Summe zweier Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass P( [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] < y) [mm] =\begin{cases} \bruch{x^2}{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \\ 2x - \bruch{x^2}{2} + 1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}
[/mm]
gilt. Dabei sind die beiden Zufallsvariablen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] unabhängig und gleichverteilt über [0,1].
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Hallo,
weiß jemand wie man an die obige Aufgabe herangehen kann? Gibt es irgendeine Formel/Funktion, mit der man die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unabhängigen und gleichverteilten Zufallsvariablen bestimmen kann? Wenn ja, wäre es nämlich dann evtl. möglich durch Umformen die obige Aussage zu zeigen.
Ich hab auch irgendwo mal gelesen, dass man die Wahrscheinlichkeit auf die Art [mm] p_1(x_1) [/mm] * [mm] p_2(x_2) [/mm] berechnet und das dann durch die Anzahl der Zufallsvariablen (also in dem Fall: 2) teilt.
Der Erwartungswert in der obigen Aufgabe sollte ja eigentlich bei 0,5 liegen (also bei y = 1), somit finde ich die erste Teilformel [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] ganz gut nachvollziehbar (da [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] im Grunde dieselbe Wahrscheinlichkeit haben und man somit einfach [mm] x^2 [/mm] verwendet). Ich weiß aber nicht ob dieser Ansatz so wirklich möglich ist und ich weiß vor allem nicht, wie die zweite Teilformel für x größer/gleich 1 zustande kommen soll. Daher wäre ich um Hilfe sehr dankbar.
mfg,
leader
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:13 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
Danke für deine Antwort.
Ich versteh aber noch nicht ganz, was in dem zweiten Link da genau integriert wurde (letzter Beitrag). Muss ich da z - X einsetzen, also das, was zunächst umgestellt wurde? Ich komm damit noch nicht zum richtigen Ergebnis.
mfg,
leader.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 18.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Zeigen Sie dass P( [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] < y) [mm]=\begin{cases} \bruch{x^2}{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \\ 2x - \bruch{x^2}{2} + 1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}[/mm]
>
> gilt.
Das kann nicht stimmen: Fuer $x=1$ (oder soll es heissen $y=1$?) erhalte ich [mm] $2\times 1-1^2/2+1=2.5$.
[/mm]
Das ist ein unerfreuliches Ergebnis fuer eine Wahrscheinlichkeit.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
Verzeihung, da ist mir ein Fehler in der Formel unterlaufen. Das y ist falsch, es muss ein x sein (damit ist also [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] gemeint).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Verzeihung, da ist mir ein Fehler in der Formel
> unterlaufen.
Kein Problem.
> Das y ist falsch, es muss ein x sein (damit
> ist also [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] gemeint).
Das entkraeftet aber meinen Einwand nicht.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
Ja, du hast recht, das muss ein Minus sein. Dann funktioniert es: 2*1 - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] - 1
Das ergibt 0,5. Und wenn ich 2 einsetze kommt genau 1 heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ja, du hast recht, das muss ein Minus sein. Dann
> funktioniert es: 2*1 - [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm] - 1
Prima. Und was ist jetzt mit deiner Frage von 12.13 Uhr? In
dem von mir genannten Link wird genau das gezeigt...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
Ich frag mich was im dem 2. Link für Funktionen bei den Integralen verwendet werden:
$ [mm] P(Y\le z-X)=\int_0^z\int_0^{z-x}\,dy\,dx=\frac{z^2}{2} [/mm] $.
Ich hatte gedacht es wäre z-X, das hab ich dann auch eingesetzt, so dass ich [mm] \int_0^z\ [/mm] z-x * [mm] \int_0^{z-x}\ z-x,dy\,dx [/mm] gerechnet habe, da kam aber etwas ganz anderes heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 13.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ich frag mich was im dem 2. Link für Funktionen bei den
> Integralen verwendet werden:
>
> [mm]P(Y\le z-X)=\int_0^z\int_0^{z-x}\,dy\,dx=\frac{z^2}{2} [/mm].
>
> Ich hatte gedacht es wäre z-X, das hab ich dann auch
> eingesetzt, so dass ich [mm]\int_0^z\[/mm] z-x * [mm]\int_0^{z-x}\ z-x,dy\,dx[/mm]
> gerechnet habe, da kam aber etwas ganz anderes heraus.
>
Nein, nein, der Integrand ist 1 (stammt von der Dichte der Gleichverteilung in (0,1)):
[mm]P(Y\le z-X)=\int_0^z\int_0^{z-x}\,dy\,dx=\int_0^z\int_0^{z-x}1\,dy\,dx=\int_0^z(z-x)\,dx=[zx-x^2/2]_0^z=\frac{z^2}{2} [/mm].
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Do 13.12.2007 | | Autor: | Leader |
Gut, jetzt hab ich es verstanden.
Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe.
mfg,
leader
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