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| Aufgabe | | 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k: (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X = [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] verlaufen sowie die Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren form (x y) angegeben.) |
Meine Ideen:
Ich glaube ich sollte die Geradengleichung parameterfrei machen:
g:X = [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm]
x=10+5t/*2
y=1+2t /*-5
2x=20+10t
-5y=-5-10t
=>2x-5y=15
Doch was nun? Ich bitte um Hilfe, was ich machen soll. Vielen Dank im Voraus!
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Hallo MathematikLosser,
> 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> form (x y) angegeben.)
> Meine Ideen:
> Ich glaube ich sollte die Geradengleichung parameterfrei
> machen:
> g:X = [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm]
> x=10+5t/*2
> y=1+2t /*-5
>
> 2x=20+10t
> -5y=-5-10t
>
> =>2x-5y=15
>
> Doch was nun? Ich bitte um Hilfe, was ich machen soll.
Berechne die Normale zu dieser Geraden.
> Vielen Dank im Voraus!
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k: (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X = $ [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] $ + t * $ [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] $ verlaufen sowie die Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren form (x y) angegeben.) |
> Hallo MathematikLosser,
>
> > 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> > (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> > [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> > Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> > form (x y) angegeben.)
> > Meine Ideen:
> > Ich glaube ich sollte die Geradengleichung
> parameterfrei
> > machen:
> > g:X = [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm]
> > x=10+5t/*2
> > y=1+2t /*-5
> >
> > 2x=20+10t
> > -5y=-5-10t
> >
> > =>2x-5y=15
> >
> > Doch was nun? Ich bitte um Hilfe, was ich machen soll.
>
>
> Berechne die Normale zu dieser Geraden.
>
>
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
2x-5y=15
ist der Normalvektor nicht einfach der Koeffizient von x und y vertauscht mit anderem Vorzeichen sprich:
[mm] \vektor{5 \\ 2}??
[/mm]
Doch dies wäre aber noch keine Gleichung. Wie berechne ich mir also die "Normale" zur Gerade?
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Hallo MathematikLosser,
> 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> form (x y) angegeben.)
>
>
> > Hallo MathematikLosser,
> >
> > > 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> > > (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> > > [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> > > Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> > > form (x y) angegeben.)
> > > Meine Ideen:
> > > Ich glaube ich sollte die Geradengleichung
> > parameterfrei
> > > machen:
> > > g:X = [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm]
> > > x=10+5t/*2
> > > y=1+2t /*-5
> > >
> > > 2x=20+10t
> > > -5y=-5-10t
> > >
> > > =>2x-5y=15
> > >
> > > Doch was nun? Ich bitte um Hilfe, was ich machen soll.
> >
> >
> > Berechne die Normale zu dieser Geraden.
> >
> >
> > > Vielen Dank im Voraus!
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> 2x-5y=15
>
> ist der Normalvektor nicht einfach der Koeffizient von x
> und y vertauscht mit anderem Vorzeichen sprich:
> [mm]\vektor{5 \\ 2}??[/mm]
> Doch dies wäre aber noch keine
> Gleichung. Wie berechne ich mir also die "Normale" zur
> Gerade?
Siehe dazu: Normale
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | | 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k: (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X = $ [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] $ + t * $ [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] $ verlaufen sowie die Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren form (x y) angegeben.) |
> Hallo MathematikLosser,
>
> > 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> > (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> > [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> > Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> > form (x y) angegeben.)
> >
> >
> > > Hallo MathematikLosser,
> > >
> > > > 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k:
> > > > (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X =
> > > > [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] verlaufen sowie die
> > > > Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren
> > > > form (x y) angegeben.)
> > > > Meine Ideen:
> > > > Ich glaube ich sollte die Geradengleichung
> > > parameterfrei
> > > > machen:
> > > > g:X = [mm]\vektor{10 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm]
> > > > x=10+5t/*2
> > > > y=1+2t /*-5
> > > >
> > > > 2x=20+10t
> > > > -5y=-5-10t
> > > >
> > > > =>2x-5y=15
> > > >
> > > > Doch was nun? Ich bitte um Hilfe, was ich machen soll.
> > >
> > >
> > > Berechne die Normale zu dieser Geraden.
> > >
> > >
> > > > Vielen Dank im Voraus!
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
> > 2x-5y=15
> >
> > ist der Normalvektor nicht einfach der Koeffizient von x
> > und y vertauscht mit anderem Vorzeichen sprich:
> > [mm]\vektor{5 \\ 2}??[/mm]
> > Doch dies wäre aber noch keine
> > Gleichung. Wie berechne ich mir also die "Normale" zur
> > Gerade?
>
>
> Siehe dazu: Normale
>
>
> Gruss
> MathePower
Das heißt nun, wenn ich es richtig verstanden habe, ist die Steigung meiner Normalen:
zu
2x-5y=15
[mm] =>y=\bruch{2x}{5}-3
[/mm]
die Steigung müsste dann
[mm] \bruch{-1}{0,4} [/mm] sein?
Ich hoffe, ich nerve noch nicht durch meine Unfähigkeit, doch wie würde ich nun auf das bn kommen?
$ n: [mm] y=m_n\cdot{}x+b_n [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Sa 15.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> die Steigung müsste dann
> $ [mm] \bruch{-1}{0,4} [/mm] $ sein?
Ja. Das ist übrigens -2,5.
> Ich hoffe, ich nerve noch nicht durch meine Unfähigkeit
Ich sehe keine Unfähigkeit auf deiner Seite.
Das Problem ist, dass du von Anfang an die in Vektorform gegebene Parameter-Geradengleichung in eine Koordinatenform umwandeln wolltest und dich bisher niemand von diesem höchst komplizierten, rechenaufwändigem und fehleranfälligem Weg abgebracht hat. (Kannst es ja mal weiter versuchen, einen Tipp dazu findest du unter Punkt 2.)
Frei nach dem Motto "Wozu gibt es die Parameterform wenn man sie nicht nutzt", scheint mir das einfachste Vorgehen zur Lösung der Aufgabe zu sein :
1. Weg :
Der Richtungsvektor der Geraden g ist gegeben, der Mittelpunkt M des Kreises auch. Betrachte damit die zu g parallele Durchmesser-Gerade d durch M. Schneide d mit dem Kreis k (Einsetzen der x- und y-Koordinaten in die Kreisgleichung, zwei Parameterwerte für t bestimmen, diese bei g einsetzen) und erhalte so die Berührpunkte [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2.
[/mm]
Mit den zugehörigen Ortsvektoren [mm] \vec{b_1} [/mm] und [mm] \vec{b_2} [/mm] als Stützvektoren und dem von dir schon ermittelten Richtungsvektor der Normalen erhälst du die beiden Geradengleichungen der Tangenten.
> doch wie würde ich > nun auf das bn kommen?
> $ n: [mm] y=m_n\cdot{}x+b_n [/mm] $
Dazu beschreitest du den
2. Weg :
Du setzt die Geradengleichung [mm] y=-2,5x+b_n [/mm] in die Gleichung des Kreises k ein. Das ergibt eine quadratische Gleichung in x mit dem Parameter [mm] b_n. [/mm] Durch Nullsezuen der Diskriminante wird dafür gesorgt, dass diese Gleichung nur eine Lösung x hat, das entspricht geometrisch der Tatsache, dass die Tangente den Kreis nur in einem Punkt berührt.
D=0 führt auf eine quadratische Gleichung in b, deren beide Lösungen die gesuchten y-Achsen-Abschnitte sind.
Gruß Sax.
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| Aufgabe | | 5) Berechne die Gleichungen der Tangente des Kreises k: (x-3)² + (y-4)²= 29, die normal zur Geraden g:X = $ [mm] \vektor{10 \\ 1} [/mm] $ + t * $ [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] $ verlaufen sowie die Koordinaten der Berührpunkte. (Gerade g ist in Vektoren form (x y) angegeben.) |
Ich habe den 2. Schritt probiert, da ich den ersten ehrlich gesagt nicht verstanden habe (wie ich auf die Durchmessergerade d kommen soll).
g: y=-2,5x+bn
Mein Versuch:
[mm] k:(x-3)^2+(-2,5x+bn-4)^2=29
[/mm]
[mm] (x^2-6x+9)+(6,25x^2-2,5bnx+10x-2,5bnx+bn^2-4bn+10x-4bn+16)
[/mm]
[mm] (x^2-6x+9)+(6,25x^2+20x+bn^2-5bnx-8bn+16)=29
[/mm]
[mm] 7,25x^2+14x+bn^2-5bnx-8bn+25=29
[/mm]
Doch wie kann ich nun diese Gleichung lösen? Wie bekomme ich das bn weg? Bitte um Hilfe.
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo, deine quadratische Gleichung ist korrekt,
[mm] 7,25x^2+14x-5b_nx+b_n^2-8b_n-4=0
[/mm]
[mm] x^2+\bruch{14}{7,25}x-\bruch{5}{7,25}b_nx+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0
[/mm]
[mm] x^2+(\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n)x+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0
[/mm]
jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen mit
[mm] p=\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n=\bruch{56}{29}-\bruch{20}{29}b_n
[/mm]
[mm] q=\bruch{4}{29}b_n^2-\bruch{32}{29}b_n-\bruch{16}{29}
[/mm]
setze dann die Diskriminante gleich Null, du bekommst dein [mm] b_n
[/mm]
Steffi
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> Hallo, deine quadratische Gleichung ist korrekt,
>
> [mm]7,25x^2+14x-5b_nx+b_n^2-8b_n-4=0[/mm]
>
> [mm]x^2+\bruch{14}{7,25}x-\bruch{5}{7,25}b_nx+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0[/mm]
>
> [mm]x^2+(\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n)x+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0[/mm]
>
> jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen mit
>
> [mm]p=\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n=\bruch{56}{29}-\bruch{20}{29}b_n[/mm]
>
> [mm]q=\bruch{4}{29}b_n^2-\bruch{32}{29}b_n-\bruch{16}{29}[/mm]
>
> setze dann die Diskriminante gleich Null, du bekommst dein
> [mm]b_n[/mm]
>
> Steffi
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>
>
>
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>
>
Kurze Frage:
mir ist leider unklar wie du auf
[mm]p=\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n=\bruch{56}{29}-\bruch{20}{29}b_n[/mm]
also auf [mm] \bruch{56}{29}-\bruch{20 bn}{29} [/mm] gekommen bist. Kannst du es mir bitte erklären ;). Vielen Dank!
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Hallo, ich habe die Brüche mit 4 erweitert, Steffi
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$ [mm] 7,25x^2+14x-5b_nx+b_n^2-8b_n-4=0 [/mm] $
>
> $ [mm] x^2+\bruch{14}{7,25}x-\bruch{5}{7,25}b_nx+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0 [/mm] $
>
> $ [mm] x^2+(\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n)x+\bruch{1}{7,25}b_n^2-\bruch{8}{7,25}b_n-\bruch{4}{7,25}=0 [/mm] $
>
> jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen mit
>
> $ [mm] p=\bruch{14}{7,25}-\bruch{5}{7,25}b_n=\bruch{56}{29}-\bruch{20}{29}b_n [/mm] $
>
> $ [mm] q=\bruch{4}{29}b_n^2-\bruch{32}{29}b_n-\bruch{16}{29} [/mm] $
Wenn ich es richtig verstanden habe, müsste ich nun wie folgt vorgehen:
[mm] \bruch{p}{2}\pm \wurzel{\bruch{p}{2}^2-q}
[/mm]
=> [mm] -\bruch{56-20}{58}\pm \wurzel{\bruch{36}{58}^2-\bruch{4-32-16}{29}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{36}{58}\pm [/mm] 1,379310345
bn 1=-2
bn2 2=0,75862069
Das wären dann aber zwei Sekanten, wenn ich beide bn in die Tangentengleichung einsetze. Was habe ich falsch gemacht?
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Hallo, du unterschlägst ganz großzügig [mm] b_n, [/mm] du suchst doch deine [mm] b_n, [/mm] somit wird alles falsch
[mm] x_1_2=-\bruch{28}{29}+\bruch{10}{29}b_n\pm\wurzel{\bruch{784}{841}-\bruch{560}{841}b_n+\bruch{100}{841}b_n^2-\bruch{116}{841}b_n^2+\bruch{928}{841}b_n+\bruch{464}{841}}
[/mm]
jetzt die Diskriminante gleich Null setze:
[mm] \bruch{784}{841}-\bruch{560}{841}b_n+\bruch{100}{841}b_n^2-\bruch{116}{841}b_n^2+\bruch{928}{841}b_n+\bruch{464}{841}=0
[/mm]
[mm] 784-560b_n+100b_n^2-116b_n^2+928b_n+464=0
[/mm]
[mm] -16b_n^2+368b_n+1248=0
[/mm]
[mm] b_n^2-23b_n-78=0
[/mm]
jetzt erneut p-q-Formel machen, du bekommst [mm] b_1= [/mm] ...... und [mm] b_2= [/mm] .......
[Dateianhang nicht öffentlich]
so sieht dann alles aus, rot gezeichnet sind deine gesuchten Tangenten
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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bn1 müsste 26
und bn2 -3 sein
P.S Danke für das Bild ;).
Liebe Grüße!
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> bn1 müsste 26
> und bn2 -3 sein
Hallo,
falls es gerade um die quadratische Gleichung [mm] b^2-23b-78=0 [/mm] geht:
stimmt, die beiden Lösungen sind [mm] b_1=26 [/mm] und [mm] b_2=-3.
[/mm]
LG Angela
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