*4 ist nun nicht mehr kongruent 2 mod 4, also als Differenz von zwei Quadraten darstellbar, also [mm] n=1^1+x'^2-y'^2
[/mm]
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