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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 02.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Funktionen in ihren maximalen Definitionsbereichen in Bezug auf ihr Symmetreiverhalten + (andere Verhalten, die aber leicht sind)
a) f(x)=-7/(-x-4) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich denke mal, dass wir die Funktion auf zwei Symmetrien untersuchen sollen:
1. Achsensymmetrie
2. Punktsymmetrie.
1. Achsensymmetrie
--> Ich habe aus Wikipedia folgenden Lösung:
f(2a-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] f(x)
a ist ja die Funktion x=a --> Will ich also die S. an der Fkt. x=-4 überprüfen setze ich a=-4!
Frage 1: Wo macht es überhaupt Sinn die Achsensymmetrie zu überprüfen? An der Stelle, wo die Fkt. nicht steig ist, Minimum, Maximum, Wendepunkt ist...?
Frage 2: Wie kommen die Überhaupt auf den Beweis?
2. Punktsymmetreie
--> Ich habe aus Wikipedia erneut folgenden Lösung:
f(2a-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] 2b - f(x)
a und b sind die Werte des Punktes P(a/b), wo die Symmetrie überprüft werden soll.
Fast die selben Fragen:
Frage 1: Wo macht es überhaupt Sinn die Punktsymmetrie zu überprüfen?
Frage 2: Wie kommen die Überhaupt auf den Beweis?
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Nunja, die Achsensymmetrie im Ursprung ist doch definiert als f(x)=f(-x). Das sollte klar sein, oder?
Jetzt stell dir vor, die Funktion hat die Symmentrieachse beim x-Wert a. Man kann die Funktion nun auf der x-Achse so verschieben, daß die Symmetrieachse wieder auf dem Ursprung liegt. Das macht man, indem man überall statt x einfach (x-a) einsetzt. Probier es aus, das funktioniert!
Eingesetzt ergibt das:
f(x-a)=f(-(x-a))
oder
f(x-a)=f(-x+a)
Da diese Gleichung nun überall gelten soll, kann man auf beide Seiten in das Funktionsargment beliebige Zahlen mit reinschreiben, beispielsweise auch nochmal a:
f(x-a+a)=f(-x+a+a)
f(x)=f(-x+2a)
Eigentlich genu man nun so vor, daß man eine Gleichung aufstellt, also so:
[mm] -\bruch{7}{x-4}=+\bruch{7}{-x+2a-4}
[/mm]
Jetzt schaut man, ob man daraus a so bestimmen kann, daß es für alle x konstant ist. Du wirst sehen, das geht NICHT.
Bei der Punktsymmetrie geht es genauso: Hier gilt für den Ursprung f(x)=-f(-x)
verschoben auf der x-Achse:
f(x)=-f(-x+2a)
und verschoben in y-Richtung:
f(x)-b=-(f(-x+2a)-b)
f(x)-b=b-f(-x+2a)
f(x)=2b-f(-x+2a)
Auch hier kannst du die gegebene Formel einsetzen:
[mm] $-\bruch{7}{x-4}=2b+-\bruch{7}{-x+2a-4}$
[/mm]
Diesmal solltest du feststellen, daß das für alle x gilt, wenn b=0 und a=+4.
Demnach herrscht Punktsymmetrie bei (+4|0).
Allerdings, mußt du das wirklich machen? Ich kenn das nur so, daß man das ganze nur im Ursprung bzw an der y-Achse untersuchen muß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Genial....sehr sehr gut erklärt.....
Habe mich mit der Funktion da wohl etwas falsch ausgedrückt...ich meinte: [mm] f(x)=\bruch{-7}{-x-4}
[/mm]
Also ich Probiere mal:
Achsensymmetrie
f(x)=f(-x+2a)
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4} [/mm]
--> Somit wäre die linke Seite niemals gleich der rechten Seite und somit ist die Funktin niemals Achsensymmetrisch.
Punktsymmetrie
f(x)=2b-f(-x+2a)
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4}
[/mm]
--> Auch hier geht es doch nicht oder?
Also ist die Funktion weder Achsen- noch Punktsymmetreisch...wenn ich sie mir zeichne, sieht das aber ganz anders aus...:(
Sie scheint dort(bei Derive) an der Stelle -4 Achsensymmetrisch zu sein, und niemals Punktsymmetrisch...was meint ihr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 03.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Genial....sehr sehr gut erklärt.....
> Habe mich mit der Funktion da wohl etwas falsch
> ausgedrückt...ich meinte: [mm]f(x)=\bruch{-7}{-x-4}[/mm]
> Also ich Probiere mal:
>
> Achsensymmetrie
> f(x)=f(-x+2a)
> [mm]\bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4}[/mm]
>
> --> Somit wäre die linke Seite niemals gleich der rechten
> Seite und somit ist die Funktin niemals Achsensymmetrisch.
>
> Punktsymmetrie
> f(x)=2b-f(-x+2a)
> [mm]\bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4}[/mm]
>
> --> Auch hier geht es doch nicht oder?
> Also ist die Funktion weder Achsen- noch
> Punktsymmetreisch...wenn ich sie mir zeichne, sieht das
> aber ganz anders aus...:(
> Sie scheint dort(bei Derive) an der Stelle -4
> Achsensymmetrisch zu sein, und niemals
> Punktsymmetrisch...was meint ihr?
>
>
>
>
Hallo
Zuerst mal: f(x) ist nicht achsensymmetrisch.
Am einfachsten siehst du, ob Symmetrie vorhanden ist, wenn du den Term nach a auflöst, und dann schaust, ob a von x abhängig ist. Ist das nicht der Fall, ist der Graph zu x=a symmetrisch.
Also
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=\bruch{-7}{x-2a-4}
[/mm]
[mm] \gdw(-7)(x-2a-4)=(-7)(-x-4)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x-2a-4=-x-4
[mm] \gdw [/mm] a=x, und damit ist die Funktion auch nicht achsensymmetrisch
Prüfen wir mal die Punktsymmetrie
[mm] \bruch{-7}{-x-4}=2b-\bruch{-7}{x-2a-4}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7}{-x-4}+\bruch{-7}{x-2a-4}=2b
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7(x-2a-4)-7(-x-4)}{(-x-4)(x-2a-4)}=2b
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-7x+14a+28+7x-28}{(-x-4)(x-2a-4)}=2b
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{14a+28}{(-x²+2ax+4x-4x+8a+16}=2b
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 14a+28=-2bx²+4ax+16a+32
[mm] \gdw [/mm] -2a-4ax=-2bx²+4
[mm] \gdw [/mm] a(1+2x)=bx²-2
Auch hier fällt x nicht komplett weg, so dass der Graph auch nicht Punktsymmetrisch ist.
Ich hoffe, dass ich jetzt keine Dreher und Rechenfehler gemacht habe
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Warum bleibt bei dir in der 5 Zeile noch die +28 stehe? die müsste wegfallen oder?
Und das ist eine sehr gut Möglichkeit einfach auf a aufzulösen...
Aber nochmal, wenn ich den Grapf zeichne, paaasiert doch irgentetwas bei -4! Dort kann man sie doch Spiegeln, müsse sie dann nicht bei a=-4 Achsensymmetrisch sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 03.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Warum bleibt bei dir in der 5 Zeile noch die +28 stehe? die
> müsste wegfallen oder?
Stimmt, hab ich übersehen.
> Und das ist eine sehr gut Möglichkeit einfach auf a
> aufzulösen...
> Aber nochmal, wenn ich den Grapf zeichne, paaasiert doch
> irgentetwas bei -4! Dort kann man sie doch Spiegeln, müsse
> sie dann nicht bei a=-4 Achsensymmetrisch sein?
Ja, der Graph ist punktsymmetrisch zu P(0/-4)
Es gilt, wie Informix schon sagt:
[mm] \frac{7}{x+4} [/mm] = 0 - [mm] \frac{7}{-x-8+4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] -\frac{7}{-x-4} \gdw \frac{7}{x+4} [/mm] = [mm] \frac{7}{x+4}
[/mm]
Und das zeigt die Punktsymmetrie
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Das war der letzte Schritt zum Verstehen....
Aber noch zwei allgemeine Fragen:
1. Polstelle ist das selbe wie die Polysymptote?
2. Wie bekomme ich die Polstelle heraus? Da wo die Definitionlücke ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Fr 03.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Das war der letzte Schritt zum Verstehen....
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> Aber noch zwei allgemeine Fragen:
> 1. Polstelle ist das selbe wie die Polysymptote?
Yep
> 2. Wie bekomme ich die Polstelle heraus? Da wo die
> Definitionlücke ist?
Die Polstelle ist die Nullstelle des Nenners, also die Definitionslücke.
In seltenen Fällen hast du sogenannte hebbare Definitionslücken, dann hast du keine Polstelle
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Also zum Beispiel:
[mm] f(x)=\bruch{5x}{3x} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 03.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Also zum Beispiel:
>
> [mm]f(x)=\bruch{5x}{3x}[/mm]
yep, du kannst die hebbare Definitionslücke ja durch Kürzen beheben
Also
[mm] \bruch{5\not{x}}{3\not{x}}=\bruch{5}{3}
[/mm]
Ein anderes Beispiel:
[mm] f(x)=\bruch{6x²(x-1)}{3x(x-1)}=2x
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Und wiedereinmal hat mir der Matheraum geholfe...vielen Dank an alle....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Dunbi |
Ist denn jede Polstelle Symmetrisch?
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Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dunbi,
> Ist denn jede Polstelle Symmetrisch?
nein, denn nicht die Polstellen sind symmetrisch, sondern eventuell ist der Graph einer Funktion symmetrisch:
1. zu Polgeraden --> achsensymmetrisch
2. zu einem Punkt auf der Polgeraden --> punktsymmetrisch.
f(x)=\frac{1}{x^2} ist achsensymmetrisch zur y-Achse=Polgerade
f(x)=\frac{1}{(x-2)^2} ist achsensymmetrisch zur Gerade x=2 =Polgerade
es gibt aber auch unsymmetrische rationale Funktionen!
$f(x)=\frac{x-4}{x^2}$ teste mal mit $f(-x)= \begin {cases} f(x) & \mbox{ achsensymm.}, \\ -f(x) & \mbox{ punktsymm.} \end {cases}$
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Ich habe den Artikel korrigiert.
Danke informix
Marius
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