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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Fr 27.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
| Aufgabe | Zeige: [mm] $n^2 \le 2^n [/mm] (n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \not= [/mm] 3)$
[mm] $\summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] = [mm] (-1)^n* \vektor{n+1 \\ 2}$
[/mm]
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hey komme mit dieser aufgabe nicht klar. ich habe keine ahnung was ich da anwenden muss bzw. wie das überhaupt gehen soll. ich hoffe mir kann da jemand helfen. wäre super nett,danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hiltrud!
Beide Aufgaben schreien ja förmlich nach dem Beweisverfahren gemäß vollständiger Induktion.
Hilft dieser Hinweis bereits weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Fr 27.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
ach mensch, ich habs mir schon fast gedacht. da muss ich mich erstmal reinlesen....kannst du mir hier vielleicht den anfang zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hiltrud!
Zeige ich es Dir mal an der 2. Aufgabe ...
Wir beginnen mit der Induktionsverankerung (auch Induktionsbeginn genannt), d.h. wir zeigen, dass die Behauptung für $n \ = \ 1$ gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{1} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^1*1^2 [/mm] \ = \ (-1)*1 \ = \ -1$
[mm] $(-1)^1 \vektor{1+1 \\ 2} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\vektor{2\\2} [/mm] \ = \ -1*1 \ = \ -1$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Also erfüllt!
In der Induktionsvoraussetzung wird nun die Behauptung [mm] $\summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] = [mm] (-1)^n* \vektor{n+1 \\ 2}$ [/mm] für beliebiges $n_$ vorausgesetzt.
Und im Induktionsschritt wird nun gezeigt, dass dies auch für [mm] $n\red{+1}$ [/mm] gilt:
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{n+1} *\vektor{n+1+1 \\ 2} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^{n+1}* \vektor{n+2 \\ 2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2+\summe_{k=n+1}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] k^2 [/mm] \ = \ \ = \ [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n} (-1)^k * k^2}+(-1)^{n+1} *(n+1)^2 [/mm] \ = \ ...$
Für den blauen Term nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen und weiter zusammenfassen bis zur Induktionsbehauptung.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:18 Fr 27.10.2006 | | Autor: | hiltrud |
hey danke. also ab da bekomme ich es denke ich mal hin. aber wie soll das erste gehen? da geht das doch garnicht so. irgendwie versteh ich nicht wie das da gehen soll, da sist ja logisch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 29.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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