Supremum einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mo 05.09.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob inf(M) und sup(M) für die folgende Menge existieren und bestimmen Sie diese gegenbenenfalls:
M:= [mm] \{ \bruch{n-m}{n+m}; n,m \in \IN \} [/mm] |
Guten Abend,
ich bin hier wie folgt vorgegangen:
Es gilt: -1 [mm] \le \bruch{n-m}{n+m} \le [/mm] 1.
Beh: sup(M) = 1
Bew: Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 beliebig. Wähle n,m [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] < [mm] \bruch{n+m}{2m} [/mm] (Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich dies einfach so angeben darf. Muss ich nicht erst noch zeigen, dass dies möglich ist? Wie macht man sowas?). Dann gilt:
[mm] \bruch{2m}{n+m} [/mm] < [mm] \epsilon \Rightarrow -\bruch{2m}{n+m} [/mm] > - [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] 1 - [mm] \bruch{2m}{n+m} [/mm] > 1 - [mm] \epsilon \Rightarrow \bruch{n-m}{n+m} [/mm] > 1 - [mm] \epsilon. [/mm] Somit wäre sup(M) = 1.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Untersuchen Sie, ob inf(M) und sup(M) für die folgende
> Menge existieren und bestimmen Sie diese gegenbenenfalls:
> M:= [mm]\{ \bruch{n-m}{n+m}; n,m \in \IN \}[/mm]
> Guten Abend,
nabend
>
> ich bin hier wie folgt vorgegangen:
> Es gilt: -1 [mm]\le \bruch{n-m}{n+m} \le[/mm] 1.
Was natürlich auch noch kurz zu zeigen wäre.
> Beh: sup(M) = 1
> Bew: Sei [mm]\epsilon[/mm] >0 beliebig. Wähle n,m [mm]\in \IN,[/mm] so dass
> [mm]\bruch{1}{\epsilon}[/mm] < [mm]\bruch{n+m}{2m}[/mm] (Hier bin ich mir
> nicht sicher, ob ich dies einfach so angeben darf. Muss ich
> nicht erst noch zeigen, dass dies möglich ist? Wie macht
> man sowas?).
Ich würds einfach so machen:
Wähle m = 1
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1}{\epsilon} [/mm] < [mm] \frac{n+1}{2}$
[/mm]
So ein n findet man auf Grund der Unbeschränktheit der natürlichen Zahlen immer.
> Dann gilt:
> [mm]\bruch{2m}{n+m}[/mm] < [mm]\epsilon \Rightarrow -\bruch{2m}{n+m}[/mm] >
> - [mm]\epsilon \Rightarrow[/mm] 1 - [mm]\bruch{2m}{n+m}[/mm] > 1 - [mm]\epsilon \Rightarrow \bruch{n-m}{n+m}[/mm]
> > 1 - [mm]\epsilon.[/mm] Somit wäre sup(M) = 1.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Allgemein würde ich dir raten für die obere Grenze m=1 zu setzen und für die untere Grenze n=1.
Dann hast du zum einen nur noch eine Variable, zum anderen musst du auch nur noch eine der beiden Grenzen überhaupt berechnen (die andere Grenze folgt dann sofort daraus).
Also nochmal kurz und knapp, zeige:
-1 $ [mm] \le \bruch{n-m}{n+m} \le [/mm] $ 1.
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n-1}{n+1} [/mm] = 1$
Und dann sag mir bzw. dem Aufgabensteller warum der Beweis damit abgeschlossen ist. ;)
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Di 06.09.2011 | | Autor: | diab91 |
Ok. Ich habs noch Mal auf ein neues versucht:
Sei o.B.d.A n [mm] \ge [/mm] m. Es gilt: -1 = [mm] \bruch{-n-m}{n+m} \le \bruch{n-m}{n+m} \le \bruch{n+m}{n+m} [/mm] = 1 d.h -1 ist eine untere Schranke von M und 1 ist eine obere Schranke von M.
Zeige: sup(M) = 1
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 beliebig. Wähle m=1. Nach der Archimedischen Anordnung der reellen Zahln [mm] \exists [/mm] n+1 [mm] \in \IN: \bruch{1}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{2}.
[/mm]
Dann gilt: [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{2} \Rightarrow \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] - [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] > - [mm] \epsilon \Rightarrow [/mm] 1 - [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] > 1 - [mm] \epsilon \Rightarrow
[/mm]
[mm] \underbrace{ \bruch{n-1}{n+1}}_{\in M} [/mm] > 1 - [mm] \epsilon. [/mm]
Es gilt also: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] n,m [mm] \in \IN: \bruch{n-m}{m+n} [/mm] > 1 - [mm] \epsilon [/mm] d.h sup(M) = 1. (Per Definition)
Mit dem Infimum geht es dann analog, nur das man dort wie du mir geraten hast n = 1 setzt. Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 06.09.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin diab91
> Ist das so richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sieht gut aus.
(Ich hoffe, ich pfusche Schadowmaster nicht ins Handwerk)
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Di 06.09.2011 | | Autor: | diab91 |
Ich denke er ist dir nicht böse, solltest du das gemacht haben :). Ich danke euch beiden.
|
|
|
|
