Surjektivität, Injektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Fr 11.12.2009 | | Autor: | K0libri |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
a) f1:[mm] \IR -> \IR , x -> x^2[/mm]
b) f2:[mm] \IR -> [0,\infty], x ->x^2[/mm]
c) f3:[mm] \IN -> \IN, n -> n+1 [/mm]
d) f4:[mm]\IZ -> \IZ, n -> n+1[/mm] |
Hallo!
Ich hab Probleme mit der angegbenen Aufgaben!
Bei a) hab ich mir überlegt, dass die Funktion surjektiv sein müssten, da z.B 4, die Urbilder 2, -2 hat.
Zu b) frage ich mich ob die Breichsänderung überhaupt etwa verändert, weil [mm]x^2[/mm] ja immer postiv ist und somit das gleiche wie bei a gilt?!
c)Würde ich sagen ist bijektiv, da jedes n+1 genau ein n Urbild in den natürlichen Zahlen hat
und bei d weiß ich dann gar nicht mehr weiter...
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und mir sagen in wie weit meine Überlegungen überhaupt Sinn machen.
Gruß
K0libri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 11.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Also a) kann nicht surjektiv sein, da nur die positiven Elemente des [mm] IR^2 [/mm] in der Bildmenge liegen
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Hallo K0libri,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Injektivität,
> Surjektivität und Bijektivität:
> a) f1:[mm] \IR -> \IR , x -> x^2[/mm]
> b) f2:[mm] \IR -> [0,\infty], x ->x^2[/mm]
>
> c) f3:[mm] \IN -> \IN, n -> n+1[/mm]
> d) f4:[mm]\IZ -> \IZ, n -> n+1[/mm]
>
> Hallo!
> Ich hab Probleme mit der angegbenen Aufgaben!
> Bei a) hab ich mir überlegt, dass die Funktion surjektiv
> sein müssten, da z.B 4, die Urbilder 2, -2 hat.
Hm, ich glaube du bringst da Surjektivität und Injektivität auf eine merkwürdige Weise durcheinander.
Wir halten fest:
$\ f $ ist injektiv, wenn: $\ [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] $
> a) f1:[mm] \IR -> \IR , x -> x^2[/mm]
Es ist $\ [mm] x_1 [/mm] = 2 [mm] \not= x_2 [/mm] = -2 $ allerdings ist $\ f(2) = f(-2) $
also was folgt daraus?
$\ f $ ist surjektiv, wenn $\ [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ x [mm] \in \IR [/mm] : f(x) = y $
(gesprochen: ...wenn für alle $\ y $ aus $\ [mm] \IR [/mm] $ mindestens ein $\ x $ aus $\ [mm] \IR [/mm] $ so existiert, dass gilt: $\ f(x) = y$ )
Wenn es also ein $\ y [mm] \in \IR [/mm] $ gibt, das kein Urbild hat $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ nicht surjektiv.
Was ist denn mit den negativen Zahlen aus $\ [mm] \IR [/mm] $. Haben die ein Urbild?
> Zu b) frage ich mich ob die Breichsänderung überhaupt
> etwa verändert, weil [mm]x^2[/mm] ja immer postiv ist und somit das
> gleiche wie bei a gilt?!
Ich glaube du meinst das Richtige. Es wird nur auf positive reelle Zahlen abgebildet. In diesem Fall gilt bezüglich Surjektivität und Injektivität das selbe wie in a).
> c)Würde ich sagen ist bijektiv, da jedes n+1 genau ein n
> Urbild in den natürlichen Zahlen hat
Sie ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv.
Warum? Angenommen es gilt $\ 0 [mm] \in \IN [/mm] $.
Dann hat das Bild $\ 0 [mm] \in \IN [/mm] $ kein Urbild, weil :
$\ 0 [mm] \to [/mm] 1 $
$\ 1 [mm] \to [/mm] 2 $
usw.
Das selbe gilt natürlich, wenn $\ 0 [mm] \not\in \IN [/mm] $, dann beginnt das Ganze eben bei der eins ...
$\ 1 [mm] \to [/mm] 2 $
$\ 2 [mm] \to [/mm] 3 $
usw.
Also das erste Element aus der Zielmenge $\ [mm] \IN [/mm] $ hat nie ein Urbild.
$\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ nicht surjektiv $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ nicht bijektiv.
> und bei d weiß ich dann gar nicht mehr weiter...
Diese Funktion ist bijektiv.
Du erreichts durch die Zuordnungsvorschrift jedes Element genau einmal. $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ injektiv + surjektiv $\ [mm] \Rightarrow [/mm] $ bijektiv.
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen und mir sagen in wie weit
> meine Überlegungen überhaupt Sinn machen.
Um sich das alles anschaulich darzustellen, hilft es oft, kleine Diagramme zu zeichnen. Also zwei Mengen und sich dann zu überlegen, wie sieht eine Surjektion, wie eine Injektion und eine Bijektion denn eigentlich aus.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
>
> Gruß
> K0libri
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 13.12.2009 | | Autor: | K0libri |
> Hm, ich glaube du bringst da Surjektivität und
> Injektivität auf eine merkwürdige Weise durcheinander.
>
> Wir halten fest:
>
> [mm]\ f[/mm] ist injektiv, wenn: [mm]\ x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
>
> > a) f1:[mm] \IR -> \IR , x -> x^2[/mm]
>
> Es ist [mm]\ x_1 = 2 \not= x_2 = -2[/mm] allerdings ist [mm]\ f(2) = f(-2)[/mm]
>
> also was folgt daraus?
daraus folgt das Funktion a) nicht injektiv sein kann?! weil [mm]\ x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2)[/mm] nicht gilt.
>
> [mm]\ f[/mm] ist surjektiv, wenn [mm]\ \forall y \in \IR \ \exists \ x \in \IR : f(x) = y[/mm]
> (gesprochen: ...wenn für alle [mm]\ y[/mm] aus [mm]\ \IR[/mm] mindestens ein
> [mm]\ x[/mm] aus [mm]\ \IR[/mm] so existiert, dass gilt: [mm]\ f(x) = y[/mm] )
>
> Wenn es also ein [mm]\ y \in \IR[/mm] gibt, das kein Urbild hat [mm]\ \Rightarrow[/mm]
> nicht surjektiv.
>
> Was ist denn mit den negativen Zahlen aus [mm]\ \IR [/mm]. Haben die
> ein Urbild?
Wenn ich den Begriff des "Urbilds" jetzt richtig verstanden habe dürften sie kein Urbild haben weil [mm]x^2[/mm] nicht negtiv werden kann.
Folgt daraus jetzt, dass die Funktion weder injektiv noch surjektiv ist?
> > Zu b) frage ich mich ob die Breichsänderung überhaupt
> > etwa verändert, weil [mm]x^2[/mm] ja immer postiv ist und somit das
> > gleiche wie bei a gilt?!
>
> Ich glaube du meinst das Richtige. Es wird nur auf positive
> reelle Zahlen abgebildet. In diesem Fall gilt bezüglich
> Surjektivität und Injektivität das selbe wie in a).
>
Funktion b) ist dann surjektiv? Da nur auf postive reele Zahlen abgebildet wird ist ja egal, dass die negativen kein Urbild haben oder?
C) und D) habe ich verstanden :) Vielen dank für die ausführliche Erklärung!
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Hallo,
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> > Hm, ich glaube du bringst da Surjektivität und
> > Injektivität auf eine merkwürdige Weise durcheinander.
> >
> > Wir halten fest:
> >
> > [mm]\ f[/mm] ist injektiv, wenn: [mm]\ x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2)[/mm]
>
> >
> > > a) f1:[mm] \IR -> \IR , x -> x^2[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\ x_1 = 2 \not= x_2 = -2[/mm] allerdings ist [mm]\ f(2) = f(-2)[/mm]
>
> >
> > also was folgt daraus?
>
> daraus folgt das Funktion a) nicht injektiv sein kann?!
> weil [mm]\ x_1 \not= x_2 \Rightarrow f(x_1) \not= f(x_2)[/mm] nicht
> gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> > [mm]\ f[/mm] ist surjektiv, wenn [mm]\ \forall y \in \IR \ \exists \ x \in \IR : f(x) = y[/mm]
> > (gesprochen: ...wenn für alle [mm]\ y[/mm] aus [mm]\ \IR[/mm] mindestens ein
> > [mm]\ x[/mm] aus [mm]\ \IR[/mm] so existiert, dass gilt: [mm]\ f(x) = y[/mm] )
> >
> > Wenn es also ein [mm]\ y \in \IR[/mm] gibt, das kein Urbild hat [mm]\ \Rightarrow[/mm]
> > nicht surjektiv.
> >
> > Was ist denn mit den negativen Zahlen aus [mm]\ \IR [/mm]. Haben die
> > ein Urbild?
>
> Wenn ich den Begriff des "Urbilds" jetzt richtig verstanden
> habe dürften sie kein Urbild haben weil [mm]x^2[/mm] nicht negtiv
> werden kann.
> Folgt daraus jetzt, dass die Funktion weder injektiv noch
> surjektiv ist?
>
>
>
>
> > > Zu b) frage ich mich ob die Breichsänderung überhaupt
> > > etwa verändert, weil [mm]x^2[/mm] ja immer postiv ist und somit das
> > > gleiche wie bei a gilt?!
> >
> > Ich glaube du meinst das Richtige. Es wird nur auf positive
> > reelle Zahlen abgebildet. In diesem Fall gilt bezüglich
> > Surjektivität und Injektivität das selbe wie in a).
> >
>
> Funktion b) ist dann surjektiv? Da nur auf postive reele
> Zahlen abgebildet wird ist ja egal, dass die negativen kein
> Urbild haben oder?
Korrekt. Der Grund, der bei a) noch gegen Surjektivität sprach, ist durch die Einschränkung von $\ [mm] \IR [/mm] $ auf $\ [0; [mm] \infty[ [/mm] $ beseitigt worden und deshalb ist b) nun surjektiv.
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>
> C) und D) habe ich verstanden :) Vielen dank für die
> ausführliche Erklärung!
>
Nichts zu danken 
Grüße
ChopSuey
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