Tangentialraum, Normalenraum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:26 Do 06.11.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Bestimme den Tangentialraum und den Normalenraum an einen beliebigen Punkt des Zylinders [mm] Z=\left\{(x,y,z)\in\IR^3:x^2+y^2=1\right\} [/mm] und des Katenoids [mm] M=\left\{(cosh(u)cos(v), cosh(u)sin(v),u)\in\IR^3:(u,v)\in\IR^2\right\}. [/mm] |
zunächst der Tangentialraum des Zylinders; hab mir folgendes überlegt:
Es ist ja [mm] T_pZ=\left\{v=(v_1,v_2,v_3)\in\IR^3|=0\right\} [/mm] mit [mm] p=(x,y,z)\in\;Z [/mm] und [mm] F(x,y,z)=x^2+y^2-1.
[/mm]
Demnach wäre gradF(p)=(2x,2y,0) oder?
Das würde bedeuten, dass [mm] T_pZ=\left\{v\in\IR^3|2xv_1+2yv_2=0\right\}.
[/mm]
Im Internet habe ich aber mehrfach gelesen, dass gilt: [mm] T_pZ=\left\{v\in\IR^3|xv_1+yv_2=0\right\}.
[/mm]
Wo liegt mein Fehler. Hab ich das Skalarprodukt falsch ausgerechnet?
Dann zum Normalenraum: Ich habe im Internet gefunden, dass gilt:
[mm] N_pZ=\left\{w\in\IR^3:v_2w_2=v_3w_3\; fuer\; alle\; v\in\;T_pZ\right\} [/mm]
Wie komm ich da hin? Ich erkenne den Weg noch nicht so wirklich.....
Jetzt das Katenoid:
Es gibt eine Definition für Parametrisierte Darstellungen:
Sei [mm] \psi: [/mm] D ⊂ [mm] R^n [/mm] → U eine Parametrisierung um x mit [mm] \psi(a) [/mm] = x. Dann gilt
T_xM = [mm] Im(d\psi(a)). [/mm] Ist das überhaupt eine Parameterdarstellung des Katenoids? Ich hab gefunden das folgendes gilt:
[mm] T_pM=\left\{v\in\IR^3|xv_1+y_v2-v_3*cosh(z)sinh(z)=0\right\}
[/mm]
und
N_pM=R(gradF(p))=R(x,y,-cosh(z)sinh(z))
Aber wie zum Teufel komm ich dadrauf?
Danke für eure Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Mo 10.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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