Tangentialhyperebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Fr 21.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Tangentialhyperebene von f an der stelle [mm] (x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)
[/mm]
[mm] (x,y,z)->f(x,y,z):=3x^2*ln(y)+4x^3*z^2-y^2*z^3 [/mm] |
Moin,
könnte mir jemand kurz erklären, wie ich die Tangentialhyperebene berechne??
Den Gradianten & Hessematrix habe ich schon... Habe das Thema zwar im Buch gefunde, werde allerdings nciht schlau drauß...
[mm] (x,y,z)->f(x,y,z):=3x^2*ln(y)+4x^3*z^2-y^2*z^3
[/mm]
[mm] G(f(x,y,z))=\vektor{6xln(y)+12x^2z^2 \\ \bruch{3x^2}{y}-2yz^3 \\ 8x^3z-3y^2z^2 }
[/mm]
[mm] H(f(x,y,z))=\pmat{ 6ln(y)+24xz^2 & 6x*1/y & 24x^2z \\ 6x*1/y & -3x^2*-1/y^2-2z^3 & -6yz^2\\ 24x^2z & -6yz^2 & 8x^3-6y^2z}
[/mm]
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> Bestimmen sie die Tangentialhyperebene von f an der stelle
> [mm](x_0,y_0,z_0)=(1,1,1)[/mm]
>
> [mm](x,y,z)->f(x,y,z):=3x^2*ln(y)+4x^3*z^2-y^2*z^3[/mm]
>
> Moin,
>
> könnte mir jemand kurz erklären, wie ich die
> Tangentialhyperebene berechne??
> Den Gradianten & Hessematrix habe ich schon...
Hallo,
das ist gut.
Die Hessematrix brauchen wir hier allerdings gar nicht.
> Habe das
> Thema zwar im Buch gefunde, werde allerdings nciht schlau
> drauß...
An dieser Stelle wäre es hilfreich zu wissen, was im Buch stand und warum Du es nicht umsetzen kannst.
>
> [mm](x,y,z)->f(x,y,z):=3x^2*ln(y)+4x^3*z^2-y^2*z^3[/mm]
>
> [mm]G(f(x,y,z))=\vektor{6xln(y)+12x^2z^2 \\
\bruch{3x^2}{y}-2yz^3 \\
8x^3z-3y^2z^2 }[/mm]
Richtig.
Im Buch stand nun sicher, daß Du die Gleichung der Ebene so erhältst:
[mm] gradf(x_0,y_0,z_0)*(\vektor{x\\y\\z}-\vektor{x_0\\y_0\\z_0})=0,
[/mm]
also in Deinem Fall
[mm] \vektor{6x_0ln(y_0)+12x_0^2z_0^2 \\ \bruch{3x_0^2}{y_0}-2y_0z_0^3 \\ 8x_0^3z_0-3y_0^2z_0^2 } *(\vektor{x\\y\\z}-\vektor{x_0\\y_0\\z_0})=0.
[/mm]
Du mußt nun bloß für [mm] (x_0,y_0,z_0) [/mm] den Punkt (1,1,1) einsetzen, dann hast Du schon die Tangentialebene in Normalform dastehen, multiplizierst Du noch aus (Skalarprodukt), so hast Du die Ebene in Koordinatenform.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 23.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
ok, wenn ich also für [mm] x_0,y_0,z_0 [/mm] jeweils 1 eingesetzt habe, komme ich auf t(x)=12x+y+5z
in der Musterlösung steht allerdings t(x)=12x+y+5z-15
woher kommt die -15??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 So 23.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich vermute, Du hast bei $ [mm] \ldots (\vektor{x\\y\\z}-\vektor{x_0\\y_0\\z_0})=0. [/mm] $ den Vektor [mm] $\vektor{x_0\\y_0\\z_0}$ [/mm] übersehen. Allerdings komme ich nicht auf -15, sondern auf -18.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 23.09.2012 | | Autor: | Tony1234 |
hmmm, ehrlich gesagt, weiß ich überhaupt nicht, wie man drauf kommt...
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> hmmm, ehrlich gesagt, weiß ich überhaupt nicht, wie man
> drauf kommt...
Hallo,
was zu rechnen ist, hatte ich Dir oben gesagt.
Wenn es weitere Probleme gibt, müßtest Du mal vormachen, wie Du eingesetzt hast.
Evtl. müßtest Du auffrischen, wie mit dem Skalarprodukt zu rechnen ist.
LG Angela
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