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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Di 16.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo ich habe mal wieder eine Frage.
Ich soll zeigen, dass wenn ich einennicht vollständigen metrischen Raum habe und dort eine Menge [mm] M\neq \emptyset [/mm] habe, die beschränkt und abgeschlossen ist.
Dass dann das sup|x,y| bzw inf|x,y| existiert.
Hat da jemand einen Tipp für mich?
Bis jetzt kannte ich nur, dass wenn jede beschränkte Menge ein Supremum besitzt der Raum vollständig ist.
Demnach muss ich ja die Abgeschlossenheit noch hinzupacken.
Aber wie?
Schonmal Danke im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hilbert,
> Hallo ich habe mal wieder eine Frage.
>
> Ich soll zeigen, dass wenn ich einennicht vollständigen
> metrischen Raum habe und dort eine Menge [mm]M\neq \emptyset[/mm]
> habe, die beschränkt und abgeschlossen ist.
>
> Dass dann das sup|x,y| bzw inf|x,y| existiert.
>
> Hat da jemand einen Tipp für mich?
> Bis jetzt kannte ich nur, dass wenn jede beschränkte
> Menge ein Supremum besitzt der Raum vollständig ist.
ich kannte den Satz nicht: Ist die Logik aber wirklich so rum, oder ist
es nicht vielleicht doch so, dass in einem vollständigen Raum gilt:...
> Demnach muss ich ja die Abgeschlossenheit noch
> hinzupacken.
Was heißt denn hinzupacken? Hier liegt ja eben ein nicht vollständiger
Raum vor.
Fangen wir mal mit dem Supremum an:
Ich denke, man macht erstmal folgendes: Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
Wir setzen für $x [mm] \in [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] X$ die Funktion
[mm] $$d_x: [/mm] M [mm] \to \IR$$
[/mm]
fest durch
[mm] $$d_x(m):=d(x,m)\,.$$ [/mm]
(Du hast das komischerweise als [mm] $|x,m|\,$ [/mm] geschrieben!)
Weil [mm] $d_x(M)$ [/mm] eine Teilmenge (nichtnegativer) reeller Zahlen ist, die nach
oben beschränkt ist, weil [mm] $M\,$ [/mm] ja beschränkt ist, können wir definieren
$$f: M [mm] \to \IR$$
[/mm]
durch
[mm] $$f(x):=\sup d_x(M)\,,$$
[/mm]
denn die rechte Seite ist wegen der Vollständigkeit von [mm] $\IR$ [/mm] dann für alle
$x [mm] \in [/mm] M$ (in [mm] $\IR$) [/mm] definiert.
Vermutlich kann man nun zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig sein muss - ebenso sind
vermutlich auch alle [mm] $d_x$ [/mm] stetige Funktionen, was man dafür vielleicht
gebrauchen kann.
Wegen der Beschränktheit von [mm] $M\,$ [/mm] wird dann durch die Stetigkeit von
[mm] $f\,$ [/mm] vermutlich sichergestellt, dass [mm] $f(M)\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte
Menge (nichtnegativer) reeller Zahlen ist - und analog der obigen
Begründung folgt, dass [mm] $f(M)\,$ [/mm] ein Supremum hat. Setze [mm] $S:=\sup f(M)\,.$
[/mm]
Dann existiert eine Folge [mm] $(m_n)_n \in M^{\IN}$ [/mm] so, dass [mm] $f(m_n) \to S\,.$
[/mm]
So, und weil ich mich ab hier nicht mehr so wirklich auskenne, und mir auch
noch nicht mal sicher bin, ob meine obigen Behauptungen so eigentlich
alle stimmen (die Stetigkeit der [mm] $d_x$ [/mm] und von [mm] $f\,$ [/mm] müßte wenigstens
nachgerechnet werden), höre ich mal auf. Mir ist nicht klar, ob man einfach
mit einer konvergenten Teilfolge von [mm] $(m_n)_n$ [/mm] weiterarbeiten könnte,
denn soweit ich weiß, bräuchte man dafür ein Kompaktheitsargument.
Also: Das ganze kann ein Anfang eines Beweises sein, aber er ist mit
Sicherheit noch nicht zu Ende - aber vielleicht steckt ja die ein oder andere
brauchbare Idee drin.
Zudem: Bist Du Dir sicher, dass Du die Aussage richtig wiedergegeben
hast? Denn [mm] $\inf \{d(x,y): x,y \in M\}$ [/mm] ist einfach [mm] $=0\,,$ [/mm] siehst Du mit
einem $x [mm] \in M\,,$ [/mm] wenn Du dann [mm] $y:=x\,$ [/mm] einsetzt - egal, ob [mm] $M\,$
[/mm]
beschränkt oder nicht.
Vielleicht steht da in der Aufgabe ja nur sowas wie, dass
[mm] $$\inf\{\underbrace{\sup d_x(M)}_{=f(x)}: x \in M\}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\sup\{\underbrace{\sup d_x(M)}_{=f(x)}: x \in M\}$$
[/mm]
existieren sollen, und dass das (in dieser Reihenfolge) dann ein Minimum
bzw. ein Maximum ist?
(Kurz: Obiges [mm] $f\,$ [/mm] nimmt auf [mm] $M\,$ [/mm] sein Minimum und Maximum an!)
Naja, ich setze die Frage mal auf halb beantwortet... vll. weiß jemand ja
genauer, was Du eigentlich zu zeigen hast und kann etwas aus meiner
Antwort dennoch verwerten ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 16.10.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo,
also das ganze hat mit den reellen Zahlen nichts direkt zu tun.
Ich habe einen metrischen Raum, von dem ich weiß, dass er nicht vollständig ist. Aber ich soll zeigen, dass dann das sup(x,y) für irgend ein x existiert. Wobei die y aus einer beschränkten und abgeschlossenen Menge sind.
Ich dachte dieses Supremumprinzip sei äquivalent zur Vollständigkeit, da habe ich wohl etwas falsch verstanden.
Reicht hier also die Beschränktheit schon aus?
Schonmal vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also das ganze hat mit den reellen Zahlen nichts direkt zu
> tun.
anscheinend hast Du nicht verstanden, was ich gemacht habe. Natürlich
hat die Aufgabe auch mit den reellen Zahlen zu tun:
Denn wohin bildet denn eine Metrik ab? Welche Werte nimmt $d(x,y)$
immer an? Wenn Dir das nicht klar ist, brauchst Du auch gar nicht weiter
an der Aufgabe zu arbeiten. Denn das sind GRUNDLAGEN.
Oder Du hast Dich hier nur unglücklich ausgedrückt, aber das musst Du
selbst rausfinden!
> Ich habe einen metrischen Raum, von dem ich weiß, dass er
> nicht vollständig ist. Aber ich soll zeigen, dass dann das
> sup(x,y) für irgend ein x existiert. Wobei die y aus einer
> beschränkten und abgeschlossenen Menge sind.
Na, [mm] $\sup(x,y)$ [/mm] (anlog mit [mm] $\inf$) [/mm] macht doch so gar keinen Sinn. Sinn
würde es machen, wenn Du die Aufgabe mal wortwörtlich vom
Aufgabenblatt abschreibst - oder einen Link schickst. Denn alleine, dass
Du oben denkst, ich arbeite (alleine!) mit den reellen Zahlen, zeigt schon,
dass Dir nicht wirklich klar ist, was ich da gemacht habe. Ich habe auch die
Vermutung, dass Dir alleine schon der Begriff "Metrik" nichts sagt, oder Du
denkst, dass das irgendso 'ne abstrakte Funktion mit komischen
abstrakten Funktionsbildern sei. Abstrakt mag' das sein, aber wohin bildet
sie ab? (Na, haben wir hier etwa doch [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR$?) [/mm]
Welche Eigenschaften hat sie?
> Ich dachte dieses Supremumprinzip sei äquivalent zur
> Vollständigkeit, da habe ich wohl etwas falsch
> verstanden.
Ach Du meine Güte: Ja, in [mm] $\IR$ [/mm] ist es das. Generell ist aber ein metrischer
Raum genau dann vollständig, wenn jede Cauchyfolge in dem Raum ein
Element hat, gegen das sie konvergiert. Und nur, damit Du mal auf die
Schnelle siehst, dass es in [mm] $\IQ$ [/mm] Cauchyfolgen gibt, die in [mm] $\IQ$ [/mm] nicht
konvergent sein können:
Mit Hilfe des sogenannten Babylonischen Wurzelziehens kann man eine
Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] mit Gliedern alle in [mm] $\IQ$ [/mm] angeben, die gegen [mm] $\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ$
[/mm]
konvergiert. Die Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] ist also wegen [mm] $\IQ \subseteq \IR$ [/mm] eine
reelle Folge, die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent ist. Konvergente Folgen sind
Cauchyfolgen, damit ist die Folge [mm] $(q_n)_n$ [/mm] - i.w. weil der Betrag in [mm] $\IQ$ [/mm]
die Einschränkung des Betrags in [mm] $\IR$ [/mm] ist - auch in [mm] $\IQ$ [/mm] Cauchyfolge.
Wäre sie in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergent, so gäbe es aber ein Element $q [mm] \in \IQ\,,$
[/mm]
gegen welches [mm] $(q_n)_n$ [/mm] konvergierte. Wegen $q [mm] \in \IQ \subseteq \IR$ [/mm]
(und dem Betragsargument - s.o.) müßte dann aber, weil [mm] $\IR$ [/mm] mit der vom
Betrag induzierten Metrik ein metrischer Raum ist und in metrischen
Räumen Grenzwerte eindeutig sind, dann [mm] $q=\sqrt{2} \in \IQ$ [/mm] folgen. Das
aber [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ\,,$ [/mm] ist bekannt, also haben wir einen
Widerspruch.
> Reicht hier also die Beschränktheit schon aus?
Naja, wie gesagt: Erstmal solltest Du die Aufgabe richtig abschreiben. Ich
vermute, dass sie so heißen könnte:
Sei [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum. Sei $M [mm] \subseteq [/mm] X$ beschränkt und
abgeschlossen. Zeigen Sie:
Für jedes $x [mm] \red{\;\in X\;}$ [/mm] existiert dann
[mm] $$\sup\{d(x,m):\; m \in M\}\,,$$
[/mm]
und vielleicht steht dann noch irgendwo ein Zusatz:
- und dieses Supremum ist (für jedes $x [mm] \in [/mm] X$) ein Maximum, d.h. es ex. [mm] $m_0=m_0(x) \in [/mm] M$ mit
[mm] $$\sup\{d(x,m):\;m \in M\}=d(x,m_0)\,.$$
[/mm]
(Analoges für's Infimum. Übrigens: Sowas kann man sich, wenngleich das
kein Beweis ist, auch schon auf einem Blatt - welches den kartesischen
[mm] $\IR^2$ [/mm] darstelle - mal skizzieren. Dabei geht man der Anschauung wegen
auch erstmal davon aus, das die Metrik nichts anderes als der Abstand ist,
den wir (aus der Schule und dem Leben) gewohnt sind. Nur, um überhaupt
mal genauer zu verstehen, was da eigentlich steht. Und [mm] $M\,$ [/mm] kannst Du
dabei mit einer (verbeulten) geschlossenen Kurve eingefangen skizzieren!
Und interessant wird obige Aussage dann eher für $x [mm] \notin [/mm] M$!)
Sowas KÖNNTE ich mir vorstellen - denn andernfalls frage ich mich, warum
man neben der Beschränktheit noch die Abgeschlossenheit brauchen
sollte.
Und nun nochmal:
Weil $d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [0,\infty)$ [/mm] eine Metrik ist, ist auch für jede Teilmenge
$A [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] X$ die Abbildung [mm] $d_{|A}$ [/mm] eine Abbildung mit
Werten in [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Die Menge [mm] $\{d(x,m):\;m \in M\}$ [/mm] ist also eine Teilmenge von [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Auch, wenn die Elemente aus [mm] $M\,$ [/mm] vielleicht sehr abstrakt sind - aber die
Werte [mm] $d(x,y)\,$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] sind (nichtnegative) reelle Zahlen, egal,
welche $x,y [mm] \in [/mm] M$ Du betrachtest!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Di 16.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo hilbert,
>
> Ich soll zeigen, dass wenn ich einennicht vollständigen
> metrischen Raum habe und dort eine Menge [mm]M\neq \emptyset[/mm]
> habe, die beschränkt und abgeschlossen ist.
>
> Dass dann das sup|x,y| bzw inf|x,y| existiert.
>
> Hat da jemand einen Tipp für mich?
> Bis jetzt kannte ich nur, dass wenn jede beschränkte
> Menge ein Supremum besitzt der Raum vollständig ist.
> Demnach muss ich ja die Abgeschlossenheit noch
> hinzupacken.
> Aber wie?
So ganz kann ich Deine Aufgabe nicht verstehen. Nur mal so viel: Ist M eine nichtleere beschränkte Teilmenge eines metrischen Raumes (X, d), so ist existiert für jedes x in X das Supremum der Menge [mm] $S=\{ d(x, y)\colon y\in M$\}\;.$ [/mm] Aber hierzu braucht man weder die Vollständigkeit oder die Nichtvollständigkeit von X noch die Abgeschlossenheit von M vorauszusetzen.
Der Beweis hängt an der Definition von "beschränkt" für Teilmengen eines beliebigen metrischen Raumes. Wenn X z. B. ein normierter Vektorraum ist, so ist M beschränkt, wenn M in einer Kugel um den Nullvektor enthalten ist. Bei allgemeinen Räumen haben wir aber keinen Nullvektor.
Deshalb definiert man allgemeiner:
M heißt beschränkt, wenn B = [mm] $\{d(x, y)\colon x, y \in M\}$ [/mm] beschränkt ist. (Für B als Teilmenge der reellen Zahlen ist "beschränkt" definiert!)
Da metrische Räume im allgemeinen keine lineare Ordnung aufweisen, kann man bei Teilmengen solcher Räume auch nicht von oberen Schranken, Minimum oder Supremum sprechen.
So, jetzt kann ich erst weitermachen, wenn ich genauer weiß, was Du zeigen mußt oder willst.
Grüße,
Wolfgang
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