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| Aufgabe | a)Gibt es eine Tangente an dem Graph der Funktion f mit der Steigung 2?
f(x)= [mm] 2x^2-6
[/mm]
b)Lässt sich vom Punkt Q eine Tangente an den Graphen der Funktion f legen? f(x)= [mm] 2x^2-6 [/mm] Q(-2|0)
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a) Ansatz:
erst mal die Ableitung
f'(x)= 4x
f'(x)=2
2= 4x [mm] \gdw x=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] f(\bruch{1}{2}) [/mm] = -5 [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
B( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | -5 [mm] \bruch{1}{2})
[/mm]
t: y=mx+n
t: y=2x+n
[mm] B\in [/mm] t: -5 [mm] \bruch{1}{2}= 2\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n= -6 [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
y= 2x- -6 [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ja hat eine Steigung
b) Bei b) kann ich das irgendwie nicht
Ansatz:
f(x)= [mm] 2x^2-6
[/mm]
gestreckte, nach oben geöffnet, S(0|-6)
Q( -2|0)
B( [mm] x_{o}| f(x_{0})
[/mm]
aber weiter??????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich zeig dir mal die Variante, wo man mit Ableitungen arbeiten muss:
Eine Tangente und die Parabel sollen ja nur einen Punkt gemeinsam haben: nämlich einen Berührpunkt.
Und bei einem Berührpunkt gilt, dass die 2 Grafen an einer Stelle [mm] x_B [/mm]
1. den selben Funktionswert haben
und
2. den selben Anstieg haben.
Formelhaft also:
[mm] f(x_B)=g(x_B)
[/mm]
[mm] f'(x_B)=g'(x_B)
[/mm]
(g ist die Tangente)
Das kannst du nun als Gleichungssystem auffassen was es zu lösen gilt.
Vorher solltest du aber erst einmal den gegebenen Punkt in g einsetzen, weil du damit eine Variable (vorzugsweise n) noch eliminieren kannst!
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Soll ich den Punkt Q jetzt in [mm] f(x_{B}= g(x_{B}) [/mm] einsetzen ?
also f(-2)=g(-2) ??
irgendwie hab ich das nicht richtig verstanden
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Ja,
Du willst je g(x) = a*x+b bestimmen. Die Gerade soll aber auch durch den genannten Punkt gehen, also setzt du die Werte ein und bekommst schon mal a oder b in anhängigkeit von jeweils dem anderen.
Dann gehst Du zum obigen System zurück und rechnest weiter.
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wenn ich den Punkt Q einsetze dann sieht es wie folgt aus.
0= m*(-2)+n aber wie dann weiter?
also was nützt mir das. mir fehlen die variablen m und n
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das heißt g(x)=m*x+2m
damit hast Du xchon mal eine Unbekannte weniger
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"g(x)=m*x+2m
die gleichung versteh ich noch nichtmal!
g(x)= m*(-2)+n wieso haben sie da noch ein x wenn für das x -2 eingesetzt wurde
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also ganz langsam:
allgemeine Gleichung für eine Gerade(Tangente ist je auch eine Gerade)
g(x)=m*x+n
nun soll die Tangente durch den Punkt Q gehen. Also wie schon gemacht
erhälst Du: (-2)*m+n=0 --> n=2*m
das heißt die gerade mit der Vorschrift: g(x)=m*x+2m geht durch den Punkt Q.
So ähnlich geht man dann auch bei oberen Gleichungen vor
ist jetzt alles klar 
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ok dann sollte ich wie oben fortfahren
also g(x)= mx+2m
und da g(x)= f(x) ist, ist f(x)= mx+2m
und jetzt muss man die ableitung bilden oder nicht für g'(x).
aber das geht irgendwie nicht wegem dem m
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok ich trage mal alles zusammen:
f(x)=2x²-6
g(x)=mx+2m
f'(x)=4x
g'(x)=m
(2m ist ja nur eine konstante, die beim Ableiten wegfällt)
I) [mm] f(x_B)=g(x_B)
[/mm]
[mm] 2x_B²-6=mx_B+2m
[/mm]
II) [mm] f'(x_B)=g'(x_B)
[/mm]
[mm] 4x_B=m
[/mm]
Super, aus der 2. Gleichung sieht man direkt, was man für m noch schreiben könnte! Nämlich [mm] 4x_B.
[/mm]
Das setzt man nun wieder in I) ein.
I') [mm] 2x_B²-6=4x_B*x_B+2*4x_B
[/mm]
Das kannst du nach [mm] x_B [/mm] umstellen und erhälst wahrscheinlich 2 Berührpunkte. Damit auch 2 verschiedene Steigungen und 2 Tangenten.
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[mm] 2x_{B}^2 [/mm] -6 = [mm] 4x_{B}+ 2*4x_{B}
[/mm]
[mm] \gdw 2x_{B}^2- 12x_{B} [/mm] -6 = 0
[mm] \gdw x_{B}^2- 6x_{B}-3=0
[/mm]
PQ formel
[mm] x_{1}=6,46
[/mm]
[mm] x_{2}=-0,46
[/mm]
f( 6,46)= 77,4632
f(-0,46)= -5,576
also die punkte:
(6,46|77,4632) und (-0,46 |-5,576)
ist das bis dahin richtig??
ich muss dann die Punkte in die Gleichung einsetzen.
aber in welche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 21.03.2007 | | Autor: | viktory_hh |
in die wo es steht: m= . . .
damit erhält Du dann eine Gleichung für die Tangente.
Besser als pq-Formel ist:
[mm] a*x^2+b*x+c=0
[/mm]
--> [mm] x_{1,2}=\bruch{-b\pm\wurzel{b^2-4*a*c}}{2*a}
[/mm]
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Hallo,
du hast bei deiner Lösung leider ein Quadrat vergessen
[mm] ....=4(x_B)^{2}....
[/mm]
du erhälst dann [mm] x_B_1=-1 [/mm] und [mm] x_B_2=-3
[/mm]
Steffi
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Ja das hab ich jetzt auch heraus!!!
Dann muss ich noch f(-1) und f(-3) bestimmen oder???
f(-1)=-4
f(-3)= 12
P(-1|-4) und [mm] P_{2} [/mm] (-3|12)
aber wie nun weiter??? in welche gleichung muss ich meine Berührpunkte setzen?
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Hallo,
von der 1. Tangente weißt du nun zwei Punkte [mm] P_1(-1; [/mm] -4) und [mm] P_2(-2; [/mm] 0) so stand es in deiner Aufgabe, es gilt:
y=m*x+n
-4=m*(-1)+n umgestellt nach n=-4+m, in 2. Gleichung einsetzen
0=m*(-2)+n
0=-2m-4+m
0=-m-4
m=-4
n=-4+m
n=-8
1. Tangentengleichung: [mm] y_1=-4x-8
[/mm]
so machst du es mit der zweiten Gleichung, dein Punkt (-3; 12) ist korrekt,
Steffi
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Lautet die zweite tangentengleichung y= 12x+48?? *bittebitte*
Und vielen dank für ihre Hilfe!!!
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Hallo,
leider nein
[mm] P_1(-3; [/mm] 12)
[mm] P_2(-2; [/mm] 0)
y=mx+n
12=m*(-3)+n
0=m*(-2)+n umgestellt n=2m, in 1. einsetzen
12=-3m+2m
12=-m
m=-12
n=2m=2*(-12)=-24
[mm] t_2=-12x-24
[/mm]
jetzt hast du deine Aufgabe geschafft, übrigens, wir kennen uns nicht persönlich, aber im matheraum wird immer du gesagt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Shabi_nami |
Ja danke nochmal. mein Fehler war dieses kleine Vorzeichen. dadurch hat sich ja der ganze term verändert.
Ja zum glück bin ich mit der aufgabe nun fertig. Ich war grad am mathe üben und sah diese Aufgabe, hab angefangen und wollte auch aufhören weil ich es nicht konnte. aber ich hab es ( mit viel hilfe) doch geschafft!
LG Nami
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Das Matheraumteam gewinnt wieder! :P
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> a)Gibt es eine Tangente an dem Graph der Funktion f mit der
> Steigung 2?
> f(x)= [mm]2x^2-6[/mm]
>
> b)Lässt sich vom Punkt Q eine Tangente an den Graphen der
> Funktion f legen? f(x)= [mm]2x^2-6[/mm] Q(-2|0)
>
>
> a) Ansatz:
>
> erst mal die Ableitung
>
> f'(x)= 4x
>
> f'(x)=2
>
> 2= 4x [mm]\gdw x=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm] = -5 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> B( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | -5 [mm]\bruch{1}{2})[/mm]
>
> t: y=mx+n
> t: y=2x+n
> [mm]B\in[/mm] t: -5 [mm]\bruch{1}{2}= 2\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] n=
> -6 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> y= 2x- -6 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
y= 2x- 6 [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Ja hat eine Steigung
>
> b) Bei b) kann ich das irgendwie nicht
>
> Ansatz:
>
> f(x)= [mm]2x^2-6[/mm]
>
> gestreckte, nach oben geöffnet, S(0|-6)
>
> Q( -2|0)
>
> B( [mm]x_{o}| f(x_{0})[/mm]
>
> aber weiter??????
Der Punkt P an dem f(x) eine Tangente hat ist unbekannt P(x | f(x))
Die Steigung an diesem Punkt:
f'(x) = 4x
Die Tangente hat eine Gleichung y=mx+n
Einsetzen P in die Tangentegleichung:
[mm] 2x^2-6 [/mm] = 4x*x+n
[mm] 2x^2+n+6 [/mm] = 0 (1)
Der Punkt Q liegt auf der Tangente 0=-2m+n
n = 2m = 8x (da m = 4x)
Einsetzen in (1)
[mm] 2x^2 [/mm] + 8x + 6 = 0
[mm] x^2 [/mm] +4x+3 = 0
So findest du an welcher Stelle du deine Tangente hast.
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