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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 31.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Wenn [mm] M\inM(n\times n,\IK), [/mm] dann gibt es eindeutig bestimmte Matrizen [mm] S,A\in M(n\times n,\IK) [/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
- [mm] \cdot^tS=S,d.h. [/mm] S ist symmetrisch
- [mm] \cdot^tA=-A, [/mm] d.h. A ist schiefsymmetrisch
- M=S+A |
Was soll ich denn hiermit anfangen? Ich gehe mal davon aus, dass ich eindeutig bestimmte Matrizen finden soll, die alle drei Eigendschaften zusammen erfüllen, oder?
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> Zeigen Sie: Wenn [mm]M\inM(n\times n,\IK),[/mm] dann gibt es
> eindeutig bestimmte Matrizen [mm]S,A\in M(n\times n,\IK)[/mm] mit
> den folgenden Eigenschaften:
> - [mm]\cdot^tS=S,d.h.[/mm] S ist symmetrisch
> - [mm]\cdot^tA=-A,[/mm] d.h. A ist schiefsymmetrisch
> - M=S+A
> Was soll ich denn hiermit anfangen? Ich gehe mal davon
> aus, dass ich eindeutig bestimmte Matrizen finden soll, die
> alle drei Eigendschaften zusammen erfüllen, oder?
Hallo,
zeigen sollst Du, daß Du jede quadratische Matrix als Summe eine symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen kannst, und zwar eindeutig.
Ist Dir klar, wie schiefsymmetrische Matrizen aussehen? Was haben die auf der Hauptdiagonalen?
Damit kennst Du schonmal die Hauptdiagonale der symmetrischen Matrix...
Es lohnt sich auch, über folgendes nachzudenken: wenn C eine quadratische Matrix ist, welche Eigenschaft hat dann die Matrix [mm] (C+C^{T}) [/mm] und welche die Matrix [mm] (C-C^{T}) [/mm] ?
Das soll als Tip erstmal reichen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Di 01.01.2008 | | Autor: | side |
die schief-symmetrische Matrix hat in der Diagonalen nur Nullen. Daher muss die Symetrische Matrix ja in der Diagonalen die gleichen Einträge haben wie die Matrix M.
zu deinem tip: Ich würde sagen, [mm] C+C^T [/mm] ist immer symmetrisch, [mm] C-C^T [/mm] ist immer schief symmetrisch, stimmts?
Also könnte ich sagen:
[mm] M=\bruch{(M+M^T)+(M-M^T)}{2}=\bruch{2M}{2}=M
[/mm]
Damit habe ich [mm] S=\bruch{M+M^T}{2} [/mm] und [mm] A=\bruch{M-M^T}{2} [/mm] Als eine Symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix, die in Summe M ergeben und somit habe ich die existenz bewiesen, stimmts?
Wie siehts dann mit der Eindeutigkeit aus?
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> Damit habe ich [mm]S=\bruch{M+M^T}{2}[/mm] und [mm]A=\bruch{M-M^T}{2}[/mm]
> Als eine Symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix,
> die in Summe M ergeben und somit habe ich die existenz
> bewiesen, stimmts?
Ja.
> Wie siehts dann mit der Eindeutigkeit aus?
Die ist noch zu zeigen.
Überleg Dir, daß die Summe symmetrischer Matrizen symmetrisch ist und die schiefsymmetrischer schiefsymmetrisch.
Nimm an, daß es zwei Zerlegungen M=S+A=S'+A' gibt, und zieh hieraus Deine Schlüsse.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Damn88 |
hey, ich habe die selbe aufgabe und würde gerne wissen ob meine lösung auch geht.
ich hab allgemein M, S und A aufgeschrieben, also zB:
M [mm] =\pmat{a_{11}&a_{12} &...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2} &...&a_{nn} }
[/mm]
und dann habe ich ein gleichungssystem aufgestellt
zB:
[mm] a_{12}=s_{12}+x_{12}
[/mm]
und [mm] a_{21} [/mm] = [mm] s_{12}-x_{12}
[/mm]
und dann habe ich das gleichungssystem gelöst
und rausbekommen dass
[mm] S=\pmat{ a_{11} &0,5a_{12}+0,5a_{21}&...&0,5a_{1n}+0,5a_{n1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0,5a_{1n}+0,5a_{n1} & 0,5a_{2n}+0,5a_{n2}&...&a_{nn} }
[/mm]
und für A halt auch eine :>
da das LGS eindeutig lösbar ist, ist somit doch auch die eindeutigkeit gezeigt oder nicht?
oder ist dieser Lösungsweg allgemein nicht so gut weil so viele Einträge in den Matrizen nicht wirklich berechnet werden? aber eigentlich ist es ja überall das selbe mh
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> ich hab allgemein M, S und A aufgeschrieben,
> und dann habe ich ein gleichungssystem aufgestellt
Hallo,
ja klar, so kannst Du das machen!
Man hat ein LGS mit [mm] n^2 [/mm] Gleichungen und [mm] n^2 [/mm] Variablen, welches zu lösen ist.
Gruß v. Angela
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