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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=0}^{\infty}x^n/n! [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-x)^n/n! [/mm] = [mm] 2\summe_{i=0}^{\infty}x^{2n+1}/(2n+1)! [/mm] |
Hallo,
meine Frage ist nur, mit welchen Rechenregeln ich auf die Umformung oben komme. Ich mache es mal so weit, wie ich komme:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}x^n/n! [/mm] - [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-x)^n/n! [/mm] =
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}(x^n/n! [/mm] - [mm] (-x)^n/n!) [/mm] =
[mm] 2\summe_{i=0}^{\infty}(x^n [/mm] - [mm] (-x)^n)/2n! [/mm] = ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Du solltest n statt i schreiben.
In Deiner letzten Summe machst Du bei den Summanden die Fallunterscheidung n gerade/n ungerade.
Hilft das ?
FRED
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Auf diese Idee bin ich witzigerweise auch schon gekommen, aber auch das hat mich nicht weitergebracht:
Also für:
gerade n: [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}0/2n! [/mm] = 0
ungerade n: [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}2x^{n}/2n! [/mm] = [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}x^{2n+1}/n!*x^{n+1}
[/mm]
Deshalb dachte ich da wurde doch irgendeine Rechenregel angewandt, dir mir gerade nicht einfällt. Die Lösung von Loddar ist natürlich genial wie einfach, aber der Weg "zu Fuß" interessiert mich jetzt doch :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
falls Dir der Zusammenhang Deiner Reihe mit der Exponentialfunktion nicht geläufig ist, so benutze z.B. das Quotientenkriterium, um einzusehen, dass beide Reihen (für jedes beliebige $x$) konvergieren.
D.h. es gilt: [mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!}$$ [/mm] sowie [mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}=\lim_{N \to \infty}\sum_{n=0}^N \frac{(-x)^n}{n!}.$$
[/mm]
Weiter gilt für jedes $N [mm] \in \IN$: [/mm]
[mm] $$\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^N \frac{(-x)^n}{n!}=\sum\limits_{n=1 \atop\;\; n \;\;\;ungerade}^N \frac{2x^n}{n!}=2*\sum\limits_{n=1 \atop\;\; n \;\;\;ungerade}^N \frac{x^n}{n!}.$$
[/mm]
[mm] $(\star_1)$ [/mm] Für gerades $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt mit $n=2m+1$:
[mm] $$2*\sum\limits_{n=1 \atop\;\; n \;\;\;ungerade}^N \frac{x^n}{n!}=2*\sum_{m=0}^{\frac{N-2}{2}} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}$$
[/mm]
[mm] $(\star_1)$ [/mm] Für ungerades $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt mit $n=2m+1$:
[mm] $$2*\sum\limits_{n=1 \atop\;\; n \;\;\;ungerade}^N \frac{x^n}{n!}=2*\sum_{m=0}^{\frac{N-1}{2}} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}$$
[/mm]
Jetzt musst Du Dir nur noch überlegen, dass folglich die beiden Teilfolgen [mm] $\left(\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^N \frac{(-x)^n}{n!}\right)_{N \in \IN \mbox{ und }N \mbox{ gerade}}$ [/mm] und [mm] $\left(\sum_{n=0}^N \frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^N \frac{(-x)^n}{n!}\right)_{N \in \IN \mbox{ und }N \mbox{ ungerade}}$ [/mm] beide konvergieren und zwar beide gegen
[mm] $$2*\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
[/mm]
(Dazu gehört insbesondere die Begründung, warum die letzte Reihe konvergiert.)
Insgesamt folgt dann die Behauptung mit [mm] $(\star_1)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Di 01.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Infostudent!
Hier noch meine Idee ...
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-x)^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] e^x-e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{e^x-e^{-x}}{2} [/mm] \ = \ [mm] 2*\sinh(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 01.07.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Loddar
> Hier noch meine Idee ...
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}-\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-x)^n}{n!} \ = \ e^x-e^{-x} \ = \ 2*\bruch{e^x-e^{-x}}{2} \ = \ 2*\sinh(x) \ = \ 2*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Ich vermute mal, dass er das hier bzw. Teile davon zeigen soll, also dass die Reihenentwicklung von [mm] $\sinh [/mm] x$ gerade so aussieht oder so :)
LG Felix
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