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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Fr 24.06.2011 | | Autor: | GeMir |
| Aufgabe | Seien $a, b [mm] \geq [/mm] 0$
[mm] $$x_1 [/mm] = [mm] -a^2+b-1+\sqrt{a^2(a^2+b^2-4b+2)}\\ [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -a^2+b-1-\sqrt{a^2(a^2+b^2-4b+2)}$$
[/mm]
Unter welchen Bedingungen von $a$ und $b$ haben [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] negativen Realteil? |
Hat jemand 'ne Idee, wie man an die Aufgabe rangehen könnte?
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Hallo GeMir,
da ist irgendwas faul.
> Seien [mm]a, b \geq 0[/mm]
[mm] a,b\in\IR [/mm] ?
> [mm][/mm][mm] x_1[/mm] = [mm]-a^2+b-1+\sqrt{a^2(a^2+b^2-4b+2)}\\
[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-a^2+b-1-\sqrt{a^2(a^2+b^2-4b+2)}[/mm][mm][/mm]
>
> Unter welchen Bedingungen von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] haben [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> negativen Realteil?
Heißt das also [mm] x_1,x_2\in\IC [/mm] ?
> Hat jemand 'ne Idee, wie man an die Aufgabe rangehen
> könnte?
Falls nur das Wort "Realteil" überflüssig ist und wir uns mit der ganzen Aufgabe doch in [mm] \IR [/mm] bewegen, kommt man doch mit ein bisschen Mühe weiter, allerdings nur mit allerlei Fallunterscheidungen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 24.06.2011 | | Autor: | GeMir |
Ja, die Aufgabe ist ein wenig unsauber formuliert. Wir bewegen uns aber in [mm] $\IC$, [/mm] deswegen dürfen wir das Wort "Realteil" nicht weglassen.
Außerdem, bin ich mir auch ziemlich sicher, dass es eine Menge von Fällen ist, die wir betrachten sollen. Die Frage ist, ob jemand einen "geschickten" Weg sieht, wie man auf die einzelnen Fälle kommen könnte, ohne ewig lang auszuprobieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Fr 24.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ja, die Aufgabe ist ein wenig unsauber formuliert. Wir
> bewegen uns aber in [mm]\IC[/mm], deswegen dürfen wir das Wort
> "Realteil" nicht weglassen.
Schön, aber was heißt dann [mm] a,b\ge0 [/mm] ? Das ist ja keine Aussage, die man über komplexe Zahlen treffen könnte. Sind aber [mm] a,b\in\IR, [/mm] dann haben [mm] x_1,x_2 [/mm] nur einen Realteil und wir bewegen uns doch in [mm] \IR. [/mm] Daher die Irritation...
> Außerdem, bin ich mir auch ziemlich sicher, dass es eine
> Menge von Fällen ist, die wir betrachten sollen. Die Frage
> ist, ob jemand einen "geschickten" Weg sieht, wie man auf
> die einzelnen Fälle kommen könnte, ohne ewig lang
> auszuprobieren?
Mal sehen. Erstmal die Aufgabenklärung, vorher lohnt ja keine Arbeit daran. 
Grüße
rev
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> Hallo nochmal,
>
> > Ja, die Aufgabe ist ein wenig unsauber formuliert.
(das finde ich eigentlich nicht ...)
> > Wir bewegen uns aber in [mm]\IC[/mm], deswegen dürfen wir
> > das Wort "Realteil" nicht weglassen.
>
> Schön, aber was heißt dann [mm]a,b\ge0[/mm] ? Das ist ja keine
> Aussage, die man über komplexe Zahlen treffen könnte.
> Sind aber [mm]a,b\in\IR,[/mm] dann haben [mm]x_1,x_2[/mm] nur einen Realteil
> und wir bewegen uns doch in [mm]\IR.[/mm] Daher die Irritation...
Wenn a und b reell sind, können [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] entweder beide
auch reell sein, oder aber sie sind konjugiert komplex ...
LG und schönen Abend !
Al
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> Ja, die Aufgabe ist ein wenig unsauber formuliert. Wir
> bewegen uns aber in [mm]\IC[/mm], deswegen dürfen wir das Wort
> "Realteil" nicht weglassen.
>
> Außerdem, bin ich mir auch ziemlich sicher, dass es eine
> Menge von Fällen ist, die wir betrachten sollen. Die Frage
> ist, ob jemand einen "geschickten" Weg sieht, wie man auf
> die einzelnen Fälle kommen könnte, ohne ewig lang
> auszuprobieren?
Ich denke, dass man die Aufgabe so betrachten soll:
a und b sind (gegebene) nichtnegative reelle Zahlen.
[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind die Lösungen einer gewissen quadra-
tischen Gleichung, deren (reelle) Koeffizienten von
a und b abhängig sind. [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind entweder
beide reell (falls der Radikand positiv ist), sie sind
identisch (und auch reell), falls Radikand=0 , und sie
sind konjugiert komplex, falls Radikand<0 .
In den letzten beiden Fällen ist [mm] Re(x_1)=Re(x_2)=
[/mm]
[mm] -a^2+b-1 [/mm] , und die zu erfüllende Bedingung ist dann
[mm] -a^2+b-1<0 [/mm] bzw. [mm] b
Voraussetzung [mm] a^2(a^2+b^2-4b+2)\le0 [/mm] ).
Im ersten Fall muss man die Bedingungen [mm] a^2(a^2+b^2-4b+2)>0
[/mm]
und [mm] x_1<0 [/mm] erfüllen. Wenn nämlich [mm] x_1 [/mm] negativ ist,
dann ist [mm] x_2 [/mm] bestimmt ebenfalls negativ.
Man hat also zwei aus je 2 Ungleichungen bestehende
Ungleichungssysteme zu lösen.
Ich würde mir noch überlegen, ob es etwas bringt,
die quadratische Gleichung zu betrachten, deren
Lösungen die [mm] x_i [/mm] sind.
LG Al-Chw.
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In der Zeichnung ist die Lösungsmenge in der a-b-Ebene
dargestellt. Ihr Bild im Bereich [mm] -3\le{a}\le3 [/mm] , [mm] -3\le{b}\le3 [/mm]
ähnelt einem T-Shirt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Begrenzungskurven haben die Gleichungen
$\ b\ =\ [mm] a^2+1$ [/mm] (Ausschnitt)
$\ b\ =\ [mm] 1\pm\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}$
[/mm]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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