Tangente an Graph legen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 19.11.2007 | | Autor: | ccatt |
| Aufgabe | [mm]f(x)=e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}x-4[/mm]
Durch den Punkt Y(0|2e-4) können zwei Tangenten an den Graphen F gelegt werden. Bestimme die Berührpunkte. |
Hallöchen,
bei dieser Augabe komme ich einfach nicht weiter.
Eine Geradengleichung stellt man ja wie folgt auf: y=mx+n
Nun habe ich n ja schon durch Y(0|2e-4) gegeben. => y=mx+2e-4
Die Steigung ergibt sich aus f'(x).
[mm]f(x)=e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}x-4[/mm]
[mm]f'(x)=-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}[/mm]
Demnach müsste die Tangetengleichung so lauten:
[mm]y=(-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2})x+2e-4[/mm]
Nun setze ich den Punkt (x|f(x)) in die Gleichung ein.
[mm]e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}x-4=(-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2})x+2e-4[/mm]
Wenn ich jetzt weiter ausrechne und zusammenfasse, komme ich zu folgendem Ausdruck: [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}x=e^{\bruch{1}{2}x-1}[/mm]
Ab hier weiß ich nicht, wie ich weiter rechnen soll.
Es könnte natürlich auch sein, dass ich zu Beginn schon einen Fehler gemacht habe.
Wäre schön, wenn sich jemand meine Rechnung mal anschauen könnte.
Vielen Dank schon mal.
LG ccatt
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Ich habe die Frage in keinem anderen Form geschrieben.
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Hi, ccatt,
> [mm]f(x)=e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}x-4[/mm]
>
> Durch den Punkt Y(0|2e-4) können zwei Tangenten an den
> Graphen F gelegt werden. Bestimme die Berührpunkte.
> Eine Geradengleichung stellt man ja wie folgt auf: y=mx+n
> Nun habe ich n ja schon durch Y(0|2e-4) gegeben. =>
> y=mx+2e-4
> Die Steigung ergibt sich aus f'(x).
>
> [mm]f(x)=e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}x-4[/mm]
> [mm]f'(x)=-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2}[/mm]
Diese Ableitung ist OK!
> Demnach müsste die Tangetengleichung so lauten:
> [mm]y=(-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2})x+2e-4[/mm]
Das hältst Du aber nicht allen Ernstes für eine Gerade! Bei einer Geraden darf das x nur linear vorkommen, NICHT ABER im Exponenten einer Exponentialfunktion!
Folgende Überlegungen führen Dich zum Ziel:
(1) Sei P(a; f(a)) der Punkt auf dem Graphen von f, in dem die Tangente den Graphen berührt.
(2) Dann hat diese Tangente einerseits die Steigung [mm] m_{t} [/mm] = f'(a).
(3) Andererseits geht diese Tangente durch die Punkte P und Y, also hat sie die Steigung:
[mm] m_{t} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2-0,5*a}+0,5*a-4 - 2e + 4}{a-0} [/mm]
(Steigung einer Geraden durch 2 Punkte! "Steigungsdreieck"!)
(4) Wenn Du nun beides gleichsetzt und umformst, kannst Du nach a auflösen und hast die x-Koordinate des Berührpunktes gefunden!
Klar soweit?
mfG!
Zwerglein
PS: Dass dabei ZWEI Lösungen rauskommen, ist m.E. falsch; es gibt nur 1 Tangente!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mo 19.11.2007 | | Autor: | ccatt |
> > Demnach müsste die Tangetengleichung so lauten:
> >
> [mm]y=(-\bruch{1}{2}e^{2-\bruch{1}{2}x}+\bruch{1}{2})x+2e-4[/mm]
>
> Das hältst Du aber nicht allen Ernstes für eine Gerade! Bei
> einer Geraden darf das x nur linear vorkommen, NICHT ABER
> im Exponenten einer Exponentialfunktion!
Kam mir auch komisch vor, muss ich ja zugeben!
> Folgende Überlegungen führen Dich zum Ziel:
>
> (1) Sei P(a; f(a)) der Punkt auf dem Graphen von f, in dem
> die Tangente den Graphen berührt.
>
> (2) Dann hat diese Tangente einerseits die Steigung [mm]m_{t}[/mm] =
> f'(a).
>
> (3) Andererseits geht diese Tangente durch die Punkte P und
> Y, also hat sie die Steigung:
>
> [mm]m_{t}[/mm] = [mm]\bruch{e^{2-0,5*a}+0,5*a-4 - 2e + 4}{a-0}[/mm]
>
> (Steigung einer Geraden durch 2 Punkte!
> "Steigungsdreieck"!)
Damit hab ich es auch schon versucht. Ich habe die beiden dann aber nicht gleichgesetzt.
> (4) Wenn Du nun beides gleichsetzt und umformst, kannst Du
> nach a auflösen und hast die x-Koordinate des Berührpunktes
> gefunden!
>
> Klar soweit?
Jep, ich glaub schon.
> mfG!
> Zwerglein
>
> PS: Dass dabei ZWEI Lösungen rauskommen, ist m.E. falsch;
> es gibt nur 1 Tangente!
Danke für die Erläuterung!
Ich werde sie jetzt mal nachvollziehen und durchrechnen.
LG ccatt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 19.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, ccatt,
mein Zusatz war falsch: Es gibt doch 2 Lösungen!
Ich hab' halt nur eine davon raten können (a=2); die andere muss man vermutlich durch ein Näherungsverfahren ermitteln (a [mm] \approx [/mm] -1,2)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 19.11.2007 | | Autor: | ccatt |
Hallöchen,
so, ich habe jetzt gleichgesetzt und umgeformt:
[mm]-0,5*e^{2-0,5a}+0,5 = \bruch{e^{2-0,5a}+0,5a-2e}{a}[/mm] | * a
[mm]a(-0,5*e^{2-0,5a}+0,5) = e^{2-0,5a}+0,5a-2e[/mm]
[mm]-0,5a*e^{2-0,5a}+0,5a = e^{2-0,5a}+0,5a-2e[/mm] | - 0,5a
[mm]-0,5a*e^{2-0,5a} = e^{2-0,5a}-2e[/mm] | - [mm] e^{2-0,5a}
[/mm]
[mm]-0,5a*e^{2-0,5a}-e^{2-0,5a} = -2e[/mm] | * (-1) | ausklammern
[mm]e^{2-0,5a}(0,5a+1) = 2e[/mm] | ln
[mm]2-0,5a+ln(0,5a+1) = ln(2)+1[/mm]
[mm]ln(0,5a+1)-ln(2) = 0,5a-1[/mm]
[mm]ln(0,25a+0,5) = 0,5a-1[/mm] | e
[mm]0,25a+0,5 = e^{0,5a-1}[/mm]
Und dann bin ich wieder bei meinem Problem vom Anfang.
LG ccatt
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Hi, ccatt,
> so, ich habe jetzt gleichgesetzt und umgeformt:
> [mm]-0,5*e^{2-0,5a}+0,5 = \bruch{e^{2-0,5a}+0,5a-2e}{a}[/mm] | * a
> [mm]a(-0,5*e^{2-0,5a}+0,5) = e^{2-0,5a}+0,5a-2e[/mm]
>
> [mm]-0,5a*e^{2-0,5a}+0,5a = e^{2-0,5a}+0,5a-2e[/mm] | - 0,5a
> [mm]-0,5a*e^{2-0,5a} = e^{2-0,5a}-2e[/mm] | - [mm]e^{2-0,5a}[/mm]
> [mm]-0,5a*e^{2-0,5a}-e^{2-0,5a} = -2e[/mm] | * (-1) | ausklammern
> [mm]e^{2-0,5a}(0,5a+1) = 2e[/mm] (***)
Bis dahin ist alles richtig!
Aber das Folgende bringt Dir nichts!
> [mm]2-0,5a+ln(0,5a+1) = ln(2)+1[/mm]
> [mm]ln(0,5a+1)-ln(2) = 0,5a-1[/mm]
(usw.)
Wie schon im meiner Mitteilung erwähnt, kannst Du in der Gleichung (***) eine Lösung raten (a=2), die andere jedoch vermutlich nur mit Hilfe eines Näherungsverfahrens ermitteln. (Dafür würde ich das Newton-Verfahren vorschlagen!)
Weiter kann ich Dir leider auch nicht helfen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 20.11.2007 | | Autor: | ccatt |
Hallo,
trotzdem Danke für die Hilfe bis hier hin.
LG ccatt
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