Summen einer Folge ->unendlich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Do 14.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
| Aufgabe | Berechnen Sie !
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k}{3^{k-1}} [/mm] |
Hallo
Also leider habe ich gar keinen wirklichen Ansatz wie ich dort vorgehen sollte.
Da es sich hier ja um eine alternierende Reihe halndelt, da die Vorzeichen ja laufend wechseln. Ich weis nicht wirklich wie ich dort nun den Endwert bestimmen sollte.
Es kommt raus 5, aber warum ?
Danke schonmal im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie !
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k}{3^{k-1}}[/mm]
> Hallo
> Also leider habe ich gar keinen wirklichen Ansatz wie ich
> dort vorgehen sollte.
> Da es sich hier ja um eine alternierende Reihe halndelt,
> da die Vorzeichen ja laufend wechseln. Ich weis nicht
> wirklich wie ich dort nun den Endwert bestimmen sollte.
> Es kommt raus 5,
Das stimmt nicht.
> aber warum ?
Tipp 1:
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-2)^k}{3^{k-1}} =3*\summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{-2}{3})^k [/mm] $
Tipp 2: geometrische Reihe.
FRED
>
> Danke schonmal im Vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 14.07.2011 | | Autor: | TeamBob |
Hallo
Also hier ist der Lösungsweg unseres Profs.
Ich verstehe es auch nicht ganz. Hoffe sehr ihr könnt mir helfen.
Es müsste doch eigentlich gegen unendlich sein oder?
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^k}{3^{K-1}}=
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}3\bruch{(-2)^k}{3^k}=
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}3(\bruch{-2}{3})^k= [/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}3\bruch{3}{1-(-\bruch{2}{3})}= [/mm] 5
Versteh aber den Lösungsweg gar nicht wo im 4 Schritt auf einmal das k hin ist und wie er umgeformt hat.
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Hallo TeamBob,
> Hallo
> Also hier ist der Lösungsweg unseres Profs.
> Ich verstehe es auch nicht ganz. Hoffe sehr ihr könnt mir
> helfen.
> Es müsste doch eigentlich gegen unendlich sein oder?
Nein!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-2)^k}{3^{K-1}}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}3\bruch{(-2)^k}{3^k}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}3(\bruch{-2}{3})^k=[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}3\bruch{3}{1-(-\bruch{2}{3})}=[/mm] 5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das hat er nie und nimmer so hingeschrieben!? Was soll vor allem das Summenzeichen noch da?
Es ist [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
Also hier mit [mm]q=-\frac{2}{3}[/mm]:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\red{3\cdot{}}\left(-\frac{2}{3}\right)^k=\red{3\cdot{}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{2}{3}\right)^k=\red{3\cdot{}}\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=...[/mm]
Bedenke [mm]\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1[/mm]
>
> Versteh aber den Lösungsweg gar nicht wo im 4 Schritt auf
> einmal das k hin ist und wie er umgeformt hat.
Das kann man auch nicht verstehen, weil das großer Humbuk ist.
Hast du in der Eile vllt. falsch abgeschrieben von der Tafel?
Gruß
schachuzipus
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