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Hallöchen!
Ich sollte folgende Aufgabe bearbeiten:
Bestimmen sie Sup, Inf und geben sie an, ob es sich um ein Min oder Max handelt.
A:= [mm] \{\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3 ^{k}} : n \varepsilon \IN \}
[/mm]
Das Inf ist ja klar. Beim Sup habe ich mit der Konvergenz gearbeitet, und zwar mit der geometrischen Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{ \infty} q^{n}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Ich habe, da die 0 nicht eingeschlossen ist, 1/2 rausbekommen und das stimmt ja.
Da ich das in der VO nicht hatten, weiß ich nicht ob ich das so machen kann. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Viele Grüße
Cosmotopianerin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallöchen!
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> Ich sollte folgende Aufgabe bearbeiten:
>
> Bestimmen sie Sup, Inf und geben sie an, ob es sich um ein
> Min oder Max handelt.
>
> A:= [mm]\{\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3 ^{k}} : n \varepsilon \IN \}
[/mm]
>
>
> Das Inf ist ja klar.
Ja, aber man sollte es dennoch angeben (bei mir ist [mm] $\IN=\{1,2,3,4,5,...\}$; [/mm] bei euch auch? Oder gehört die $0$ bei euch zu [mm] $\IN$?):
[/mm]
[mm] $Inf(A)=Min(A)=\frac{1}{3}$ [/mm]
Begründung?
> Beim Sup habe ich mit der Konvergenz
> gearbeitet, und zwar mit der geometrischen Reihe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} q^{n}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
> Ich habe, da die 0 nicht eingeschlossen ist, 1/2
> rausbekommen und das stimmt ja.
Ahso, du meinst beim Index fehlt die Null. Dann erhält man:
[mm] $\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3}\right)}-1=\frac{1}{2}$. [/mm] Okay! 
> Da ich das in der VO nicht hatten, weiß ich nicht ob ich
> das so machen kann. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Naja, du darfst das schon benutzen, um das Supremum zu finden. Wenn du das allerdings als Lösung mit angibst, und es in der Vorlesung noch nicht drankam, dann mußt du halt vorher die Sachen, die du anwendest, beweisen. Das ist hier ja nicht schwierig, ich denke, dass du das hinbekommst, oder?
So, jetzt solltest du aber vielleicht noch nachweisen (mit der Definition aus der Vorlesung), dass [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] Supremum dieser Menge $A$ ist. Der Nachweis der oberen Schranke dürfte kein Problem sein. Dass es die kleinste obere Schranke ist, ist schon etwas kniffliger, weil ihr vermutlich noch nicht viel (oder gar nichts) über Reihen erfahren habt. Vielleicht ziehst du dich dann auf die Partialsummenfolge zurück (das passt ja auch zu der Menge, die in der Aufgabe gegeben ist) und argumentierst dann mit dem, was du über Folgen weißt (das wird später eh sehr oft genauso gehandhabt).
Hmmm. Na gut, am besten, du beweißt vorher die geometrische Summenformel und den anderen Quark, dann hat man das alles auch sehr schnell ohne qualvolle Rechnungen abgehandelt.
(Wenn ich länger drüber nachdenke, weiß ich auch gar nicht, ob man das ohne die geometrische Summenformel und ohne die geometrische Reihe nachweisen kann. Ist wohl schon zu spät. Ich gehe mal lieber schlafen. ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") )
Was noch fehlt: Ist dieses Supremum denn auch ein Maximum?
Viele Grüße
Marcel
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