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| Aufgabe | | Es gibt bis auf Isomorphie eine nicht-kommutative Gruppe $G$ der Ordnung 55. Wie viele Elemente von $G$ haben jeweils Ordnung 5 und 11? Wie viele 5-Sylowuntergruppen gibt es? |
Hallo,
ich habe ein Problem diese Aufgabe vollständig zu lösen. Mit dem Satz von Sylow erhält man natürlich, dass es entweder eine oder 11 5-Sylowuntergruppen geben kann. Und es gibt nur eine 11-Sylowuntergruppe. Dann kann es nur 10 Elemente der Ordnung 11 geben (das Einselement hat ja die Ordnung 1).
Irgendwie muss man aus der Nichtkommutativität erhalten, wieviel Elemente der Ordnung 5 es geben kann und wie viele 5-Sylowuntergruppen es gibt. Kann mir jemand weiterhelfen?
Mfg, nick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Do 03.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo nick
> Es gibt bis auf Isomorphie eine nicht-kommutative Gruppe [mm]G[/mm]
> der Ordnung 55. Wie viele Elemente von [mm]G[/mm] haben jeweils
> Ordnung 5 und 11? Wie viele 5-Sylowuntergruppen gibt es?
>
> ich habe ein Problem diese Aufgabe vollständig zu lösen.
> Mit dem Satz von Sylow erhält man natürlich, dass es
> entweder eine oder 11 5-Sylowuntergruppen geben kann. Und
> es gibt nur eine 11-Sylowuntergruppe. Dann kann es nur 10
> Elemente der Ordnung 11 geben (das Einselement hat ja die
> Ordnung 1).
Ok soweit.
> Irgendwie muss man aus der Nichtkommutativität erhalten,
> wieviel Elemente der Ordnung 5 es geben kann und wie viele
> 5-Sylowuntergruppen es gibt. Kann mir jemand weiterhelfen?
Ja. Wenn es nur eine 5-Sylow-UG gaebe, dann waere $G$ isomorph zu [mm] $\IZ/5\IZ \times \IZ/11\IZ \cong \IZ/55\IZ$, [/mm] also zyklisch und somit kommutativ. (Ein solches Resultat hattet ihr sicher schonmal: du hast hier zwei Normalteiler -- naemlich die Sylow-UGen -- deren Schnitt das Neutralelement ist und deren Produkt die ganze Gruppe ist.)
Wenn du jetzt zwei 5-Sylow-UGen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] nimmst, wie kann [mm] $U_1 \cap U_2$ [/mm] aussehen? (Das kannst du genau angeben.) Daraus ergibt sich etwas ueber die Anzahl der Elemente der Ordnung 5.
Andernfalls kannst du auch einfach ueberlegen, was fuer Ordnungen ueberhaupt auftreten koennen (Lagrange) und welche davon wiederum nicht (kann 55 auftreten?). Aus den Informationen, die du schon hast, kannst du sofort die Anzahl der Elemente von Ordnung 5 ablesen. (Dann brauchst du nichtmals drueber nachdenken wieviele 5-Sylow-UG es gibt. Wobei das auch eine gute Uebung ist, also tu das ruhig auch mal :) )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Do 03.04.2008 | | Autor: | nick_twisp |
Hallo Felix,
danke für die (sehr hilfreiche) Antwort. Ja, den Satz mit den Normalteilern kenne ich. Ich war mir bisher nur nicht der Nützlichkeit dieses Satzes bewusst.
Schön, dann kriegt man also raus, dass es 11 unterschiedliche 5-Sylowgruppen [mm] $U_1$, $U_2$ [/mm] , ..., [mm] $U_{11} \subset [/mm] G$ gibt (weil sonst Widerspruch zur Nicht-Kommutativität der Gruppe). Da die Gruppenordnungen prim, handelt es sich um zyklische Gruppen.
Der Schnitt von zwei verschiedenen 5-Sylow-Gruppen kann daher nur das Einselement sein, d.h. es gibt 44 Elemente der Ordnung 5.
Alternativ kann man sich überlegen, dass es kein Element der Ordnung $55$ geben kann, da $G$ sonst zyklisch wäre und damit kommutativ. Wenn man also von den 55 Elementen die 10 Elemente der Ordnung 11 und das Einselement abzieht, kommt man auch hier auf 44 Elemente der Ordnung 5. Ich hoffe das war es, worauf du mich hinstoßen wolltest. Danke, ich denke der Knoten ist geplatzt.
VG, Nick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 03.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Nick
> danke für die (sehr hilfreiche) Antwort. Ja, den Satz mit
> den Normalteilern kenne ich. Ich war mir bisher nur nicht
> der Nützlichkeit dieses Satzes bewusst.
Ja, er wirkt ja erst relativ unscheinbar, aber an solchen Beispielen sieht man dann wie praktisch er ist :)
> Schön, dann kriegt man also raus, dass es 11
> unterschiedliche 5-Sylowgruppen [mm]U_1[/mm], [mm]U_2[/mm] , ..., [mm]U_{11} \subset G[/mm]
> gibt (weil sonst Widerspruch zur Nicht-Kommutativität der
> Gruppe). Da die Gruppenordnungen prim, handelt es sich um
> zyklische Gruppen.
> Der Schnitt von zwei verschiedenen 5-Sylow-Gruppen kann
> daher nur das Einselement sein, d.h. es gibt 44 Elemente
> der Ordnung 5.
Genau.
> Alternativ kann man sich überlegen, dass es kein Element
> der Ordnung [mm]55[/mm] geben kann, da [mm]G[/mm] sonst zyklisch wäre und
> damit kommutativ. Wenn man also von den 55 Elementen die 10
> Elemente der Ordnung 11 und das Einselement abzieht, kommt
> man auch hier auf 44 Elemente der Ordnung 5. Ich hoffe das
> war es, worauf du mich hinstoßen wolltest. Danke, ich denke
> der Knoten ist geplatzt.
Exakt :)
LG Felix
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