Sylogruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 01.11.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | | Bestimme alle Sylowgruppen für G = [mm] S_3 [/mm] |
Die Ordnung von [mm] S_3 [/mm] ist ja 3*2.
Sei nun H [mm] \subseteq [/mm] G eine 2-Sylogruppe.
Aus den Sylosätzen folgt, die Ordnung von H ist 2. Aussderem existieren entweder 1 oder 3 2-Sylogruppen.
[mm] H_1 [/mm] = {(1 2) , e}
[mm] H_2 [/mm] = {(1 3) , e}
[mm] H_3 [/mm] = {(2 3) , e}
Das wären also die 2-Sylogruppen.
Stimmt das?
Sei nun H' [mm] \subseteq [/mm] G eine 3-Sylogruppe.
Wieder mit den Sylosätzen folgt, die Ordnung von H' ist 3 und es exsitiert nur eine 3-Sylogruppe.
Doch dies finde ich komisch. Es gibt doch sicher noch mehr Untergruppen von G mit 3 Elementen, oder?
In diesem Fall hier, sind doch die 3-Sylogruppen einfach Untergruppen von G mit 3 Elementen? Oder habe ich was total falsch verstanden?
Eine 3-Sylogruppe wäre z.B. {(1 2) , (3 2 1), e}.
Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimme alle Sylowgruppen für G = [mm]S_3[/mm]
> Die Ordnung von [mm]S_3[/mm] ist ja 3*2.
>
> Sei nun H [mm]\subseteq[/mm] G eine 2-Sylogruppe.
>
> Aus den Sylosätzen folgt, die Ordnung von H ist 2.
> Aussderem existieren entweder 1 oder 3 2-Sylogruppen.
>
> [mm]H_1[/mm] = {(1 2) , e}
>
> [mm]H_2[/mm] = {(1 3) , e}
>
> [mm]H_3[/mm] = {(2 3) , e}
>
> Das wären also die 2-Sylogruppen.
> Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei nun H' [mm]\subseteq[/mm] G eine 3-Sylogruppe.
> Wieder mit den Sylosätzen folgt, die Ordnung von H' ist 3
> und es exsitiert nur eine 3-Sylogruppe.
> Doch dies finde ich komisch. Es gibt doch sicher noch mehr
> Untergruppen von G mit 3 Elementen, oder?
Nein, es gibt genau eine. Schreib doch alle 6 Elemente von [mm] $S_3$ [/mm] auf und zaehl nach: es gibt ein Element der Ordnung 1, drei der Ordnung 2, das macht schonmal vier Elemente. Nun hat [mm] $S_3$ [/mm] genau sechs Elemente, womit zwei der Ordnung 3 uebrigbleiben.
> In diesem Fall hier, sind doch die 3-Sylogruppen einfach
> Untergruppen von G mit 3 Elementen? Oder habe ich was total
> falsch verstanden?
>
> Eine 3-Sylogruppe wäre z.B. {(1 2) , (3 2 1), e}.
Das Element $(1 2)$ hat Ordnung 2 und liegt somit sicher nicht in der 3-Sylow-UG.
> Wo habe ich denn einen Fehler gemacht?
Kann es sein, dass du nicht beachtest, dass nicht jede Teilmenge eine Untergruppe ist.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 01.11.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> > Eine 3-Sylogruppe wäre z.B. {(1 2) , (3 2 1), e}.
>
> Das Element [mm](1 2)[/mm] hat Ordnung 2 und liegt somit sicher
> nicht in der 3-Sylow-UG.
Sorry, habe mich verschrieben. Wollte eigentlich {(123),(321),e} hinschreiben. So sollte es doch stimmen, oder?
Nun habe ich noch eine andere Frage:
Wei finde ich die Sylogruppen von [mm] A_4 [/mm] heraus?
Also [mm] A_4 [/mm] hat die Ordnung 12= [mm] 2^2*3.
[/mm]
Sei [mm] H\subseteqG [/mm] eine 2-Sylowgruppe. Die Ordnung ist 4 und es gibt entweder eine oder drei 2-Sylowgruppen.
[mm] H_1 [/mm] = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
Doch wie finde ich nun heraus, ob es noch mehrere gibt?
Die Ordnung der 3-Sylowgruppen ist 3. Es gibt entweder eine oder vier. Wie kann ich denn diese ausfindig machen?
|
|
|
| |
|
Hallo
Bei mir kommt dieses Thema erst nächste Woche dran, darum möchte ich hier erwähnen: Antwort ohne Gewähr!
> Nun habe ich noch eine andere Frage:
> Wei finde ich die Sylogruppen von [mm]A_4[/mm] heraus?
>
> Also [mm]A_4[/mm] hat die Ordnung 12= [mm]2^2*3.[/mm]
>
> Sei [mm]H\subseteqG[/mm] eine 2-Sylowgruppe. Die Ordnung ist 4 und
> es gibt entweder eine oder drei 2-Sylowgruppen.
>
> [mm]H_1[/mm] = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
> Doch wie finde ich nun heraus, ob es noch mehrere gibt?
Nun, was für Elemente könnten für eine solche Untergruppe in Frage kommen? (Ich denke hier an Lagrange..). Findest du exakt 2 weitere Sylowgruppen?
>
> Die Ordnung der 3-Sylowgruppen ist 3. Es gibt entweder eine
> oder vier. Wie kann ich denn diese ausfindig machen?
Nun, es kommen nicht sehr viele Elemente in Frage, die du hier verwenden kannst.. die Elemente, die du rein nimmst, haben entweder Ordnung 1 oder 3.. Wieviele Elemente der Ordnung 3 findest du in [mm] A_{4}? [/mm] Wieviele Untergruppen kannst du damit basteln? :)
Ich hoffe, du kannst was damit anfangen.. :)
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 01.11.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo,
> Nein, es gibt genau eine. Schreib doch alle 6 Elemente von
> [mm]S_3[/mm] auf und zaehl nach: es gibt ein Element der Ordnung 1,
> drei der Ordnung 2, das macht schonmal vier Elemente. Nun
> hat [mm]S_3[/mm] genau sechs Elemente, womit zwei der Ordnung 3
> uebrigbleiben.
Etwas habe ich aber doch noch nicht ganz verstanden.
Du sagst, da es nur zwei Elemente der Ordung 3 gibt, die Untergruppe {e, (123) , (321)} die einizige der Ordnung 3 ist.
Aber weshalb können dann nicht auch Elemente mit Ordnung 2 in einer Untergruppe der Ordnung 3 vorkommen?
Oder mache ich nun gerade ein totales durcheinander?
|
|
|
| |
|
Hallo
> Aber weshalb können dann nicht auch Elemente mit Ordnung
> 2 in einer Untergruppe der Ordnung 3 vorkommen?
> Oder mache ich nun gerade ein totales durcheinander?
Nach Lagrange! Die Ordnung eines Elements teilt immer die Gruppenordnung! Und da 2 kein Teiler von 3 ist... ;)
Grüsse, Amaro
|
|
|
|
