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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | a) Gegeben sei die Menge [mm] M:={\bruch{m}{m²+n²}: m,n \in \IN} \subseteq \IR. [/mm] Bestimmen Sie inf M, min M, sup M und max M, sofern diese existieren (bitte alle Antworten genau begründen!).
b) Es se A [mm] \subseteq [1,\infty) [/mm] eine nichtleere, beschränkte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Beweisen Sie [mm] \bruch{1}{sup A} [/mm] = inf [mm] {{\bruch{1}{a}: a \in A}}.
[/mm]
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Zu a):
Ich weiss ja, dass das sup (M)= 0,5 ist, weil 1 ja der kleinste Wert ist, den man für m,n einsetzen kann.
Da 0,5 [mm] \in [/mm] M ist, ist sup(M)= Max (M)= 0,5.
Inf (M)=0, denn je größer man m,n wählt, desto näher kommt man der 0 entgegen, jedoch ist 0 [mm] \not\in [/mm] M, also ist auch Min (M) nicht vorhanden.
Mein Problem liegt nun darin mit [mm] \varepsilon [/mm] zu beweisen, dass sup(M)=0,5 und inf(M)=0 ist.
Es gilt: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x< inf(M) + [mm] \varepsilon [/mm] (Gilt für das Infimum)
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: x> sup(M) - [mm] \varepsilon [/mm] (Gilt für das Supremum)
Dann schreibe ich ja:
[mm] \bruch{m}{m²+n²} [/mm] < 0 + [mm] \varepsilon
[/mm]
... aber wie forme ich dann weiter um?
Zu b)
Hier habe ich irgendwie keinen Lösungsansatz parat...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 So 26.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Gegeben sei die Menge [mm]M:=\{\bruch{m}{m²+n²}: m,n \in \IN\} \subseteq \IR.[/mm]
> Bestimmen Sie inf M, min M, sup M und max M, sofern diese
> existieren (bitte alle Antworten genau begründen!).
>
> b) Es se A [mm]\subseteq [1,\infty)[/mm] eine nichtleere,
> beschränkte Teilmenge von [mm]\IR.[/mm] Beweisen Sie [mm]\bruch{1}{\sup A} = \inf \{{\bruch{1}{a}: a \in A}\}.[/mm]
>
> Zu a):
> Ich weiss ja, dass das sup (M)= 0,5 ist, weil 1 ja der
> kleinste Wert ist, den man für m,n einsetzen kann.
>
> Da 0,5 [mm]\in[/mm] M ist, ist sup(M)= Max (M)= 0,5.
>
> Inf (M)=0, denn je größer man m,n wählt, desto näher kommt
> man der 0 entgegen, jedoch ist 0 [mm]\not\in[/mm] M, also ist auch
> Min (M) nicht vorhanden.
>
> Mein Problem liegt nun darin mit [mm]\varepsilon[/mm] zu beweisen,
> dass sup(M)=0,5 und inf(M)=0 ist.
> Es gilt: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: x< inf(M) + [mm]\varepsilon[/mm] (Gilt
> für das Infimum)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber du solltest noch dazu schreiben, dass [mm] $\inf [/mm] M [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss, weil alle Elemente der Menge positiv sind.
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M: x> sup(M) - [mm]\varepsilon[/mm]
> (Gilt für das Supremum)
Da denkst du zu kompliziert. Wenn das Maximum existiert, ist es gleich dem Supremum. Es reicht also zu zeigen, dass das Maximum existiert. Du musst also nur zeigen, dass alle Elemente der Menge [mm] $\le1/2$ [/mm] sind.
> Dann schreibe ich ja:
> [mm]\bruch{m}{m²+n²}[/mm] < 0 + [mm]\varepsilon[/mm]
> ... aber wie forme ich dann weiter um?
Du musst nur irgendein Element der Menge finden, dass diese Ungleichung erfüllt. Du kannst also zum Beispiel einen beliebigen Wert von m wählen und zeigen, dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein n gibt, das die Ungleichung erfüllt.
> Zu b)
> Hier habe ich irgendwie keinen Lösungsansatz parat...
Überlege dir, dass [mm] $\sup [/mm] A$ die kleinste Zahl ist, die [mm] $\ge$ [/mm] als alle Elemente von A ist. Daher ist
[mm] \bruch{1}{\sup A} [/mm]
die größte Zahl, die [mm] $\le$ [/mm] aller Elemente von [mm] $\{{\bruch{1}{a}: a \in A}\}$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 So 26.10.2008 | | Autor: | Hanz |
Erstmal Danke für die Antwort, aber eine Frage hätte ich dann ja noch:
Wenn ich bei $ [mm] \bruch{m}{m²+n²} [/mm] $ < 0 + $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ein m beliebig wähle z.B. m=1 dann erhalte ich ja:
$ [mm] \bruch{1}{1²+n²} [/mm] $ < 0 + $ [mm] \varepsilon [/mm] $ dann müsste ich es ja nach n umformen.
Dann bekomme ich aber irgendie was merkwürdiges heraus:
[mm] \wurzel{\bruch{1-\varepsilon}{\varepsilon}} [/mm] < n.
Bringt mich das dann weiter? Eigtl sollte n doch < [mm] \varepsilon [/mm] sein :o
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 So 26.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Erstmal Danke für die Antwort, aber eine Frage hätte ich
> dann ja noch:
>
> Wenn ich bei [mm]\bruch{m}{m²+n²}[/mm] < 0 + [mm]\varepsilon[/mm] ein m
> beliebig wähle z.B. m=1 dann erhalte ich ja:
> [mm]\bruch{1}{1²+n²}[/mm] < 0 + [mm]\varepsilon[/mm] dann müsste ich es ja
> nach n umformen.
> Dann bekomme ich aber irgendie was merkwürdiges heraus:
> [mm]\wurzel{\bruch{1-\varepsilon}{\varepsilon}}[/mm] < n.
> Bringt mich das dann weiter? Eigtl sollte n doch <
> [mm]\varepsilon[/mm] sein :o
Warum? Du willst zeigen, dass es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein Element aus der Menge gibt, das kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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