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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Di 11.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
f(x)=0,05x³-4x²+100x+2500
Und ich will eine Tangente an diese Funktion packen, die durch den Ursprung geht.
Die Frage kommt von einer dieser Kostenfunktionsaufgaben, wobei f die Kostenfunktion ist und ich die lineare Umsatzfunktion U mit der geringsten Steigung brauche (=der niedrigste preis für das produkt), bei der der Unternehmer keinen Verlust macht, die die Kostenfunktion also einmal bei x>0 schneidet und sonst unterhalb von der Kostenfunktion liegt.
Ich brauche also eine Tangente t: y=mx, da Umsatzfunktionen ja durch O(0|0) gehen (wer nix verkauft kriegt auch nix :P)
Ich wollte nur fragen, ob es einen einfachen Weg gibt (ohne schätzen) diese Tangente (und damit auch den Stückpreis) zu finden.
Ich würde es halt so machen:
Anstieg von einem allgemeinen Berührpunkt A(a|f(a)) berechnen:
f'(a)=0,15a²-8a+100
t: y=f'(a)(x-a)+f(a)
t: y=(0,15a²-8a+100)(x-a)+0,05a³-4a²+100a+2500
Die Tangentengleichung stellt man dann erstmal um, bis man die Form y=mx+n erhält.
Den Term für n setzt man dann 0 und erhält (in dem Fall) ein a (a=50, wenn ich mich recht entsinne).
Das a setzt man in den Term für m und erhält dadurch den Anstieg der Tangente an f durch O(0|0) (m=75).
Ich wollte fragen, ob das noch einfacher geht!
Die Variante führt super zum Ziel, aber dauert etwas lange.
Bitte auch nur Ideen für (Kosten-)funktion mit einem Grad von 3 oder höher.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Di 11.09.2007 | | Autor: | holwo |
Hallo,
also ich machs immer so:
f(x)=0,05x³-4x²+100x+2500
An Punkt x=0:
also f(0)=2500
also [mm] x_{1}=0,y_{1}=2500
[/mm]
[mm]
f'(x)=(0.05)3.x^2-8,x+100[/mm]
An Punkt x=0 ist die Steigung f'(0)=100
Die Gleichung für die Tangente:
[mm] y-y_{1}=m(x-x_{1})
[/mm]
wobei m die Steigung an Stelle [mm] x_{1} [/mm] ist
Also y-2500=100(x-0)
y=100x+2500
Ein Plot zeigt dass das die Tangente ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.D. Muss die Tangente durch (0,0) gehen? weil dann ist es falsch was ich geschrieben habe  das ist die Tangente an der Stelle (0,2500)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Di 11.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi, danke erstmal für die Antwort und die Mühe!
Aber ich wollte ja keine beliebige Tangente irgendwo, sondern eine, die durch den Koordinatenursprung geht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Di 11.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Jo, muss durch O(0|0) :P trotzdem danke erstmal!
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> Ich würde es halt so machen:
>
> Anstieg von einem allgemeinen Berührpunkt A(a|f(a))
> berechnen:
> f'(a)=0,15a²-8a+100
>
> t: y=f'(a)(x-a)+f(a)
> t: y=(0,15a²-8a+100)(x-a)+0,05a³-4a²+100a+2500
>
> Die Tangentengleichung stellt man dann erstmal um, bis man
> die Form y=mx+n erhält.
> Den Term für n setzt man dann 0 und erhält (in dem Fall)
> ein a (a=50, wenn ich mich recht entsinne).
Hallo,
im Prinzip würde ich das haargenau so angehen, wie Du es tust.
Etwas Schreibarbeit kannst Du sparen, wenn Du das "ordentliche Umstellen" in die Form y=mx+n bleibenläßt, und stattdessen gleich in y=f'(a)(x-a)+f(a) Deinen Punkt (0,0) einsetzt, also 0=-af'(a)+f(a) nach a auflöst.
Aber etwas großartig anderes fällt mir auch nicht ein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 11.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Jo, stimmt, das wäre auch gut :) danke dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Di 11.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Ach, ich hab's mir nun selber noch vereinfacht!
Ich kann ja einfach die Bedingungen
[mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] und [mm] f'(x_B)=t'(x_B) [/mm] nehmen (wenn der Berührpunkt [mm] B(x_B|y_B) [/mm] ist).
Durch [mm] f'(x_B)=t'(x_B) [/mm] erhalte ich ja dann ein m, das ich in
[mm] f(x_B)=t(x_B) [/mm] einsetzen kann um [mm] x_B [/mm] zu berechnen, und damit auch den Rest.
Danke trotzdem an alle, mal gucken ob angela das selbe schreibt ;)
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