Surjektive Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 06.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | | Wie viele surjektive Abbildungen{1,2,3,4}→{a,b,c} gibt es? |
[mm] S_n,k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k!} \summe_{j=0}^{k} [/mm] (-1)^(k-j) [mm] \begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix} j^n
[/mm]
Hallo,
ist diese Aufgabe mit dieser Formel lösbar? Es wären dann ja n=4 und k=3. Mir ist aber nicht klar, wofür j steht.
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Do 06.10.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du auf die Formel kommst ist mir unklar.
aber j ist einfach der Suummationsindex, der keine Bedeutung hat nur dass du nacheinander die zahlen 0 bis k einsetzen musst,
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 06.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Ich habe sie bei Wikipedia gefunden, unter eben Anzahl surjektiver Abbildungen.
Ich habe keine Idee, wie ich die Anzahl sonst rausfinden könnte, ausser durch ausprobieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Do 06.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Ich habe sie bei Wikipedia gefunden, unter eben Anzahl
> surjektiver Abbildungen.
Huhu,
das ist sicherlich nicht die Intention einer solchen Aufgabe :)
> Ich habe keine Idee, wie ich die Anzahl sonst rausfinden
> könnte, ausser durch ausprobieren?
Nun, was heisst denn surjektiv? Dass jedes Element der Wertemenge mindestens einmal von einem Element der Definitionsmenge getroffen wird. Das ist doch ein Problem der Kombinatorik.
Anders gefragt: Wie viele Moeglichkeiten gibt es, auf $a$ abzubilden, wie viele auf $b$ und wie viele auf $c$. Durchmultiplizieren und fertig muesstest du sein :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 06.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Nun, was heisst denn surjektiv? Dass jedes Element der
> Wertemenge mindestens einmal von einem Element der
> Definitionsmenge getroffen wird. Das ist doch ein Problem
> der Kombinatorik.
>
> Anders gefragt: Wie viele Moeglichkeiten gibt es, auf [mm]a[/mm]
> abzubilden, wie viele auf [mm]b[/mm] und wie viele auf [mm]c[/mm].
> Durchmultiplizieren und fertig muesstest du sein :)
Ganz so einfach erscheint es mir nicht.
Auf a abgebildet werden könnten ein oder zwei Elemente der Definitionsmenge. Wie viele Wahlen es dann für b gibt, hängt dann davon ab ob ein oder zwei Elemente der Definitionsmenge auf a abgebildet wurden...
Rettungsvorschlag:
Wir ermitteln zunächst die Anzahl der surjektiven Abbildungen, bei denen a "doppelt getroffen" wird.
Dann ermitteln wir genauso die Anzahl der surjektiven Abbildungen, bei denen b "doppelt getroffen" wird.
Schließlich das gleiche Spiel mit c.
Abschließend addieren wir die drei ermittelten Anzahlen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 06.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Also für a:
1-->a
2-->a
1-->a
3-->a
1-->a
4-->a
2-->a
3-->a
2-->a
4-->a
3-->a
4-->a
So? das wären dann 6 Möglichkeiten für a, aber gäbe es dann nicht auch für b und c jeweils 6 Möglichkeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 06.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Wenn wir dem Vorschlag aus meinem vorigen Post folgen, ist zunächst die Anzahl der surjektiven Abbildungen [mm] $\{1,2,3,4\}\to\{a,b,c\}$ [/mm] zu bestimmen, die $a$ "doppelt treffen".
> Also für a:
>
> 1-->a
> 2-->a
Wenn 1 und 2 auf a abgebildet werden, gibt es folgende Möglichkeiten, eine surjektive Abbildung zu erhalten:
Möglichkeit 1:
3-->b
4-->c
Möglichkeit 2:
3-->c
4-->b
> 1-->a
> 3-->a
>
> 1-->a
> 4-->a
>
> 2-->a
> 3-->a
>
> 2-->a
> 4-->a
>
> 3-->a
> 4-->a
Wie viele Möglichkeiten gibt es jeweils, eine surjektive Abbildung [mm] $\{1,2,3,4\}\to\{a,b,c\}$ [/mm] mit diesen Vorgaben zu erhalten?
> So? das wären dann 6 Möglichkeiten für a,
Es gibt mehr als 6 surjektive Abbildungen [mm] $\{1,2,3,4\}\to\{a,b,c\}$, [/mm] die a "doppelt treffen".
> aber gäbe es
> dann nicht auch für b und c jeweils 6 Möglichkeiten?
Korrekt ist, dass die drei zu bestimmenden Anzahlen übereinstimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:24 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Okay, danke! :)
Also 12 mal 3 Möglichkeiten gesamt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Fr 07.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, danke! :)
> Also 12 mal 3 Möglichkeiten gesamt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
ich habe tatsaechlich noch eine Frage :)
Wie genau ist der Begriff "Abbildung" definiert. Ich habe immer gedacht, dass Abbildung eben nur irgendeine (!) Abbildung zwischen Definitions- und Wertemenge ist, wohingegen eine Funktion dann eine eindeutige Abbildung ist.
Also im gegebenen Fall haette ich gedacht, dass $f(1)=a$ und $f(1)=b$ moeglich waeren, da $f$ nur eine Abbildung, aber keine eindeutige Abbildung (Funktion) darstellt.
Dann gaebe es tatsaechlich mehr Moeglichkeiten fuer eine surjektive Abbildung.
Kann mir da jemand helfen!? :)
Lg,
Chris
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Fr 07.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hi Chris84!
> Wie genau ist der Begriff "Abbildung" definiert. Ich habe
> immer gedacht, dass Abbildung eben nur irgendeine (!)
> Abbildung zwischen Definitions- und Wertemenge ist,
> wohingegen eine Funktion dann eine eindeutige Abbildung
> ist.
>
> Also im gegebenen Fall haette ich gedacht, dass [mm]f(1)=a[/mm] und
> [mm]f(1)=b[/mm] moeglich waeren, da [mm]f[/mm] nur eine Abbildung, aber keine
> eindeutige Abbildung (Funktion) darstellt.
>
> Dann gaebe es tatsaechlich mehr Moeglichkeiten fuer eine
> surjektive Abbildung.
>
> Kann mir da jemand helfen!? :)
Das, was du hier als Abbildung verstehst, bezeichnet man üblicherweise als (zweistellige) Relation.
Die Begriffe Abbildung und Funktion werden üblicherweise synonym gebraucht.
Manche Autoren verwenden den Begriff Funktion auch nur für Abbildungen zwischen bestimmten Mengen, z.B. für Abbildungen [mm] $\IR\to\IR$.
[/mm]
Wenn R eine Relation ist zwischen [mm] $\{1,2,3,4\}$ [/mm] und [mm] $\{a,b,c\}$ [/mm] ist, kann $1Ra$ und $1Rb$ gleichzeitig gelten.
Ist hingegen [mm] $f\colon\{1,2,3,4\}\to\{a,b,c\}$ [/mm] eine Abbildung/Funktion, so kann NICHT gleichzeitig $f(1)=a$ und $f(1)=b$ gelten.
(Ich gehe stillschweigend davon aus, dass $a,b,c$ paarweise verschiedene Elemente der Menge [mm] $\{a,b,c\}$ [/mm] sind.)
Wenn [mm] $f\colon X\to [/mm] Y$ eine Abbildung/Funktion ist, ergibt die Schreibweise $f(x)$ für [mm] $x\in [/mm] X$ nur deshalb Sinn, weil es ein eindeutiges Element [mm] $y\in [/mm] Y$ gibt, auf das f das Element x abbildet, und somit f(x) dieses eindeutige Element bezeichnen kann.
(Sonst träten so Kuriositäten auf wie $f(1)=a$ und $f(1)=b$, obwohl [mm] $a\not=b$...)
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
vielen Dank fuer die Erlaeuterung :)
Falls mir fehlte, war die Synonimitaet von Funktion und Abbildung :)
Gruss,
Chris
|
|
|
|
