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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
mir ist heute eine Frage gekommen. Ich musste bisher Aufgaben vom Typ wie oben zu sehen lösen. Dort habe ich einfach mehrmals abgeleitet (1. Ableitung, 2, 3, 4) bis ich eine Regelmäßigkeit entdeckt habe. Dann habe ich diese Regelmäßigkeit in eine "Formel" umgeschrieben, so dass sie zutrifft für die k-te Ableitung, diese dann am Ende in die Formel eingesetzt für Taylorpolynome und etwas umgeformt / vereinfacht und das wars.
Aber man kann doch auch Taylorpolynome nur bis zum Grad 3 bilden und nicht unendlich wie wir es machen! Wie würde ich vorgehen, wenn ich die selbe Aufgabe wie oben hätte nur dort stünde ... bis zum Grad 3 ... was würde ich dann machen? Ich wüsste nicht was ich dann machen soll.
Könnt ihr mir einen Tipp geben? Ich werde es dann mal so versuchen.
Danke
Grüße Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 29.07.2007 | | Autor: | maybe. |
Also eine Taylorentwicklung macht man doch um eine Funktion durch ein Polynom zu approximieren, das heisst anzunaehern. Ganz einfach aus dem Grund weil man mit Polynomen so gut rechnen kann. Ein solches Taylorpolynom ist nun eine unendliche Reihe. Also eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Je mehr Summanden hinzukommen desto genauer wird deine Naeherung. Wenn du bis zur dritten Ordnung entwickelst entspricht dein Polynom eben nicht so gut deiner Ausgangsfunktion wie wenn du bis zur 15ten Ordnung entwickelst, aber dafuer hast du weniger Rechenaufwand. Es kommt also immer auf die Problemstellung an bis zu welcher Ordnung du entwickelst (wie genau man es eben braucht). Um das Polynom bis zur dritten Ordnung zu entwickeln musst du einfach nur die Summe bis n=3 berechnen. also bis [mm] x^3. [/mm] Das was du dann praktosch 'weglaesst', also die Summanden von n=4 bis n= unendlich kann man dann als das sog. Restglied zusammenfassen, welches dir sagt wie genau deine Naeherung war.
War das jetzt verstaendlich ?
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
ich habe das meiste verstanden, doch das worauf es mir ankommt nicht so ganz.
Das mit dem annähern der Funktion habe ich verstanden.
Angenommen ich soll für die Aufgabe oben bis zum 3ten Grad entwickeln, muss ich das so machen:
[mm] $\summe_{i=1}^{3}f^{(i)}=\bruch{1}{(1+x)^2}$
[/mm]
[mm] $f^{'}=-2*(1+x)^{-3}$
[/mm]
[mm] $f^{''}=-6*(1+x)^{-4}$
[/mm]
[mm] $f^{'''}=-24*(1+x)^{-5}$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\summe_{i=1}^{3}f^{(i)}=-2*(1+x)^{-3} \red{+} -6*(1+x)^{-4} \red{+} -24*(1+x)^{-5}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{3}f^{(i)}=-2*(1+x)^{-3} -6*(1+x)^{-4} -24*(1+x)^{-5}$
[/mm]
Muss ich jetzt für in das x das gegebene [mm] $x_0=0$ [/mm] einsetzen oder wie geht es ab hier weiter?
Stimmt das überhaupt was ich hier gemacht habe???
Danke
Grüße Thomas
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi Loddar,
>
> ich habe das meiste verstanden, doch das worauf es mir
> ankommt nicht so ganz.
>
> Das mit dem annähern der Funktion habe ich verstanden.
>
>
> Angenommen ich soll für die Aufgabe oben bis zum 3ten Grad
> entwickeln, muss ich das so machen:
>
> [mm]f(x)={(1+x)^{-2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]f(x)^{'}=-2*(1+x)^{-3}[/mm]
>
> [mm]f(x)^{''}=6*(1+x)^{-4}[/mm]
>
> [mm]f(x)^{'''}=-24*(1+x)^{-5}[/mm]
>
>
>
> [mm]f(0)={(1+0)^{-2}} =1[/mm]
>
> [mm]f(0)^{'}=-2*(1+0)^{-3}=-2[/mm]
>
> [mm]f(0)^{''}=6*(1+0)^{-4}=6[/mm]
>
> [mm]f(0)^{'''}=-24*(1+0)^{-5}=-24[/mm]
>
>
>
> Allgemeine Formel: [mm]T_a^{\infty}(x) \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}\cdot{}(x-a)^k[/mm]
>
> [mm]T_0^{3}(0) \ = \ \summe_{k=0}^{3}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}(x-0)^k = \ \summe_{k=0}^{3}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot{}(x)^k[/mm]
>
> [mm]T_0^{3}(0) = \bruch{1}{0!}*(x)^0 \red{+} \bruch{-2}{1!}*(x)^1 \red{+} \bruch{6}{2!}*(x)^2 \red{+} \bruch{-24}{3!}*(x)^3[/mm]
>
> [mm]T_0^{3}(0) = \bruch{1}{1}*1 \red{+} \bruch{-2}{1}*(x)^1 \red{+} \bruch{6}{2}*(x)^2 \red{+} \bruch{-24}{6}*(x)^3[/mm]
>
> [mm]T_0^{3}(0) = 1 \red{+} -2*(x)^1 \red{+} 3*(x)^2 \red{+} -4*(x)^3[/mm]
>
> [mm]T_0^{3}(0) = 1 -2*(x)^1 + 3*(x)^2 -4*(x)^3[/mm]
>
>
>
>
> Stimmt das was ich jetzt gemacht habe?
Hallo,
es ist nahezu perfekt.
Die einzige Kritik, die ich habe, ist vielleicht nur ein Schreibfehler: es muß da stehen [mm] "T_0^{3}(x)" [/mm] und nicht [mm] T_0^{3}(0). [/mm] Denn Dein Taylorpolynom ist ja eine Funktion von x.
>
>
> Was sagt eigentlich der Entwicklungspunkt aus?
Das 3.Taylorpolynom liefert Dir eine gute Näherung Deiner Funktion f in der Nähe der Stelle x=0.
Generell liefern die Taylorpolynome gute Näherungen im Bereich des Entwicklungspunktes.
Wenn Du eine Möglickkeit zum Plotten hat, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, kannst Du Dir das anschauen. Zeichne die Funktion und das Taylorpolynom in ein gemeinsames Koordinatensystem. Du wirst sehen, daß sie im Bereich der Null nahe beieinander liegen.
Wenn Du etwas Zeit hast, kannst Du auch das Taylorpolynom im Entwicklungspunkt 3 aufstellen. Hierfür brauchst Du dann die Ableitungen im Punkt x=3, und in der Summe hast Du Potenzen von (x-3).
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 So 29.07.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke fürs nachsehen! Ok ich werde das berücksichtigen mit dem x und es ist auch irgendwie logisch!
Danke
Gruß Thomas
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Hi,
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> mir ist heute eine Frage gekommen. Ich musste bisher
> Aufgaben vom Typ wie oben zu sehen lösen. Dort habe ich
> einfach mehrmals abgeleitet (1. Ableitung, 2, 3, 4) bis ich
> eine Regelmäßigkeit entdeckt habe. Dann habe ich diese
> Regelmäßigkeit in eine "Formel" umgeschrieben, so dass sie
> zutrifft für die k-te Ableitung, diese dann am Ende in die
> Formel eingesetzt für Taylorpolynome und etwas umgeformt /
> vereinfacht und das wars.
>
>
> Aber man kann doch auch Taylorpolynome nur bis zum Grad 3
> bilden und nicht unendlich wie wir es machen! Wie würde ich
> vorgehen, wenn ich die selbe Aufgabe wie oben hätte nur
> dort stünde ... bis zum Grad 3 ... was würde ich dann
> machen? Ich wüsste nicht was ich dann machen soll.
In manchen Fällen kann man die Taylorreihe finden, indem man sie aus einer bekannten Taylorreihe (bzw. Potenzreihe) einer anderen Funktion z.B. durch gliedweises Ableiten oder Integrieren konstruiert.
Bei Deinem Beispiel etwa so:
[mm]\frac{1}{(1+x)^2}=-\frac{d}{dx}\frac{1}{1+x} = -\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = -\sum_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}(-1)^n x^n=-\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n (n+1)x^n[/mm]
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
$f''(x) \ = \ [mm] -2*(\red{-}3)*(1+x)^{-4} [/mm] \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 6 \ [mm] (1+x)^{-4}$
[/mm]