Tangenten an Kreis legen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Fr 05.01.2007 | | Autor: | TopHat |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Tangenten vom Punkt P an den Kreis K mit dem Radius r um den Mittelpunkt M.
a) r= 5, M(4|1), P(11|2) |
Danke schon mal im Voraus für eure Hilfe!
Also den Kreis aufzustellen ist kein Problem, da kann ich ja entweder
[mm] (x-4)^{2} [/mm] + [mm] (y-1)^{2} [/mm] = 25 schreiben oder das auch in Vektorform
[mm] (\vektor{x \\ y}-\vektor{4 \\ 1})^{2}= [/mm] 25 nehmen.
und ich weiß dass die Gerade [mm] \overline{PS}, [/mm] die eine Tangente an K ist mit dem Berührpunkt S, mit dem Vektor von M zu S [mm] (S\in [/mm] X) ein Skalarprodukt von 0 bilden muss.
Allerdings bin ich jetzt völlig überfragt, wie ich ich jetzt konkret auf ein S kommen kann.
Bitte helft mir.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Barncle |
Hey,
also ich glaube dir zumindest etwas weiter helfen zu können:
Ich wüde mir erstmal einen Punkt S ansetzen mit den Koordinaten
[mm] {s_x \choose s_y} [/mm]
Gut der Vektor von S zu P ist nun
[mm] {11 - s_x \choose 2 - s_y} [/mm]
Und der vom Mittelpunkt zu S ist
[mm] {s_x - 4 \choose s_y - 1} [/mm]
Gut wie du schon gesagt hast muss das innere Produkt dieser beiden Vektoren 0 sein >> deine erste Gleichung
die zweite Gleichung erhältst du aus der Bedingung, dass S ein Element des Kreises sein muss >> [mm] s_x [/mm] und [mm] s_y [/mm] müssen die Kreisgleichung erfüllen.
Nun hast du 2 Gleichungen für 2 Unbekannte, und weil die nochquadratisch sind, ham sie auch 2 Lösungen >> 2 Punkte >> 2 Tangenten
Ich hoffe das reicht die für die Lösung
Grüße Gregor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:37 Sa 06.01.2007 | | Autor: | TopHat |
Ja, danke schön.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Sa 06.01.2007 | | Autor: | riwe |
eine andere nette möglichkeit wäre, rechnerisch den konstruktiven weg nachzuvollziehen:
bestimme mit pythagoras den radius des thaleskreises um P, schneide ihn mit K, damit bekommst du die beiden berührungspunkte [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] und kannst die beiden tangentengleichungen aufstellen.
[mm]R^{2}=d(M,P)^{2}-r^{2} \to R = 5[/mm]
[mm] (x-4)^{2}+(y-1)^{2}=25
[/mm]
[mm] (x-11)^{2}+(y-2)^{2}=25
[/mm]
subtrahieren ergibt g: y = 54 - 7x
wieder einsetzen führt auf die quadratische gleichung
[mm] x^{2}-15x+56=0 [/mm] und damit auf [mm] B_1(8/-2) [/mm] und [mm] B_2(7/5).
[/mm]
(die berührungspunkte bekommst du auch direkt als schnittpunkt der polaren geraden g mit K: (x-4)(11-4) +(y-1)(1-2) = 25, siehe oben)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:36 Sa 06.01.2007 | | Autor: | TopHat |
danke schön!
|
|
|
|
