Symmetrie Fourie-Koeffizienten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Moin
ich hab da sone Aufgabe vor mir und irgendwie ahn ich das Prinzip noch nicht
Die Aufgabe:
Es sei [mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx))
[/mm]
eine in ganz R gleichmäßig konvergente trigonometrische Reihe.Wie wirken sich die folgenden Symmetrie-Eigenschaft von f(x) auf die Fourier-Koeffizienten
[mm] a_{n},b_{n} [/mm] aus?
Für alle x [mm] \in [/mm] R gelte f(x)=
a) [mm] f(\pi-x) [/mm] b) [mm] -f(\pi-x) [/mm] c) [mm] f(\pi+x) [/mm] d) [mm] f(\bruch{\pi}{2}+x)
[/mm]
Wie gesagt, ich ahn nicht nach welchem Prinzip ich das transformieren soll und wäre für jeden Ansatz sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 05.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
könntest Du deinen mathem. Backround etwas ordentlicher angeben, denn sonst müssten wir hier evtl. mehr erklären als nötig.
Ich will dir mal einige hinreichende Ideen geben:
wenn du die Sinus und Cosinus betrachtest, für welche der beiden gilt:
$ [mm] f(x)=f(\pi [/mm] -x) $ ?(Einfach mal die Graphen malen)
wenn du also NUR dessen Koeffizienten hast, also die Koeffizienten der anderen Funktion auf 0 setzt - gilt dann die Bedingung?
[Ich weiß nicht recht, ob man schnell auch die Notwendigkeit dessen einsieht: angenommen du hättest eine linearKombi daraus, dann wähle man x geschickt, dass die Bedingungen von a) usw. verletzt sind...]
Kommst du damit weiter?
viele Grüße
DaMenge
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Hi, Ich hab leider nicht verstanden, wie man es genau lösen muss.
wenn [mm] f(\pi-x),dann [/mm] gilt für sin und cos:
[mm] \sin(\pi-x)=\sin(x) [/mm] und [mm] \cos(\pi-x)=-\cos(x)
[/mm]
Welche auswirkung hat das denn auf:
[mm] a_{n}= \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi} {f(x)\cos(nx) dx}=??? [/mm]
[mm] b_{n}= \bruch{1}{\pi} \integral_{0}^{2\pi} {f(x)\sin(nx) dx}=??? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 05.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich bespreche mal nur die a) als Beispiel..
wir du schon festgestellt hast, gilt für den Sinus die gewünschte Eigenschaft. Betrachte dann die Formel:
$ [mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)) [/mm] $
setze alle [mm] a_n [/mm] =0, dann ist ja nur noch der Sinus Teil relevant - also : gilt dann die gewünschte Eigenschaft von a) ?
(dies ist bisher nur hinreichend)
Für die Notwendigkeit, die ich bisher aber auch noch nicht überprüft habe, setze man mal so an: angenommen ein [mm] a_i [/mm] sei nicht 0 , setze einmal x und einmal $ [mm] (\pi [/mm] -x) $ ein und setze dies gleich - es dürfte sich Vieles wegkürzen lassen und zum Schluss bleibt etwas stehen - nämlich irgendwas mit dem Cosinus - wo man sieht, dass die angegebene Bedingung nicht erfüllt ist.
Aber wie gesagt : schreibt bitte erstmal eure Versuche hier hin.
viele Grüße
DaMenge
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Wir haben also: [mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)),
[/mm]
wegen [mm] \sin(\pi-x)=\sin(x), \cos(\pi-x)=-\cos(x):
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))
[/mm]
[mm] f(\pi-x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(n(\pi-x))+b_{n}\sin(n(\pi-x)),
[/mm]
[mm] f(x)=f(\pi-x):
[/mm]
[mm] \bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(n(\pi-x))+b_{n}\sin(n(\pi-x)) \gdw
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}(-\cos(n(x)))+b_{n}\sin(nx) \gdw
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx))=-\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)) \gdw [/mm] und was weiter, man kommt zum widerspruch!!! wie soll man weiter begründen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Mo 06.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
gleichmal vorweg : ich kenne die Lösung auch noch nicht, ich habe bisher nur versucht einen Ansatz zu liefern - ich werde mir aber heut abend mal darum Gedanken machen (ich hoffe immer insgeheim auf eine Zusammenarbeit  )
noch was zu deiner bisherigen Vorgehensweise:
> Wir haben also:
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)),[/mm]
> wegen [mm]\sin(\pi-x)=\sin(x), \cos(\pi-x)=-\cos(x):[/mm]
>
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))[/mm]
>
> [mm]f(\pi-x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(n(\pi-x))+b_{n}\sin(n(\pi-x)),[/mm]
> [mm]f(x)=f(\pi-x):[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(n(\pi-x))+b_{n}\sin(n(\pi-x)) \gdw[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}(-\cos(n(x)))+b_{n}\sin(nx) \gdw[/mm]
Vorsicht es gilt nicht ohne weiteres [mm] $\sin(n(\pi-x))=\sin(nx)$
[/mm]
es gilt viel mehr sofort: [mm] $\sin(\pi-nx)=\sin(nx)$
[/mm]
Die obige Gleichung gilt natürlich sofort auch für alle geraden n, aber was ist mit den ungeraden?
Ich denke hier muss man nochmal drüber nachdenken - oder übersehe ich jetzt etwas?
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx))=-\summe_{i=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)) \gdw[/mm]
> und was weiter, man kommt zum widerspruch!!! wie soll man
> weiter begründen???
Also ich würde mal die beiden Seite zur einer machen und so weit wie möglich zusammenfassen - das dumme ist jetzt natürlich, dass eine Summe Null sein muss - aber weißt du schon, dass du das linear unabhängige Funktionen hast? Was würde das dann bedeuten ?
viele Grüße
DaMenge
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