Tangentenproblem < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,002 [mm] x^4 [/mm] + 0,122 [mm] x^2 [/mm] – 1,8 (x in Meter, f (x) in Meter) wird für – 5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 der Querschnitt eines Kanals dargestellt. Die sich nach beiden Seiten anschließende Landfläche liegt auf der Höhe y = 0.
In welchem Abstand vom Kanalrand darf eine aufrecht stehende Person (Augenhöhe 1,60 m) höchstens stehen, damit sie bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals sehen kann? |
Hallo zusammen,
ich kämpfe gerade mit folgender Aufgabe, komme aber irgendwie nicht auf den Knackpunkt der Aufgabe...
Also was bildlich gegeben ist, ist klar. Also der Funktionsgraph im Intervall [-5,5] und für x<-5 und x>5 haben wir im Grunde einfach die x-Achse, da ja y=0.
Nun scheiterts aber bereits bei der Fragestellung, weil ich nicht so ganz verstehe, was gesucht ist. Steht die Person irgendwo auf den y=0 Abschnitten oder wo befindet sie sich?
Die tiefste Stelle des Kanals wäre ja der Punkt (0;1,8). Dieser Punkt sollte also auf jeden Fall auf einer möglichen Sehbahn der Person liegen. Könnte ich dann einfach eine gerade aufstellen, die durch den Punkt (0;1,8) und (-5;0) geht und dann prüfen für welches x die gerade den Wert 1,6 annimmt und der Betrag von diesem x WErt ist dann der höchste Abstand den die Person vom Kanalrand haben darf?
Oder liege ich mit der Idee vollkommen falsch? ISt die Aufgabe vielleicht anders gemeint?
Denn so weiß ich nicht, was sie mit dem Thema Tangente und Normale zu tun hat...
Würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen!
Danke schonmal und liebe Grüße!
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Hallo,
> Durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,002 [mm]x^4[/mm]
> + 0,122 [mm]x^2[/mm] – 1,8 (x in Meter, f (x) in Meter) wird für
> – 5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5 der Querschnitt eines Kanals dargestellt.
> Die sich nach beiden Seiten anschließende Landfläche
> liegt auf der Höhe y = 0.
> In welchem Abstand vom Kanalrand darf eine aufrecht
> stehende Person (Augenhöhe 1,60 m) höchstens stehen,
> damit sie bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals
> sehen kann?
> Hallo zusammen,
> ich kämpfe gerade mit folgender Aufgabe, komme aber
> irgendwie nicht auf den Knackpunkt der Aufgabe...
> Also was bildlich gegeben ist, ist klar. Also der
> Funktionsgraph im Intervall [-5,5] und für x<-5 und x>5
> haben wir im Grunde einfach die x-Achse, da ja y=0.
> Nun scheiterts aber bereits bei der Fragestellung, weil
> ich nicht so ganz verstehe, was gesucht ist. Steht die
> Person irgendwo auf den y=0 Abschnitten oder wo befindet
> sie sich?
> Die tiefste Stelle des Kanals wäre ja der Punkt (0;1,8).
Falsch: der Tiefpunkt hat die Koordinaten T(0;-1.8).
> Dieser Punkt sollte also auf jeden Fall auf einer
> möglichen Sehbahn der Person liegen. Könnte ich dann
> einfach eine gerade aufstellen, die durch den Punkt (0;1,8)
> und (-5;0) geht und dann prüfen für welches x die gerade
> den Wert 1,6 annimmt und der Betrag von diesem x WErt ist
> dann der höchste Abstand den die Person vom Kanalrand
> haben darf?
> Oder liege ich mit der Idee vollkommen falsch? ISt die
> Aufgabe vielleicht anders gemeint?
> Denn so weiß ich nicht, was sie mit dem Thema Tangente
> und Normale zu tun hat...
Dass die Sehbahn eine Gerade durch den Tiefpunkt ist, soweit liegst du noch richtig. Aber der Rest ist falsch und basiert auf einem Irrtum: es ist nicht gesagt, dass für die Person der Rand der erste Punkt ist, welcher den Tiefpunkt verdeckt, wenn sich die Person bspw. vom Ufer wegbewegt.
Wenn die Person den tiefsten Punkt gerade noch so eben sieht, dann muss die Sehbahn den Graph irgendwo berühren. Das mathematische Problem dahinter ist eine Tangente an das Schaubild einer Funktion von einem Punkt aus, der nicht auf dem Schaubild liegt. Dass der Tiefpunkt dennoch auf dem Schaubild liegt, ist hier sicherlich ein gewollt-verwirrender 'Zufall'.
Stelle also mit dem bekannten Konzept (->allgemeine Tangentengleichung) eine Tangente auf, die durch den Tiefpunkt geht und ermittle für diese Tangente, bei welchem x-Wert sie den y-Wert 1.6 annimmt. Dann bist du so gut wie fertig.
Merke dir die Vorgehensweise gut, diese Art von Aufgabe ist derzeit groß in Mode. 
Gruß, Diophant
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Danke erstmal für die schnelle Antwort!
> Hallo,
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> > Durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,002 [mm]x^4[/mm]
> > + 0,122 [mm]x^2[/mm] – 1,8 (x in Meter, f (x) in Meter) wird für
> > – 5 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5 der Querschnitt eines Kanals dargestellt.
> > Die sich nach beiden Seiten anschließende Landfläche
> > liegt auf der Höhe y = 0.
> > In welchem Abstand vom Kanalrand darf eine aufrecht
> > stehende Person (Augenhöhe 1,60 m) höchstens stehen,
> > damit sie bei leerem Kanal die tiefste Stelle des Kanals
> > sehen kann?
> > Hallo zusammen,
> > ich kämpfe gerade mit folgender Aufgabe, komme aber
> > irgendwie nicht auf den Knackpunkt der Aufgabe...
> > Also was bildlich gegeben ist, ist klar. Also der
> > Funktionsgraph im Intervall [-5,5] und für x<-5 und x>5
> > haben wir im Grunde einfach die x-Achse, da ja y=0.
> > Nun scheiterts aber bereits bei der Fragestellung, weil
> > ich nicht so ganz verstehe, was gesucht ist. Steht die
> > Person irgendwo auf den y=0 Abschnitten oder wo befindet
> > sie sich?
> > Die tiefste Stelle des Kanals wäre ja der Punkt
> (0;1,8).
>
> Falsch: der Tiefpunkt hat die Koordinaten T(0;-1.8).
>
Sorry, das meinte ich eigentlich auch, war nur ein Tippfehler!
> > Dieser Punkt sollte also auf jeden Fall auf einer
> > möglichen Sehbahn der Person liegen. Könnte ich dann
> > einfach eine gerade aufstellen, die durch den Punkt (0;1,8)
> > und (-5;0) geht und dann prüfen für welches x die gerade
> > den Wert 1,6 annimmt und der Betrag von diesem x WErt ist
> > dann der höchste Abstand den die Person vom Kanalrand
> > haben darf?
> > Oder liege ich mit der Idee vollkommen falsch? ISt die
> > Aufgabe vielleicht anders gemeint?
> > Denn so weiß ich nicht, was sie mit dem Thema Tangente
> > und Normale zu tun hat...
>
> Dass die Sehbahn eine Gerade durch den Tiefpunkt ist,
> soweit liegst du noch richtig. Aber der Rest ist falsch und
> basiert auf einem Irrtum: es ist nicht gesagt, dass für
> die Person der Rand der erste Punkt ist, welcher den
> Tiefpunkt verdeckt, wenn sich die Person bspw. vom Ufer
> wegbewegt.
>
Hm ok, das kann ich mir gerade nur schwer vorstellen, aber vielleicht ist es klarer, wenn ich die Aufgabe gelöst habe!
> Wenn die Person den tiefsten Punkt gerade noch so eben
> sieht, dann muss die Sehbahn den Graph irgendwo berühren.
> Das mathematische Problem dahinter ist eine Tangente an das
> Schaubild einer Funktion von einem Punkt aus, der nicht auf
> dem Schaubild liegt. Dass der Tiefpunkt dennoch auf dem
> Schaubild liegt, ist hier sicherlich ein
> gewollt-verwirrender 'Zufall'.
>
> Stelle also mit dem bekannten Konzept (->allgemeine
> Tangentengleichung) eine Tangente auf, die durch den
> Tiefpunkt geht und ermittle für diese Tangente, bei
> welchem x-Wert sie den y-Wert 1.6 annimmt. Dann bist du so
> gut wie fertig.
Hier kann ich leider noch nicht so ganz folgen...
Wenn ich eine Tangente durch den Tiefpunkt T(0;-1,8) (müsste ich eigentlich noch über Extremstellen zeigen, dass das ein Tiefpunkt ist?) aufstelle, dann käme ich auch y=-1,8 als Tangentengleichung, denn
f'(x)= [mm] -0,008x^3+0,244x
[/mm]
Wir suchen ja die Tangente an der Stelle 0, also ist f'(0) die Tangentensteigung. Aber f'(0)=0...
Wo liegt mein Fehler?
>
> Merke dir die Vorgehensweise gut, diese Art von Aufgabe ist
> derzeit groß in Mode.
>
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
ich gehe mal stark davon aus, dass der Tiefpunkt zum Zeitpunkt dieser Aufgabenstellung längst bestimmt ist. Ansonsten lässt er sich hier mit einer einfachsten Symmetrieüberlegung leicht begründen.
Zum eigentlichen Problem: habt ihr denn nicht zufällig die allgemeine Tangentengleichung
t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
gelernt? Hierin ist u die unbekannte Abszisse des Berührpunktes, und diese Gleichung solltest du anwenden. Die Tangente im Tiefpunkt interessiert hier nicht.
Hast du dir das ganze eigentlich mal grob aufskizziert?
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> ich gehe mal stark davon aus, dass der Tiefpunkt zum
> Zeitpunkt dieser Aufgabenstellung längst bestimmt ist.
> Ansonsten lässt er sich hier mit einer einfachsten
> Symmetrieüberlegung leicht begründen.
Alles klar :)
>
> Zum eigentlichen Problem: habt ihr denn nicht zufällig die
> allgemeine Tangentengleichung
>
> t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
>
> gelernt? Hierin ist u die unbekannte Abszisse des
> Berührpunktes, und diese Gleichung solltest du anwenden.
> Die Tangente im Tiefpunkt interessiert hier nicht.
>
Also mir persönlich sagt die allgemeine Tangentengleichung jetzt nicht direkt was, aber ich habs mal nachgeschlagen!
Ich habe also nun die allgemeine Tangentengleichung t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
Wenn ich jetzt f'(u) und f(u) einsetze, dann ergibt sich
t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)= [mm] (-0,008u^3+0,244u)(x-u)-0,002u^4+0,122u^2-1,8
[/mm]
Habe ich es jetzt richtig verstanden, dass ich für x und y den Punkt T(0;-1,8) einsetze?
Dann würde sich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) die Gleichung [mm] 0,006u^4-0,366u^2=0 [/mm] ergeben. Nach u aufgelöst hätte ich dann u= [mm] \pm [/mm] 7,81 oder u=0...
Aber irgendwie fehlt mir jetzt ja noch die Augenhöhe von 1,6m ... Also bin ich vermutlich noch immer nicht ganz richtig... ,oder?
Oder moment, vielleicht doch... Ich könnte doch nun zwei Gleichungen aufstellen...
[mm] t_1: [/mm] y=f'(7,81)(x-7,81)+f(7,81)=-1,91x + 14,88 -1,7995 = -1,91x +13,08
[mm] t_2: [/mm] y=f'(-7,81)(x+7,81)+f(-7,81)= 1,91x + 14,88 -1,7995= 1,91x + 13,08
Jetzt könnte ich für y=1,6 den zugehörigen x-Wert berechnen. Das ergäbe
x=6,01 bzw x =-6,01 (und da der Abstand durch den Betrag ja eh positiv ist haben wir die Entfernung von etwa 6 m?!
Wäre das so richtig?
> Hast du dir das ganze eigentlich mal grob aufskizziert?
>
Ja ich habe es versucht :)
>
> Gruß, Diophant
Vielen lieben Dank und liebe Grüße!
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Hallo Isabelle90,
> > Hallo,
> >
> > ich gehe mal stark davon aus, dass der Tiefpunkt zum
> > Zeitpunkt dieser Aufgabenstellung längst bestimmt ist.
> > Ansonsten lässt er sich hier mit einer einfachsten
> > Symmetrieüberlegung leicht begründen.
>
> Alles klar :)
>
> >
> > Zum eigentlichen Problem: habt ihr denn nicht zufällig die
> > allgemeine Tangentengleichung
> >
> > t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> >
> > gelernt? Hierin ist u die unbekannte Abszisse des
> > Berührpunktes, und diese Gleichung solltest du anwenden.
> > Die Tangente im Tiefpunkt interessiert hier nicht.
> >
>
> Also mir persönlich sagt die allgemeine Tangentengleichung
> jetzt nicht direkt was, aber ich habs mal nachgeschlagen!
> Ich habe also nun die allgemeine Tangentengleichung t:
> y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> Wenn ich jetzt f'(u) und f(u) einsetze, dann ergibt sich
> t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)=
> [mm](-0,008u^3+0,244u)(x-u)-0,002u^4+0,122u^2-1,8[/mm]
>
> Habe ich es jetzt richtig verstanden, dass ich für x und y
> den Punkt T(0;-1,8) einsetze?
Ja, das hast Du richtig verstanden.
> Dann würde sich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) die
> Gleichung [mm]0,006u^4-0,366u^2=0[/mm] ergeben. Nach u aufgelöst
Der Faktor vor [mm]u^{2}[/mm] stimmt nicht.
> hätte ich dann u= [mm]\pm[/mm] 7,81 oder u=0...
> Aber irgendwie fehlt mir jetzt ja noch die Augenhöhe von
> 1,6m ... Also bin ich vermutlich noch immer nicht ganz
> richtig... ,oder?
> Oder moment, vielleicht doch... Ich könnte doch nun zwei
> Gleichungen aufstellen...
> [mm]t_1:[/mm] y=f'(7,81)(x-7,81)+f(7,81)=-1,91x + 14,88 -1,7995 =
> -1,91x +13,08
> [mm]t_2:[/mm] y=f'(-7,81)(x+7,81)+f(-7,81)= 1,91x + 14,88 -1,7995=
> 1,91x + 13,08
>
> Jetzt könnte ich für y=1,6 den zugehörigen x-Wert
> berechnen. Das ergäbe
> x=6,01 bzw x =-6,01 (und da der Abstand durch den Betrag
> ja eh positiv ist haben wir die Entfernung von etwa 6 m?!
>
> Wäre das so richtig?
>
> > Hast du dir das ganze eigentlich mal grob aufskizziert?
> >
>
> Ja ich habe es versucht :)
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Vielen lieben Dank und liebe Grüße!
Gruss
MathePower
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Danke erstmal!
> Hallo Isabelle90,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > ich gehe mal stark davon aus, dass der Tiefpunkt zum
> > > Zeitpunkt dieser Aufgabenstellung längst bestimmt ist.
> > > Ansonsten lässt er sich hier mit einer einfachsten
> > > Symmetrieüberlegung leicht begründen.
> >
> > Alles klar :)
> >
> > >
> > > Zum eigentlichen Problem: habt ihr denn nicht zufällig die
> > > allgemeine Tangentengleichung
> > >
> > > t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> > >
> > > gelernt? Hierin ist u die unbekannte Abszisse des
> > > Berührpunktes, und diese Gleichung solltest du anwenden.
> > > Die Tangente im Tiefpunkt interessiert hier nicht.
> > >
> >
> > Also mir persönlich sagt die allgemeine Tangentengleichung
> > jetzt nicht direkt was, aber ich habs mal nachgeschlagen!
> > Ich habe also nun die allgemeine Tangentengleichung t:
> > y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> > Wenn ich jetzt f'(u) und f(u) einsetze, dann ergibt
> sich
> > t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)=
> > [mm](-0,008u^3+0,244u)(x-u)-0,002u^4+0,122u^2-1,8[/mm]
> >
> > Habe ich es jetzt richtig verstanden, dass ich für x und y
> > den Punkt T(0;-1,8) einsetze?
>
>
> Ja, das hast Du richtig verstanden.
>
>
> > Dann würde sich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) die
> > Gleichung [mm]0,006u^4-0,366u^2=0[/mm] ergeben. Nach u aufgelöst
>
>
> Der Faktor vor [mm]u^{2}[/mm] stimmt nicht.
oh stimmt... War ein kleiner Vorzeichenfehler...
richtig müsste es sein 0,006 [mm] u^4 [/mm] - [mm] 0,122u^2=0, [/mm] oder?
Damit käme ich auf u= [mm] \pm [/mm] 4,51 oder u = 0
Für dir zwei Tangenten bekomme ich dann
[mm] t_1: [/mm] y= 0,37x-1,8
[mm] t_2: [/mm] y= -0,37x - 1,8 (die -1,8 machen auch schonmal mehr sinn, als die 13,08 ^^)
Und dann komm ich auf eine Entfernung von etwa 9,2 m.
Ist das so nun korrekt?
>
>
> > hätte ich dann u= [mm]\pm[/mm] 7,81 oder u=0...
> > Aber irgendwie fehlt mir jetzt ja noch die Augenhöhe von
> > 1,6m ... Also bin ich vermutlich noch immer nicht ganz
> > richtig... ,oder?
> > Oder moment, vielleicht doch... Ich könnte doch nun
> zwei
> > Gleichungen aufstellen...
> > [mm]t_1:[/mm] y=f'(7,81)(x-7,81)+f(7,81)=-1,91x + 14,88 -1,7995
> =
> > -1,91x +13,08
> > [mm]t_2:[/mm] y=f'(-7,81)(x+7,81)+f(-7,81)= 1,91x + 14,88
> -1,7995=
> > 1,91x + 13,08
> >
> > Jetzt könnte ich für y=1,6 den zugehörigen x-Wert
> > berechnen. Das ergäbe
> > x=6,01 bzw x =-6,01 (und da der Abstand durch den
> Betrag
> > ja eh positiv ist haben wir die Entfernung von etwa 6 m?!
> >
> > Wäre das so richtig?
> >
> > > Hast du dir das ganze eigentlich mal grob aufskizziert?
> > >
> >
> > Ja ich habe es versucht :)
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > Vielen lieben Dank und liebe Grüße!
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Isabelle90,
> Danke erstmal!
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> > Hallo Isabelle90,
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> > > > Hallo,
> > > >
> > > > ich gehe mal stark davon aus, dass der Tiefpunkt zum
> > > > Zeitpunkt dieser Aufgabenstellung längst bestimmt ist.
> > > > Ansonsten lässt er sich hier mit einer einfachsten
> > > > Symmetrieüberlegung leicht begründen.
> > >
> > > Alles klar :)
> > >
> > > >
> > > > Zum eigentlichen Problem: habt ihr denn nicht zufällig die
> > > > allgemeine Tangentengleichung
> > > >
> > > > t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> > > >
> > > > gelernt? Hierin ist u die unbekannte Abszisse des
> > > > Berührpunktes, und diese Gleichung solltest du anwenden.
> > > > Die Tangente im Tiefpunkt interessiert hier nicht.
> > > >
> > >
> > > Also mir persönlich sagt die allgemeine Tangentengleichung
> > > jetzt nicht direkt was, aber ich habs mal nachgeschlagen!
> > > Ich habe also nun die allgemeine Tangentengleichung t:
> > > y=f'(u)*(x-u)+f(u)
> > > Wenn ich jetzt f'(u) und f(u) einsetze, dann ergibt
> > sich
> > > t: y=f'(u)*(x-u)+f(u)=
> > > [mm](-0,008u^3+0,244u)(x-u)-0,002u^4+0,122u^2-1,8[/mm]
> > >
> > > Habe ich es jetzt richtig verstanden, dass ich für x und y
> > > den Punkt T(0;-1,8) einsetze?
> >
> >
> > Ja, das hast Du richtig verstanden.
> >
> >
> > > Dann würde sich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) die
> > > Gleichung [mm]0,006u^4-0,366u^2=0[/mm] ergeben. Nach u aufgelöst
> >
> >
> > Der Faktor vor [mm]u^{2}[/mm] stimmt nicht.
>
> oh stimmt... War ein kleiner Vorzeichenfehler...
> richtig müsste es sein 0,006 [mm]u^4[/mm] - [mm]0,122u^2=0,[/mm] oder?
>
Ja, richtig.
> Damit käme ich auf u= [mm]\pm[/mm] 4,51 oder u = 0
> Für dir zwei Tangenten bekomme ich dann
> [mm]t_1:[/mm] y= 0,37x-1,8
> [mm]t_2:[/mm] y= -0,37x - 1,8 (die -1,8 machen auch schonmal mehr
> sinn, als die 13,08 ^^)
>
> Und dann komm ich auf eine Entfernung von etwa 9,2 m.
> Ist das so nun korrekt?
>
Um genau zu sein, sind es 9,27 m.
Vielleicht hast Du mit gerundeten Werten gerechnet,
daher möglicherweise die Ungenauigkeit.
> >
> >
> > > hätte ich dann u= [mm]\pm[/mm] 7,81 oder u=0...
> > > Aber irgendwie fehlt mir jetzt ja noch die Augenhöhe von
> > > 1,6m ... Also bin ich vermutlich noch immer nicht ganz
> > > richtig... ,oder?
> > > Oder moment, vielleicht doch... Ich könnte doch nun
> > zwei
> > > Gleichungen aufstellen...
> > > [mm]t_1:[/mm] y=f'(7,81)(x-7,81)+f(7,81)=-1,91x + 14,88
> -1,7995
> > =
> > > -1,91x +13,08
> > > [mm]t_2:[/mm] y=f'(-7,81)(x+7,81)+f(-7,81)= 1,91x + 14,88
> > -1,7995=
> > > 1,91x + 13,08
> > >
> > > Jetzt könnte ich für y=1,6 den zugehörigen x-Wert
> > > berechnen. Das ergäbe
> > > x=6,01 bzw x =-6,01 (und da der Abstand durch den
> > Betrag
> > > ja eh positiv ist haben wir die Entfernung von etwa 6 m?!
> > >
> > > Wäre das so richtig?
> > >
> > > > Hast du dir das ganze eigentlich mal grob aufskizziert?
> > > >
> > >
> > > Ja ich habe es versucht :)
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > >
> > > Vielen lieben Dank und liebe Grüße!
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> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 27.05.2012 | | Autor: | Isabelle90 |
Danke!
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