T^5 kontrahierend < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:21 Di 06.06.2006 | | Autor: | prima |
| Aufgabe | Sei (X,d) vollständiger metrischer Raum und sei T: X [mm] \to [/mm] X eine Abbildung:
b) Die Abbildung [mm] T^5: [/mm] X [mm] \to [/mm] X ist kontrahierend. Ziegen sie durch ein Bsp, dass daraus nicht folgt, dass T Kontrahierend ist.
c)Die Abbildung [mm] T^5: [/mm] X [mm] \to [/mm] X sein kontrahierned. Zeigen sie, dass die Abb T einen eindeutigen Fixpunkt hat. |
Hallo zusammen,
Meine erste Frage ist eine total grundlegende.Heißt [mm] T^5, [/mm] dass fünf Abbildungen miteinander verkringelt sind?
WEnn nein hätte ich die a auch vollkommen falsch gemacht.
Zu der B) da finde ich überhaupt keine VErkringelung.
zu der C) Hier dachte ich kann man mit Cauchyfolgen argumentieren, ähnlich wie im Beweis des Fixpunktsatzes?
Schonmal danke für eure Anregungen!
Eva
Ich habe diesen Artikel in kein anderes Forum gesetzt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Di 06.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Eva,
hier mal meine Vorschläge:
zu a):
Sei [mm] X=\IR^2 [/mm] mit der üblichen Metrik und sei [mm]T:x\mapsto Ax[/mm] mit der Matrix
[mm]A=\pmat{0&1\\0&0}[/mm]
Dann ist ja [mm] T^2 [/mm] schon die Nullabbildung (und damit erst recht [mm] T^5) [/mm] und viel mehr kontrahierend geht eigentlich nicht mehr. Allerdings ist T ja wohl nicht kontrahierend (warum?).
zu b):
Für die Existenz sei [mm] x_0 [/mm] der eindeutig bestimmte Fixpunkt von [mm] T^5, \lambda<1 [/mm] sei der Kontraktionsfaktor.
Dann betrachte folgende Umformung:
[mm]d(x_0,T(x_0)) = d(T^5(x_0),T(T^5(x_0))) = d(T^5(x_0),T^5(T(x_0))) \le \lambda d(x_0,T(x_0))[/mm]
Warum ist jetzt [mm] x_0 [/mm] ein Fixpunkt von T?
....und die Eindeutigkeit überlasse ich dann noch Dir 
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Mi 07.06.2006 | | Autor: | prima |
Vielen Dank für die Bemühungen!
Das Bsp. war super und ich denke ich habe es dann genügend begründet!
An der zweiten muss ich noch ein bisschen knacken. Vielleicht melde ich da nochmal!Danke
Eva
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Hallo Eva,
könntest du mir vielleicht erklären warum T: [mm] x\mapsto [/mm] Ax mit [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] nicht kontrahierend ist.das wär echt super!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 10.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo Eva,
Ich heiss zwar nicht Eva, aber ich versuchs mal trotzdem
> könntest du mir vielleicht erklären warum T: [mm]x\mapsto[/mm] Ax
> mit [mm]A=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm] nicht kontrahierend ist.das
> wär echt super!!
Es gibt einen Vektor der Laenge 1 (ist ein ganz einfacher), der wird durch $T$ auf einen anderen Vektor der Laenge 1 abgebildet. Und damit kann $T$ nicht kontrahierend sein: Denn dann muesste es eine Konstante $c < 1$ geben so, dass ein Vektor der Laenge 1 auf einen Vektor der Laenge kleinergleich $c$ abgebildet wird.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen dank für deine Antwort!!!Ich habs jetzt verstanden:)
schönen sonntag noch
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