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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 27.10.2013 | | Autor: | LisaK |
| Aufgabe | Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge M und prüfe, ob diese Menge ein Minimum oder Maximum besitzt:
[mm] M{nm\(n²+m²):n,m€N}
[/mm]
(außerdem n,m ist nicht 0) |
Ich erkenne den Unterschied zwischen Supremum und Maximum und den Unterschied zwischen Infimum und Minimum nicht. Ich bitte um eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 So 27.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge M und
> prüfe, ob diese Menge ein Minimum oder Maximum besitzt:
> [mm]M{nm\(n²+m²):n,m€N}[/mm]
> (außerdem n,m ist nicht 0)
> Ich erkenne den Unterschied zwischen Supremum und Maximum
> und den Unterschied zwischen Infimum und Minimum nicht. Ich
> bitte um eure Hilfe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
bitte korrigiere deine Formel, so ist sie nicht zu entziffern. Inbesondere darfst du für "hoch 2" nicht die Tastenkombination AltGr+2 verwenden.
Schreibe dafür ^2, sonst ist es für andere nicht lesbar. Und was ist mit dem Backslash gemeint?
Soll das ein verunglücktes "geteilt durch" sein?
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 27.10.2013 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge M und
> prüfe, ob diese Menge ein Minimum oder Maximum besitzt:
> [mm]M{nm\(n²+m²):n,m€N}[/mm]
> (außerdem n,m ist nicht 0)
> Ich erkenne den Unterschied zwischen Supremum und Maximum
> und den Unterschied zwischen Infimum und Minimum nicht. Ich
> bitte um eure Hilfe.
Hallo,
folge genau der Definition.
Das Minimum/Maximum einer Menge ist deren kleinstes/größtes Element (falls ein solches existiert).
Das Infimum ist die größte untere Schranke, das Supremum die kleinste obere Schranke.
Einfaches Beispiel: Sei M die Menge aller Brüche der Form 1/n, also {1/1; 1/2; 1/3;...}
Die kleinste obere Schranke ist 1, und da 1 auch ein Element von M ist, ist sie auch das Maximum.
Die größte untere Schranke von M ist 0 (also ist 0 das Infimum von M.
0 ist aber NICHT das Minimum von M, weil die Zahl 0 gar nicht zur Menge M gehört. M besitzt also ein Infimum, aber kein Minimum.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 28.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Du hast also
[mm] M=\{\bruch{nm}{n^2+m^2}: n,m \in \IN, (n,m) \ne (0,0)\}.
[/mm]
Ich vermute, dass bei Euch [mm] \IN=\{0,1,2,3,... \} [/mm] ist.
1. Überlege Dir, dass $nm [mm] \le \bruch{1}{2}(n^2+m^2)$ [/mm] für n,m [mm] \in \IN [/mm] ist.
2. Folgere aus 1. : [mm] supM=maxM=\bruch{1}{2}
[/mm]
3. Klar dürfte sein: 0 [mm] \le [/mm] x für alle x [mm] \in [/mm] M.
4. Gilt 0 [mm] \in [/mm] M ? Wenn ja, was folgt daraus für InfM/minM ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Mo 28.10.2013 | | Autor: | LisaK |
Es war gegeben, dass die 0 nicht mit in der Menge der natürlichen Zahlen ist.
Also müsste, dann x>0 sein.
0 ist somit dann kein Element von M.
Dann ist InfM=0
und es existiert kein minM, da die 0 nicht in der Menge enthalten ist.
Stimmt das so?
Vielen Dank schonmal für eure zahlreichen Antworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 28.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es war gegeben, dass die 0 nicht mit in der Menge der
> natürlichen Zahlen ist.
O.K.
> Also müsste, dann x>0 sein.
...... für alle x [mm] \in [/mm] M.
> 0 ist somit dann kein Element von M.
> Dann ist InfM=0
Ja
> und es existiert kein minM, da die 0 nicht in der Menge
> enthalten ist.
> Stimmt das so?
Ja, aber den Beweis für InfM=0 bist Du noch schuldig !
FRED
>
> Vielen Dank schonmal für eure zahlreichen Antworten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mo 28.10.2013 | | Autor: | LisaK |
M kann nicht 0 werden, da n,m laut Voraussetzung nicht 0 sein dürfen.
M muss größer 0 sein, da n,m>0 sind und somit weder das Produkt aus nm noch die Addition der beiden Quadrate von n und m kleiner als 0 wird.
Reicht das als Beweis? Ich weiß nicht, wie man das sonst beweisen kann.
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Hallo,
nein: das was du oben schreibst, ist zwar gedanklich ein ganz guter Anfang, reicht aber natürlich nicht als Beweis.
Nimm mal an, das Infimum deiner Menge wäre eine sehr kleine positive Zahl [mm] \epsilon [/mm] und führe diese Annahme zum Widerspruch.
Gruß, Diophant
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