Symmetrie einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion f zum Punkt P symmetrisch ist.
f(x) = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + x zum Punkt P(-0,5|0) |
Ich habe mich nun schon länger mit dieser Aufgabe beschäftigt, schaffe diese aber nicht zu lösen. Ich bitte euch um Tipps.
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Hallo!
Sicher weißt du, wie man die Symmetrie zum Ursprung zeigt.
Du könntest also die Funktion so auf der x-Achse nach rechts verschieben, daß dieser Punkt im Ursprung landet.
Das funktioniert, indem man [mm] x\mapsto(x-a) [/mm] ersetzt, also hier [mm] x\mapsto(x+0,5)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
Im Heft habe ich aber g(x) = f(x -0,5) aufgeschrieben. Was ist denn nun richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 05.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast eine Funktion, die zu m Punkt P(-0,5/0) symmetrisch ist, was du zeigen musst.
Die dazu gehörige Formel findest du hier.
Es muss also gelten:
f(a+x)+f(a-x)=2*b
das wäre hier dann
f(-0,5+x)+f(-0,5-x)=2*0
[mm] \gdw [/mm] f(-0,5+x)+f(-0,5-x)=0
Also mit deiner Funktion [mm] f(x)=2x^3+3x^2+x
[/mm]
[mm] \overbrace{2(-0,5+x)^{3}+3(-0,5+x)^{2}+(-0,5+x)}^{f(-0,5+x)}+\overbrace{2(-0,5-x)^{3}+3(-0,5-x)^{2}+(-0,5-x)}^{f(-0,5-x)}=0
[/mm]
Jetzt teste mal, ob diese Gleichung gilt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
O.K. Jetzt habe ich es kappiert. Gibt es einen Tipp, wie man das am besten auflöst z.B. mit dem Paskalschen Dreieck?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 05.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> O.K. Jetzt habe ich es kappiert. Gibt es einen Tipp, wie
> man das am besten auflöst z.B. mit dem Paskalschen Dreieck?
Das hilft bei diesen Aufgaben ungemein, ja
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
Also den vorderen Teil der Gleichung kann ich auflösen, aber den hinteren nicht. Wie kann ich das am besten machen?
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Hey,
wo genau liegt denn dein Problem dabei? Es wäre besser gewesen, du hättest uns aufgeschrieben wie weit du gekommen bist.
Nun ich kann mir vorstellen, dass es an den vielen "-" in den Klammern liegt. Ich zeige dir mal, wie man den mittleren Term auflösen kann:
[mm] $3(-0,5-x)^2= [/mm] 3 ( [mm] \blue{(-0,5)}\red{+}\green{(-x)})^2 [/mm] = 3 [mm] (\blue{(-0,5)^2}\red{+}2\blue{(-0,5)}\green{(-x)}\red{+}\green{(-x)^2})=3(\frac{1}{4}+x+x^2)$
[/mm]
P.S.: [mm] $(-0,5-x)^3=(-0,5-x)^2(-0,5-x)$
[/mm]
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
Ja, also die Gleichung hat Null ergeben, also ist es bewiesen.
In der Schule hatten wir nur hingeschrieben: g(x) = f(x-0,5) und haben dann [mm] 2x^3 [/mm] - 0,5x rausbekommen und dann hingeschrieben, dass folglich die Gerade punktysmetrisch zum Punkt P ist. Reicht das auch und wie kommt man dann drauf, dass es bewiesen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 05.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
g(x) ist ja so definiert, dass diese zum Ursprung symmetrisch ist, und von f(x) genau durch "Verschieben dieses Symmetriepunktes" auf den gegebenen Punkt [mm] P(\red{-0,5};\green{0})
[/mm]
Wenn du also zeigst, dass [mm] g(x)=f(x\red{+0,5})+\green{0} [/mm] ist, hast du die Punktsymmetrie ebenfalls gezeigt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
Du hast jetzt anstatt wie in der Schule - ein + gemacht.
Warum kommt dann nur raus, [mm] 2x^3 [/mm] - 0,5x raus und nicht der Rest der Gleichung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 05.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Du hast jetzt anstatt wie in der Schule - ein + gemacht.
Sorry, mein Fehler
>
> Warum kommt dann nur raus, [mm]2x^3[/mm] - 0,5x raus und nicht der
> Rest der Gleichung
Da fallen einige Terme weg, wenn du f(x-0,5)+0 bestimmst.
f(x-0,5)=2(x-0,5)³+3(x-0,5)²+(x-0,5)
=2(x³-1,5x²+0,75x-0,125)+3(x²-x+0,25)+x-0,5
=2x³-3x²+1,5x-0,25+3x²-3x+0,75+x-0,5
=2x³-0,5x
(Und das ist Punktsymmetrisch zum Ursprung)
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 05.10.2008 | | Autor: | krauti |
O.k. Danke, jetzt ist alles klar.
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